 Chapitre VII : Complexes (Compléments)

Chapitre VII : Complexes (Compléments)

I – Forme trigonométrique d'un nombre complexe :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O ,u ,v.

Définition 1 : Soit z=xiy (x et y réels) un nombre complexe et M le point d'affixe z.

On appelle module de z le réel positif ou nul, noté ∣z∣ égal à la distance OM.

On a donc ∣z∣=



^x2y2

Définition 2 : Soit z=xi y (x et y réels) un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z.

On appelle argument de z, l'angle orienté u ,OM. Notons  une mesure de cet angle, cette mesure est définie à 2 près.

On note argz=2k, k∈ℤ ou argz≡ mod2. Interprétation géométrique :

y=sin

OM=∣z∣=

v 

_u x=cos

Remarques :

1. Soit M un point d'affixe z≠0 , notons =∣z∣ et  un argument de z, alors , sont les coordonnées polaires du point M.

les coordonnées cartésiennes x , y de M sont données par x=cos et y=sin 2. cos= x



^{x2y2;sin=}

y



^{x2y2 .}

3. Un nombre complexe non nul est réel si,et seulement si, il admet un argument égal à 0 modulo 

4. Un nombre complexe non nul est un imaginaire pur si,et seulement si, il admet un argument égal à 

2 modulo 

Théorème 1 : Tout nombre complexe non nul admet une écriture de la forme z=cosisin où =∣z∣0 et ≡argz mod2.

Cette forme de z est appelé la forme trigonométrique de z.

Exemples Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants : z₁=1 i ; z₂=−1 ; z₃=i ; z₄=1−i



3 ; z₅=2



3−2i

Théorème 2 : Deux complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument modulo 2.

Propriétés ( du module ) 1:

1. ∣z∣²=zz 2. ∣−z∣=∣z∣ 3. ∣z∣=∣z∣ 4. ∣zz '∣=∣z∣∣z '∣

5. Si z≠0,

∣

¹z

∣

⁼∣z∣¹ 6. Si z '≠0,

∣

z '^z

∣

⁼∣z '∣^∣z∣ 7. Pour tout n∈ℤ, ∣zⁿ∣=∣z∣ⁿ Remarques : Dans la formule n°7, si n est négatif , z doit être différents de 0.

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O

M

Propriétés ( arguments ) 2 : Soit z et z ' deux complexes non nuls et n un entier relatif.

1. arg−z=argz mod2 2. argz=−argz mod2

3. argzz '=argzargz ' mod2 4. arg



^1z



^{=−argz mod2}

5. arg



^{z 'z}



^{=argz−argz ' mod2 6. argzn=n argz mod2.}

Démonstration des propriétés 1 et 2.

II-Module, argument et géométrie :

Propriété 3 : Soit A et B deux points du plan d'affixes respectives z_A et z_B, alors l'affixe du vecteurs AB est z_B−z_A.

Démonstration :

Propriété 4 : Soit A et B deux points du plan d'affixes respectives z_A et z_B, alors la norme du vecteurs AB est ∥AB∥=AB=∣z_B−z_A∣.

Propriété 5 :

1. Soit w un vecteur d'affixe z_w, alors ^u ,w=argz_w mod2

2. Soit A et B deux points du plan d'affixes respectives z_A et z_B, alors

u ,AB=argz_B−z_A mod2

3. Soit w^₁ et w^₂ deux vecteurs d'affixes respectives z_w1 et z_w2, alors

 w_1,w₂=argz_w2−z_w1 mod2

4. Soit A, B, C et D quatre points du planA≠B et C≠D d'affixes respectives z_A, z_B, z_C et z_D alors AB,CD=arg



^{zzDB−−zzCA}



^{mod2}

III-Forme exponentielle des nombres complexes:

Définition 3: Pour tout nombre réel, on pose cosisin=e^i. Soit z un nombre complexe non nul de moduleet d'argument. On appelle forme exponentielle de z l'écriturez=e^i.

Remarque : Soit f :ℝ  ℂ

cosisin .

On a f '=f×f'ce qui vérifie l'équation fonctionnelle de la fonction exp réelle, mais f est à valeur dansℂ.

Propriétés 6 : Soient z=e^iet z '=' e^i'deux nombres complexes non nuls etn∈ ℤ, alors 1. zz '= ' e^{i'}

2. 1 z =1

e^i=1

 e^−i

3. z z '=

' e^{i −'}

4. zⁿ=ⁿe^{i n}. 5. _z=e^−i

Remarque : cohérence des formules vues avec la fonction exponentielle.

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IV – Nombres complexes et transformations géométriques:

Propriété 7 : Soit f la transformation du plan qui, à tout point Mz associe le point M'z ', k et  des réels, b et  des complexes.

a . Si z ' vérifie z '=zalors f est la symétrie axiale d'axe O;u. b . Si z ' vérifie z '=−zalors f est la symétrie de centre O.

c . Si z ' vérifie z '=zbalors f est la translation de vecteur ub

d . Si z ' vérifie z '−=e^iz− alors f est la rotation de centre  et d'angle e . Si z ' vérifie z '−=kz− alors f est l'homothétie de centre et de rapport k . Démonstration :

Propriété 8 : (affixe du milieu et d'un barycentre)

Soient Az_A,Bz_B et Cz_Ctrois points du plan complexe,, et trois réels avec

≠0, alors :

a . le milieu I du segment [AB] a pour affixe z_I=z_Az_B

2 .

b . le barycentre G de A,,B, et C, a pour affixe z_G=z_Az_Bz_C

 .

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