Maths expertes – Chapitre 7 Page 1
Chapitre VII : Les nombres complexes : applications
III – Racines nièmes de l’unité Définition 3 :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
On appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧 = 1.
Remarque 4 :
Le nombre 1 est solution de l’équation 𝑧 = 1.
Les racines n-ièmes de l’unité sont les racines du polynôme 𝑧 − 1.
Propriété 9 :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
L’équation 𝑧 = 1 admet exactement 𝑛 racines n-ièmes distinctes.
Ce sont les nombres complexes de la forme 𝑒 avec 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧.
Démonstration :
Notons 𝑧 = 𝑟𝑒 ⇔ 𝑧 = 𝑟 𝑒
𝑧 = 1 ⇔ 𝑟 𝑒 = 1 ⇔ 𝑟 𝑒 = 1𝑒 ⇔ 𝑟 = 1
𝑛𝜃 = 0 + 2𝑘𝜋 ⇔
𝑟 = 1 car 𝑟 > 0 𝜃 =2𝑘𝜋
𝑛 où 𝑘 ∈ ℤ On obtient ainsi 𝑒 avec 𝑘 ∈ ℤ.
Il reste à montrer que ces valeurs sont au nombre de 𝑛.
Montrons que les éléments de 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ sont deux à deux distincts : 𝑒 = 𝑒 ⇔ 2𝑘𝜋
𝑛 ≡ 2𝑘 𝜋
𝑛 [2𝜋] ⇔ 𝑘 ≡ 𝑘 [𝑛] ⇔ 𝑘 − 𝑘′ ≡ 0[𝑛]
Or 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ et 𝑘′ ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ donc −𝑛 < 𝑘 − 𝑘 < 𝑛 et donc 𝑘 − 𝑘 = 0 ⇔ 𝑘 = 𝑘′
Tous les éléments de cet ensemble sont donc 2 à 2 distincts.
Montrons maintenant que ce sont les seules, autrement dit, montrons que les racines n-ièmes de 1 s’écrivent toutes sous la forme 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧ :
Un racine n-ième de 1 s’écrit sous la forme 𝑧 = 𝑒 avec 𝑎 ∈ ℤ
Effectuons la division euclidienne de 𝑎 par 𝑛 : 𝑎 = 𝑛𝑞 + 𝑟 où 𝑟 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧
𝑧 = 𝑒 = 𝑒 ( ) = 𝑒 𝑒 = 𝑒 𝑒 = 𝑒 où 𝑟 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧
Définition 4 :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
On note 𝑈 l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
Ainsi, 𝑈 = 𝑒 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧
Remarque 5 :
En posant 𝑧 = 𝑒 , 𝑈 = {𝑧 où 𝑘 ∈ ⟦0; 𝑛 − 1⟧} = {1; 𝑧 ; 𝑧 ; … ; 𝑧 }
Maths expertes – Chapitre 7 Page 2 Exemple 9 :
1) 𝑈 = {1 ; −1}
2) 𝑈 = {1 ; 𝑗; 𝑗 } en posant 𝑗 = 𝑒 3) 𝑈 = {1 ; 𝑖; −1; −𝑖}
Remarque 6 :
1) Si 𝑧 ∈ 𝑈 alors 𝑧̅ ∈ 𝑈
2) Dans le cas où 𝑛 est pair, si 𝑧 ∈ 𝑈 alors −𝑧 ∈ 𝑈 Propriété 10 :
Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
Les points images des éléments de 𝑈 appartiennent au cercle trigonométrique.
Si 𝑛 ≥ 3, ce sont les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 sommets.
Exemple 10 :
1) Pour 𝑛 = 3, les racines cubiques de 1 ont pour images les sommets d’un triangle équilatéral :
2) Pour 𝑛 = 4, les racines quatrièmes de 1 ont pour images les sommets d’un carré :
