GROUPE DES NOMBRES COMPLEXES DE MODULE . SOUS-GROUPES DES RACINES DE L’UNITÉ. APPLICATIONS.

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�� GROUPE DES NOMBRES COMPLEXES DE MODULE �. SOUS-GROUPES DES RACINES DE L’UNITÉ.

APPLICATIONS.

I. De l’exponentielle complexe au groupe U

I. A. Autour de l’exponentielle

[Rud��, Prologue, p�–�] [AF��, §VI.�, p��]

D��. [��,�� ]

On définit les séries entières suivantes : exp(z) = e^z=ÿ

nœN

zⁿ

n! cos(z) =ÿ

nœN

(≠1)ⁿz²ⁿ

(2n)! sin(z) =ÿ

nœN

(≠1)ⁿz²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

P��.

(i) exp,sin,cossont des séries entières de rayon de convergence infini et sont donc définies et holomorphes surC. De plusexpest sa propre dérivée,

(ii) Pour toutzœC, on aexp(iz) = cos(z) +isin(z), (iii) Pour◊œR,cos(◊)etsin(◊)sont réels et--e^i◊--= 1.

(iv) expest un morphisme surjectif de(C,+)dans(C^ú,◊)de noyauiaZpour unaœR+. (v) Pourz1, z2œC,exp(z1+z2) = exp(z1) exp(z2),

R��. On note alorsE:R≠æC^ú, t‘≠æeîtetfi=a/2(ainsieîfi+1 = 0).

Cette application associe à un angletl’unique pointude module�dont l’angle entre[Ox) et[Ou)estt. On le précisera dans la partie II. A. .

C��. [�� M�� ’E��]

• PournœNet◊œR, on a(cos(◊) +isin(◊))ⁿ= cos(n◊) +isin(n◊).

• Pour◊œR, on acos(◊) = êî◊^{+ e}₂^≠î◊ etsin(◊) = êî◊^≠_2iê^≠î◊.

A��. Développement decos(n◊)etsin(n◊)par la formule deM��. Linéarisation decosⁿ(◊)etsinⁿ(◊)par les formules d’E��. Exemples decos⁵(◊)etsin(5◊).

A��. Polynôme deT��.

A��. Calcul des noyaux deD��etF��: DN =

ÿN n=≠N

e^in.=sin!_2N₊₁

2 ."

sin(./2) et KN = 1 N

Nÿ≠1 n=0

Dn= ÿN n=≠N

11≠|n| N

2en= sin²(N./2) sin²(./2)

I. B. Le groupe des nombres complexes de module �

[AF��, §VI.�/�, p��]

On noteraU={zœC||z|= 1}le groupe des racines de l’unité,UQ =)e^2ipﬁ |pœQ* . Pour nœN^ú, on poseUⁿ={e²ⁱ^kﬁⁿ |kœN^ú}le sous-groupe des racinesn-ièmes de l’unité.

E��. U1,U2,U3,U4et représentation sur le plan. [�� ]

P��.

• PournœN^ú,Uⁿ µUQµUsont des sous-groupes de(C^ú,◊)etUⁿest fini d’ordren.

• E:R‘≠æUest un morphisme surjectif et induit un isomorphismeR/2ﬁZƒU.

• R^ú+◊U:C^ú≠æ,(r, u)‘≠ærE(u)est un isomorphisme de groupes.

A��. PournØ2, on aq

ÊœUⁿÊ= 0.

A��. Résolution dezⁿ=z0pour unz0œC. P��.

(i) Tout sous-groupe deUest soit discret, soit dense dansU. De plus les seuls sous-groupes discrets sont les(Un)_nœN.

(ii) UQest dense etE|Qinduit un isomorphismeQ/ZƒUQ. (iii) Les sous-groupes compacts de(C^ú,◊)sontUet les(Uⁿ)nœN.

(iv) ChaqueUⁿest cyclique et isomorphe àZ/nZ. Les générateurs deUⁿsont les racines n-ièmes primitives de l’unité :U^◊n ={e²ⁱ^kﬁⁿ |kœZetk·n= 1}.

(v) „n: U ≠æ U

z ‘≠æ zⁿ est un morphisme de groupe continu pournœZ^ú, de noyauU|n|. E��. Racines primitives2,3,4,8-èmes de l’unité.

P��. On noteÏ(n)le cardinal deU^◊n.

• UdµUnsi et seulement sid|n,

• Uⁿ=ﬁd|nU^◊d,

• n=q

d|nÏ(d).

R��. uœUⁿest d’ordrensi et seulement siu^d”= 1pour toutd < ntel qued|n.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page�sur��

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Agrégation – Leçons ��– Groupe des nombres complexes de module�. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

II. Angles orientés et argument

II. A. Angles orientés et rotations du plan

[Aud��, §III.�, p��] [Rom��, §�.�, p��]

Notion d’angles orientés, lien avec l’argument d’un nombre complexe D��. [��]

La rotation autour de0d’angle◊est l’applicationr◊:C≠æC, z‘≠æzE(◊).

La rotation autour deaœCd’angle◊est l’applicationr◊, a:C≠æC, z‘≠æa+r◊(z≠a).

P��. Les rotations sont des isométries. En particulierUest stable par toute rotation autour de0.

A��. [�� n��]

Les rotations du plan préservant un polygone régulier àncôtés de centreOest un groupe constitué desnrotations de centreOet d’angle ^k2ﬁ_n pourk œ J0, n≠1K. Autrement dit c’est {z‘≠æzÊ|ÊœUⁿ}.

R��. Si l’on rajoute lesnsymétries d’axe2sommets ou2milieux de côtés opposés sinest pair,1sommet et le milieu du côté opposé sinest impair, on obtient le groupe des isométries du plan préservant le polygone régulier àncôtés : c’est le groupe diédralD2n.

II. B. Argument continu et logarithme continu sur les ouverts de C

^ú

[Tau��, §�.�, p��]

D��. Soit un ouvert deC^ú.

• Un argument continu sur est une application continue : ≠æRtelle que pour toutzœ ,_|^z_z_| =E¶ (z).

• Un logarithme continu sur est une application continue¸: ≠æ Ctelle que pour toutzœ , z= exp¶¸(z).

P��. Soit =C\R≠.

• Il existe un argument continu sur . Si on suppose de plus à valeurs dans]≠ﬁ,ﬁ[, on a alors unicité et on appelle la détermination principale de l’argument,

• Il existe un logarithme continu sur .

P��. Soit un ouvert connexe deCet¸: ≠æC. Alors on a équivalence :

• Il existeCœCtel queC+¸est un logarithme continu sur ,

• ¸est une primitive dez‘≠æ1/zsur .

En particulier, tout logarithme continu sur est holomorphe.

III. Polynômes cyclotomiques

III. A. Définitions et propriétés

[Per��, §�.�, p��]

SoitnœN^ú.

D��. [�� ]

On définit len-ième polynôme cyclotomique n œCⁿ[X]par n(X) =r

’œU^◊ⁿ(X≠’).

Exemples, ...

P��.

(i) nest unitaire de degréÏ(n) = card({kœ[1, n]|k·n= 1}).

(ii) Xⁿ≠1 =r

d|n d. En particulier, sinest premier : n=Xⁿ≠1.

P��. n œZ[X].

T��. nest irréductible surZet donc surQ. C��. On a[Q[e^2iﬁ/n] :Q] =Ï(n).

III. B. Applications

[Gou��, p��/��] [FGN��, p��]

T��. [�� W��]

Toute algèbre à division finie est un corps.

T��. [�� K��]

SoitP œZ[X]unitaire tel que toutes les racines dePsont de module inférieur ou égal à� etP(0)”= 0, alors toutes les racines dePsont des racines primitives de l’unité.

C��. [�� K��]

SoitP œZ[X]unitaire de degrénet irréductible surQ. Si toutes les racines dePsont de module inférieur ou égal à�, alorsP =XouP = n.

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IV. Autres applications

IV. A. Représentations linéaires complexes / caractères d’un groupe abé- lien fini?

[Rom��, Ch�, p��] [Ser��, Ch�, p��]

SoitGun groupe etEunC-espace vectoriel de dimension finie.

D��. [��]

Une représentation (linéaire) deGdansEest un morphisme de groupesﬂ:G‘≠æGL(E).

R��. Se donner une représentation deGdansErevient à se donner une action de groupes deGsurEen posantﬂ(g)(x) =g.x.

P��. Lorsquedim(E) = 1etGest fini,EƒCet on aﬂ(g)_|U:U≠æUpour toutgœG.

E��. [�� ]ﬂ:g‘≠æIdEest une représentation deGsurE.

E��. SiEest de dimension1:

• les représentations deSndansEsontﬂ:‡≠æIdEetﬂ:‡≠æÁ(‡) IdE.

• les représentations deZ/2ZdansEsontfl:x≠æIdEetfldéfinie parfl(1) =≠IdE. E��. [�� ]

Sn≠æGLn(C),‡‘≠æP‡est une représentation deSnsurCⁿ.

Plus généralement, siGest fini de cardinalnetEest de dimensionn, soit(eg)gœGune base de E. Alors l’application linéaireﬂ(g)définie parﬂ(g)(eh) =eghpourhœGdéfinit une représen- tation deGdansE.

Caractères : propriétés des caractères : somme de racines de l’unité, etc

Table des caractères irréductibles deZ/nZ: on retrouve des racinesn-ièmes de l’unité ...

IV. B. Transformée de F�� discrète et interpolation polynomiale

[Pey��, §III.�, p��]

SoitN œN^úetÊ= exp(2iﬁ/N).

D��. [�� F�� ]

Soitf = (f0, . . . , f_N≠1)œC^N⁺¹. On définit la transformée deF��discrète defpar le vecteurfˆtel que :

’kœJ0, N≠1K, fˆk = 1 N

Nÿ≠1 j=0

fjÊ^≠kj

P��. L’applicationf ‘≠æ fˆest un isomorphisme d’espaces vectoriels deCⁿ dans lui-même.

R��. Autrement dit, pour tout(c0, . . . , cN≠1)œCⁿ, il existe un unique polynôme P =_N¹ qN≠1

i=0 aiXⁱ œCN≠1[X]tel que pour toutkœJ0, N≠1K, on aP(Ê^k) =ck. C��. La transformée deF��inverse discrète defˆest le vecteur dej-ième coordonnéeqN≠1

k=0 fˆkÊ^kj.

A��. [�� F�� ]

On peut calculer la transformée deF��discrète d’unN-échantillon enO(Nlog(N))(alors que la formule initiale donne unO(N²)).

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��

Dessin du cercle unité et racines primitives, polygones réguliers.

Table de caractères

��

Les nombres complexes sont un outil puissant, en géométrie comme en algèbre. Leur richesse est en grande partie déterminée par la sphère unité et les propriétés de ses éléments, notam- ment de ses sous-groupes, interviennent donc fréquemment.

Dans une première partie, on reconstruitCà partir de l’exponentielle complexe, cela mène aux propriétés de linéarisation et aux propriétés deU.

Dans un second temps, on s’intéresse aux déterminations continues d’argument et de logarithme.

Ensuite, on regarde les applications en algèbre avec les polynômes cyclotomiques et leurs pro- priétés.

Enfin, il y a de nombreuses autres applications du groupe des racines de l’unité, nous regar- dons leur rôle dans les représentations linéaires complexes, puis dans les questions autour de la transformée deF��discrète, qui permet des multiplications rapides.

��

Q Pourquoi sait-on qu’il n’y a pas d’argument continu surC^ú?

R Pour le logarithme, on sait que c’est une primitive dez ‘≠æ 1/z, et en intégrant sur un chemin fermé on ne trouve pas0.

Q Donner des applications des polynômes cyclotomiques?

Q Soit–œ[0,ﬁ/2[. Partant dex₀= 1, on génèrex₁comme le point d’intersection distinct de x₀du cercle trigonométrique avec la droite passant parx₀et d’angle–avec la droite(Ox1).

Puis les pointsx₂, x₃, . . .sont générés itérativement de manière similaire :x_i+1est obtenu comme le point d’intersection distinct dexidu cercle trigonométrique avec la droite passant parxiet telle que(Oxi)est la bissectrice dex_i≠1\xix_i+1. Calculerx₁, x₂, . . .. Montrer que{xi}iœNest fini ou dense dansU.

R Distinguer selon que–/ﬁsoit commensurable ou non.

Q Peut-on trouver deux dés de lois indépendantesµet‹ telle que la somme des deux dés suive une loi uniforme surJ2,12K.

R Supposons que ce soit le cas. On calcule la fonction génératrice de la somme des deux dés et on obtientg₁₊₂(s) = ₁₁¹s^{2 1≠}_1≠^s¹¹_s =g₁(s)g2(s). Ainsig₁₊₂a0pour racine double et les 10autres racines sontU11\ {1},g₁a0pour racine simple et des éléments deU11\ {1} conjugués, tout commeg₂. C’est absurde puisqu’alors soitg₁a7racines etg₂en a5, mais elles ne peuvent pas avoir chacune6racines.

��

[AF��] J.M.A��et H.F��:Cours de mathématiques, Tome�, Algèbre. Dunod,��.

[Aud��] M.A��:Géométrie. EDP Sciences,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Pey��] G.P��:L’algèbre discrète de la transformée deF��. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

[Ser��] J.-P.S��:Représentations linéaires des groupes finis. Hermann,��.

[Tau��] P.T��:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,��.

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