Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 4 (02/11 – 06/11) NB : N’oubliez pas d’organiser le rattrapage des colles du mercredi 11 novembre.
Il s’agit en grande partie d’un programme de révision. Pas d’exercice sur le chapitre 6 pour le moment (seulement le cours)
Chapitre 1 : Logique et raisonnements
Révisions
Chapitre 2 : Ensembles
Révisions
Chapitre 3 : Applications
Révisions
Chapitre 4 : Sommes
Révisions
Chapitre 5 : Relations
Révisions. Les élèves avaient peu d’entraînement sur ce chapitre lors de la dernière semaine de colle. Vous pouvez désormais leur donner des exercices un peu plus poussés sur ce thème.
Chapitre 6 : Rationnels et réels
Seulement le cours cette semaine. Pas d’exercice sur ce chapitre.
1. Un mot sur NetZ
‚ Définition intuitive deNpar itération (successeur/prédécesseur)
‚ Équivalence entre l’axiome de récurrence, et la propriété de minimalité imposée dans la construction précé- dente (démonstration non exigible)
‚ Propriété fondamentale de N. Équivalence avec l’axiome de récurrence. Démonstration à BIEN connaître, dans les deux sens.
‚ Définition de`etˆ. Propriétés usuelles. Seules les propriétés nécessaires à l’obtention de l’associativité et de la commutativité ont été prouvée en cours.
‚ Définition de ď. Ordre total.
‚ Propriétés usuelles deďrelativement à la somme et au produit.
‚ (HP) Construction de Z par quotient, lois, inégalité. La construction a été faite en TD, mais n’est pas exigible.
2. DeQ à R
‚ (HP) Rapide idée de la construction de Qpar quotient deZˆZ˚.
‚ Définition de` et ˆpar quotient (à reprendre des exemples développés dans le chapitre précédent). Pro- priétés usuelles.
‚ Signe, relation d’ordre dansQ. L’ordre est total.
‚ Existence de nombres irrationnels : ?
2 (démonstration à revoir du chapitre 1), et plus généralement ? n lorsquenn’est pas un carré.
‚ Notion de nombres incommensurables.
‚ Non existence systématique des bornes supérieures d’ensembles non vides majorés dansQ
‚ (HP) Idée de la construction de R par « ajout » de ces bornes supérieures. Aucune formalisation n’est exigible. Ce point ne peut pas faire l’objet d’une question de cours. Une construction possible allant dans ce sens a été vue en TD.
‚ Propriété fondamentale deR(admis comme axiome de la construction deR).
‚ Propriété de la borne inférieure.
3. Les nombres réels
Onadmetqu’on peut prolonger à Rles opérations et la relation d’ordre.
‚ Rappels sur les opérations et les inégalités.
˚ Rappels sur les manipulations d’inégalités dansR(sommes, différences, produits...). Pas de preuve don- née, les lois n’ayant pas été construites précisément.
˚ Majorer, minorer : 4 pistes : factoriser ; étudier une fonction ; utiliser une propriété de convexité, intro- duite de façon purement intuitive ; utiliser une inégalité classique ci-dessous.
˚ Valeur absolue, partie positive, partie négative. Notations |x|, x`,x´.
˚ Positivité dex`, x´. Expression dexet |x| à l’aide dex` et x´.
˚ Inégalités triangulaires pourp¨q`,p¨q´ et| ¨ |.
˚ Inégalité de Cauchy-Schwarz numérique. Cas d’égalité.
˚ (HP) Inégalité arithmético-géométrique (démonstration de Cauchy par récurrence à trous).
‚ Division euclidienne
˚ Propriété d’Archimède.
˚ Existence d’un rationnel rtel querxăy. Inversibilité des éléments non nuls.
˚ Encadrement obtenu avec Archimède + minimalité ; Unicité.
˚ Division euclidienne.
˚ Définition de la densité. Densité deQetRzQdansR.
˚ Partie entière et partie décimale : caractérisations diverses de la partie entière (définitions équivalentes) ; propriétés de la partie entière (somme, produit...). Notation utilisée :txu(partie entière) et txu(partie décimale). Partie entière par excès, notationrxs.
‚ (HP) Nombres transcendants, existence (par cardinalité). Démonstration non exigible.
‚ Représentation décimale
˚ Approximation décimale à 10´n par défaut, par excès.
˚ Existence du développement décimal. Unicité du développement décimal propre.
˚ (HP) Caractérisation des rationnels par leur développement décimal. Démonstration non exigible.
