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113 : GROUPE DES NB COMPLEXES DE MODULE 1 – RACINES DE L'UNITE – App I. Le groupe U

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Academic year: 2022

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113 : GROUPE DES NB COMPLEXES DE MODULE 1 – RACINES DE L'UNITE – App I. Le groupe U [AF1] - [Au]

1. Groupe des complexes de module 1

ss-gpe de C

*

- interp geom

2. Lien avec la droite réelle

exp complexe – U ~ R/

2πZ

– def cos, sin - argument

3. Lien avec les rotations du plan

R/

2πZ

~ SO(2) – mes d'un angle orienté

II. Racines de l'unité [AF1] – [LF1]

1. Le groupe Un

Un = Ker(f

n

) – cyclique d'ordre n, réciproque – Un ~Z/nZ

2. Racines primitives n

ièmes

= génér de Un / exp(...) - ind d'Euler – Un

*

~ Z/φ(n)Z

3. Interprétation géométrique

polygônes convexes, étoilés – nb de polg = φ(n)/2

4. Racine n

ième

d'un complexe

III. Polynômes cyclotomiques [Pe][Com]

1. Construction

def de Φn, deg, X

n

-1 = - construction par rec

2. Propriétés

Φn € Z[X], Φn(0)=1 – irred sur Z, Q – [Q(ξ):Q]=φ(n)

3. Applications

Wedderburn

Th dirichlet faible (+lemme) – Un

*

=Un

/2 –

p|n

2^(k+1)

=> p=m2

k+1

+1

Biblio :

Arnaudies Fraysses 1 Audin

Lelong-Ferrand Arnaudies 1 Perrin

Combes

Développements :

11 – Théorème de Dirichlet faible

12 – Irreductibilité de Φn sur Q

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