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T T . . D D . . N N ° ° 1 1 : : L L E E S S N N O O M M B B R R E E S S C C O O M M P P L L E E X X E E S S 1 1
E E
XEXERRCCIICCEE1 1
Déterminer le module et l'argument de chacun des nombres complexes : 1. z1 =-1 +i 3
2. z2 = 1 + cosq +isinq
E
E
XEXERRCCIICCEE2 2
Calculer le nombrez = (2- 3i)(1 + 2i)(3- 2i)(2 +i)
E E
XEXERRCCIICCEE3 3
k étant un nombre réel donné, mettre sous la formea +ib le nombrez = 1 +ki 2k + (k2- 1)i .
E
E
XEXERRCCIICCEE4 4
Déterminer le module et l'argument du nombre complexe z =1 +i 3 3 +i .
E
E
XEXERRCCIICCEE5 5
On donne z1 =12( 6-i 2) et z2 = 1-i.
Déterminer le module et l'argument de Z =z1
z2. Exprimer Z sous la forme algébrique.
En déduire les valeurs de cos p
12 et sin p 12.
E E
XEXERRCCIICCEE6 6
Montrer que la formule de Moivre est valable pourn entier négatif.
E
E
XEXERRCCIICCEE7 7
A partir de l'égalité cos q = eiq + e-iq
2 linéariser cos4 q, c'est-à-dire exprimer cos4 q comme combinaison linéaire de sinus et cosinus des arcs multiples deq.
E
E
XEXERRCCIICCEE8 8
Déterminer les racines quatrièmes dei.
E E
XEXERRCCIICCEE9 9
Calculer les racines carrées du nombre complexe 5 + 12i.
E E
XEXERRCCIICCEE10 1 0
1. Résoudre dansℂ l'équation z2 = 5 + 12i.
2. Résoudre dansℂ l'équation z2- (1 +i 3)z- 1 +i 3 = 0.
E E
XEXERRCCIICCEE11 1 1
On considère la transformation définie par z' = 2iz + 2 +i.
Montrer que la transformation géométrique T associée admet un point invariant A d'affixe a.
Exprimer z'- a et en déduire la nature de T.
E
E
XEXERRCCIICCEE12 1 2
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O ; Åu, Åv). On désigne par A et B les points d'affixes respectivesi et -2. A tout point M de P, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par :
z' =z + 2 z-i .
1. On note I le milieu du segment [AB]. Déterminer l'affixe du point I' associé à I.
2. On pose z =x +iy et z' =x' +iy' avecx,y,x', y' réels.
a) Déterminer x' ety' en fonction dex ety.
b)Déterminer et tracer l'ensemble E des points M d'affixes z tels que z' soit réel.
c) En interprétant géométriquement l'argument de z', montrer que si z' est réel alors M, A, B sont alignés.
E
E
XEXERRCCIICCEE13 1 3
q est un nombre réel donné.
1. Résoudre dansℂ l'équation d'inconnue Z : Z2- 2 Z cosq + 1 = 0.
En déduire la résolution dansℂ de l'équation d'inconnue z :
z4- 2 z2 cosq + 1 = 0. (E) (Les racines seront présentées sous forme trigonométrique.)
2. Dans le plan complexe on considère les images M1, M2, M3 et M4 des quatre racines de (E).
Pour quelle valeur deq (0 <q <p) ces quatre points sont-ils les sommets d'un carré ?
3. Décomposer en un produit de deux facteurs du second degré et à coefficients réels le polynôme défini par : f (x) =x4- 2x2 cosq + 1.
E E
XEXERRCCIICCEE14 1 4
On considère la transformation géométrique définie par z' =2z- 3 z- 1 . 1. Montrer que z' = 2- 1
z- 1 .
2. En déduire que z' s'obtient à partir de z au moyen des transformations définies par z1 = z - 1, z2 = 1 z1, z3 =-z2, z' = 2 + z3.
Caractériser chacune des transformations.
3. Dans un repère (O ;Åu,Åv) tracer le point M' image de z' à partir de la donnée du point M image de z.
