TS Les nombres complexes (2) Module d’un nombre complexe I. Généralités 1°) Définition z

(1)

1

TS Les nombres complexes (2)

Module d’un nombre complexe

I. Généralités

1°) Définition

z est un nombre complexe quelconque.

z = a+ ib (



^{a b}^;



^^²⁾

On appelle module de z le réel positif ou nul z  a²b².

2°) Remarque

 z   z 0

3°) Exemples

1 3 2i

z  

2 2

1 3 2

z  

1 9 4

z  

1 13

z 

2 1 3i

z  

 

²

2

2 1 3

z   

2 10

z 

3 5

z  

 

² ²

3 5 0

z   

3 25

z 

3 5

z 

4 2i

z 

2 2

4 0 2

z  

3 2

z 

| i | = 1

4°) Interprétation géométrique

z est un nombre complexe quelconque.

z = a+ ib (



^{a b}^;



^^²⁾

M est le point d’affixe z dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{u v}^{ }



^.

a b

u v

O

2 2

z  a b

| z | = OM

M(z)

2 5°) Lien avec la valeur absolue d’un réel

z = a+ ib (



^{a b}^;



²) z  b = 0

a si a0 z  a²0² a²  a d 0 ;



a





– a si a0 module définition distance

ou module de z a²0² a²valeur absolue d ea

La notion de module est une généralisation, une extension de la notion de valeur absolue des réels.

6°) Propriété (une autre expression du module)

 Énoncé

 z   z  zz

 Démonstration

z = a+ ib (



^{a b}^;



²) i

z a b



ⁱ



ⁱ



z z a b ab ^^a²^

 

ⁱ^b ²

a²b² ( 0)

Donc z ²z z

7°) Propriété (cas de nullité du module)

 Énoncé

| z | = 0  z = 0

(2)

3

| z | = 0  a²b²0  a²b²0  0

0 a b





   z = 0 II. Propriétés du module

1°) Propriété 1

 Énoncé

 z   z  z  z

a b

u v

O

OM = OM’ = OM’’

z = a + ib (



^{a b}^;



²) i

zab i

z a b

   

 

²

2 2 2

z  a  b  a b  z

 

²

 

² ² ²

z a b a b z

       

M (z)

 

M' z

 

M" z –b

– a

4 2°) Propriété 2

 Énoncé



^{z z'}^,



²

  zz'  z z'

On utilise l’expression du module à l’aide du conjugué.

On pose Zzz'. zz'  Z

 Z Z  zz' zz '  z z' z z'    z z z' z'

 

 

 

 

Or 



^{x y}^,



² xy x y. Donc zz'  z z z' z'.

Par conséquent, zz'  z  z' .

 Généralisation



z z ... z1, 2, , _n



ⁿ

  z z ...z_{1 2} _n  z₁  z₂  ... z_n

 Exemples

3i  3  i   3 1 3

5i 5 i 5 1 5

      

 Énoncé



^{z z'}^,



^*

   z z

z'  z'

(3)

5

On utilise la propriété 2.

Astuce de départ : z z' z z' 

z z' z

z' 

propriété 2

z z' z

z'  

0

z' donc z' 0

D’où : z z

z'  z'

 Cas particulier

 z  ^* 1 1 z  z

 Énoncé

 z    n ^* zⁿ  z ⁿ

On utilise la généralisation de la propriété 2.

Astuce de départ :

facteurs n

n

z     z z z ... z

fois n

n

z  z  z  z  ... z

 (d’après la généralisation de la propriété 2)

n n

z  z

6 5°) Propriété 5 : inégalité triangulaire

 Énoncé



^{z z'}^,



²

  zz'  z  z'

 Interprétation géométrique

u v

O

M (z) M’(z’) M’’(z+z’)

OMM’’M’ est un parallélogramme.

Dans le triangle OMM’’, OM''OMMM''.

OM'' zM_''  zz' OM = z

MM''OM' z '

Donc zz'  z  z' .

III. Applications géométriques (normes et distances)

1°) Norme d’un vecteur

 Énoncé w



(z) est un vecteur quelconque.

w  z



M (z)

 

M '' zz' M (z’)

(4)

7

z = x + iy

 

^{x y}^,



^^²



w

 a pour coordonnées cartésiennes (x ; y).

2 2

w  x y  z



2°) Distance de deux points

Propriété

 

A

A z et B

 

zB sont deux points quelconques.

Le vecteur AB

a pour affixe z_Bz_A.

B A

AB AB  zAB^  z z



B A



AB z z



3°) Caractérisation d’ensembles de points (lieux géométriques)

 cercle C ^{de centre}

 

de rayon 0 a R





 

M z  C  M = R  z_Mz R  z a R

 médiatrice de [AB] avec A(a) et B(b)

 

M z   MA = MB  AM = BM  z_Mz_A  z_Mz_B  | z – a | = | z – b |

4°) Module de z a z b





^{a b z}^{, ,}



^³, z  a, z  b A(a), B(b) et M(z)

AM MA

BM MB

z a z a

z b z b

 

  

 

8 IV. Utilisation de la calculatrice

Sur les calculatrices qui permettent de faire des calculs sur les nombres complexes, il y a une touche qui permet de calculer le module d’un nombre complexe.

TI 83 Plus

Aller dans MATH puis dans CPX (complexes) puis 5 : abs ( )

Taper le nombre en utilisant la touche i , fermer la parenthèse et appuyer sur entrer . On obtient le module du nombre que l’on a rentré.