Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 6 (16/11 – 20/11)
Chapitre 6 : Rationnels et réels
1. Un mot sur NetZ
‚ Définition intuitive deNpar itération (successeur/prédécesseur)
‚ Équivalence entre l’axiome de récurrence, et la propriété de minimalité imposée dans la construction précé- dente (démonstration non exigible)
‚ Propriété fondamentale de N. Équivalence avec l’axiome de récurrence. Démonstration à BIEN connaître, dans les deux sens.
‚ Définition de `et ˆà partir du successeur. Propriétés usuelles.
‚ Définition deď. Ordre total.
‚ Propriétés usuelles deďrelativement à la somme et au produit.
‚ (HP) Construction de Z par quotient, lois, inégalité. La construction a été faite en TD, mais n’est pas exigible.
2. DeQ à R
‚ (HP) Rapide idée de la construction de Qpar quotient deZˆZ˚.
‚ Définition de`et ˆpar quotient (à reprendre des exemples développés dans le chapitre précédent). Pro- priétés usuelles.
‚ Signe, relation d’ordre dansQ. L’ordre est total.
‚ Existence de nombres irrationnels : ?
2 (démonstration à revoir du chapitre 1), et plus généralement ? n lorsquenn’est pas un carré.
‚ Notion de nombres incommensurables.
‚ Non existence systématique des bornes supérieures d’ensembles non vides majorés dansQ
‚ (HP) Idée de la construction de R par « ajout » de ces bornes supérieures. Aucune formalisation n’est exigible. Ce point ne peut pas faire l’objet d’une question de cours. Une construction possible allant dans ce sens a été vue en TD.
‚ Propriété fondamentale deR(admis comme axiome de la construction deR).
‚ Propriété de la borne inférieure.
3. Les nombres réels
Onadmetqu’on peut prolonger à Rles opérations et la relation d’ordre.
‚ Rappels sur les opérations et les inégalités.
˚ Rappels sur les manipulations d’inégalités dansR(sommes, différences, produits...). Pas de preuve don- née, les lois n’ayant pas été construites précisément.
˚ Majorer, minorer : 4 pistes : factoriser ; étudier une fonction ; utiliser une propriété de convexité, intro- duite de façon purement intuitive ; utiliser une inégalité classique ci-dessous.
˚ Valeur absolue, partie positive, partie négative. Notations |x|, x`,x´.
˚ Positivité dex`, x´. Expression dexet |x| à l’aide dex` et x´.
˚ Inégalités triangulaires pourp¨q`,p¨q´ et| ¨ |.
˚ Inégalité de Cauchy-Schwarz numérique. Cas d’égalité.
˚ (HP) Inégalité arithmético-géométrique (démonstration de Cauchy par récurrence à trous).
‚ Division euclidienne
˚ Propriété d’Archimède.
˚ Existence d’un rationnel rtel querxăy. Inversibilité des éléments non nuls.
˚ Encadrement obtenu avec Archimède + minimalité ; Unicité.
˚ Division euclidienne.
˚ Définition de la densité. Densité deQetRzQdansR.
˚ Partie entière et partie décimale : caractérisations diverses de la partie entière (définitions équivalentes) ; propriétés de la partie entière (somme, produit...). Notation utilisée :txu(partie entière) et txu(partie décimale). Partie entière par excès, notationrxs.
‚ (HP) Nombres transcendants, existence (par cardinalité). Démonstration non exigible.
‚ Représentation décimale
˚ Approximation décimale à 10´n par défaut, par excès.
˚ Existence du développement décimal. Unicité du développement décimal propre.
˚ (HP) Caractérisation des rationnels par leur développement décimal. Démonstration non exigible.
4. Intervalles et topologie
‚ Notion de convexité d’un sous-ensemble deRn
‚ Définition d’un intervalle par convexité.
‚ Théorème : inventaire des intervalles deR
‚ Intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts.
‚ Introduction à la topologie deRet plus généralement deRn :
˚ Boules, voisinages, ouverts, fermés
˚ Union et intersection d’ouverts et de fermés.
5. Droite réelle achevée
‚ Définition, prolongement de la relation d’ordre.
‚ Règles calculatoires dansR.
‚ Formes indéterminées.
‚ Description des intervalles deR.
Chapitre 7 : Nombres complexes
NB : Nous traiterons en cours les premiers exercices sur ce chapitre lundi uniquement. Pas d’exercice de géométrie cette semaine.
1. Définition et manipulations algébriques
‚ Définition, commeR2 muni des lois idoines.
‚ Définition de i. Propriétéi2“ ´1.
‚ Identification du réelxàpx,0q. Écriture sous la formez“a`ib. Partie réelle, Partie imaginaire.
‚ Inversibilité et expression algébrique dez´1.
‚ Propriétés de d’addition et de la multiplication (associativité, distributivités etc., vérifications non exigibles) La notion de corps a été évoquée, mais de façon vague pour le moment.
‚ Notion d’affixe.
‚ Conjugué d’un nombre complexe. Propriétés de la conjugaison. Expression de la partie réelle et de la partie imaginaire à l’aide du conjugué.
‚ Module, rapport avec la norme euclidienne canonique deR2. Propriétés du module (multiplicativité, majo- ration deRepzqetImpzq, inégalité triangulaire...)
‚ |z|2“zz.
‚ Expression algébrique d’un quotient.
2. Trigonométrie et exponentielle complexe
‚ Cercle trigonométrique, fonctions trigonométriques (sin,cos,tan,cotan).
‚ Domaines de définition des fonctions trigonométriques, et symétries. Valeurs particulières.
‚ Identitésin2pxq `cos2pxq “1.
‚ Formules de trigonométrie.
˚ Formules d’addition pour sin,cos, tan(non redémontré ; une démonstration géométrique a été évoquée très rapidement, mais n’est pas exigible)
˚ Formules de duplication des angles
˚ Formules de linéarisation des carrés (Carnot)
˚ Formules de transformation de produit en somme
˚ Formules de factorisation (Simpson)
˚ Formules de l’arc moitié
˚ Formule de factorisation deacospxq `bsinpxq, a‰0. 3. Racines d’un nombre complexe
‚ Racinesn-ièmes de1, ensembleUn. Explicitation sous forme exponentielle.
‚ Racinesn-ième de z. Explicitation sous forme trigonométrique, à l’aide d’une racine particulière ; cas où z est connu sous forme trigonométrique.
‚ Somme des puissances des racinesn-ièmes de 1. Somme des racines de 1.
‚ Somme des racinesn-ièmes dez.
‚ Méthode : recherche des racines carrées dezsous forme algébrique.
‚ Résolution des équations du second degré à coefficients dansC.
NB : Uniquement le cours pour le paragraphe ci-dessous, pas d’exercice
4. Nombres complexes et géométrie
‚ Affixe d’un point, d’un vecteur.
‚ Traduction de la norme, du produit scalaire.
‚ Traduction de la colinéarité, de l’alignement, de l’orthogonalité
‚ Traduction de l’angle
‚ Interprétations des transformations usuelles du plan. Il est notamment important de savoir traduire des rotations simples (multiplication pari, parj...)
‚ Notion d’isométrie, de similitude
‚ Caractérisation des isométries et similitudes vectorielles directes
‚ (HP) Caractérisation des droites et des cercles.
