1 Nombres complexes

Universit´ e de Lorraine UFR MIM

Calculs et math´ ematiques - L1 2013/2014

Feuille d’exercices n

1 Nombres complexes

Exercice 1 (a) Mettre sous forme alg´ ebrique les nombres complexes suivants : (2 + i)(3 + 4i) , 2 + i

3 + 4i , 1

1 + i + 2 . (b) Mettre sous forme trigonom´ etrique les nombres complexes suivants :

1 + i √

3 , (1 + i)

, (1 + i)

, 1 + e

, 1 + i 1 − i . Exercice 2 (a) ´ Ecrire les nombres complexes i + √

3 et i √ 2 + √

2 en forme trigo- nom´ etrique.

(b) En d´ eduire la forme trigonom´ etrique du nombre complexe i + √

3 i √

2 + √ 2

!

.

(c) D´ eterminer les nombres cos 7π/12 et sin π/12.

Exercice 3 (a) D´ eterminer tous les nombres complexes z tels que z

soit un nombre r´ eel.

(b) D´ eterminer les nombres complexes z pour lesquels

= 1.

(c) D´ eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que z

est imaginaire pur. Tracer cet ensemble dans le plan complexe.

Exercice 4 (a) Trouver les racines carr´ ees de −24 − 70i.

(b) Trouver les racines carr´ ees de 8 + 6i,

Exercice 5 (a) R´ esoudre dans C les ´ equations x

+ 2x + 5 = 0 et x

+ 25 = 0.

(b) R´ esoudre dans C les ´ equations z

− (4 + 2i)z + 2 + 4i = 0

(c) R´ esoudre z

+ z

+ 1 = 0 alg´ ebriquement puis g´ eom´ etriquement.

(d) R´ esoudre z

+ (−1 + 3i)z − 4 − 3i = 0.