Spé Chapitre 1 : Matrices Page 1
Chapitre 1 : Matrices
Objectifs :
*Savoir rechercher une courbe polynomiale passant par un ensemble de points donnés
* Connaitre et savoir utiliser les matrices
*Savoir effectuer des opérations sur les matrices
* Connaitre l’inverse d’ une matrice
*Savoir résoudre des systèmes à l’aide des matrices I. Trouver une fonction
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
2p242+13,14,19,21p252+27,28,29p253+53,55p255
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 1,2p248+20,22p252+23,24,25,26p253+54,56,57p256 II. Généralités sur les matrices
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 3p243
Définition : Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes.
Les nombres , situé à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ième colonne, sont appelés les coefficients de la matrice.
Exemple :
est une matrice de taille 2 x 3.
Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée.
Exemple : est une matrice carrée de taille 2.
Définition : Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne.
Une matrice de taille 1 x m est appelée une matrice ligne.
Définition : On appelle matrice unité de taille n la matrice carrée formée de n lignes et n colonnes :
Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.
Spé Chapitre 1 : Matrices Page 2 III. Opérations sur les matrices
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 4,5p243
i) Soient A, B et C trois matrices de même taille et k un nombre réel.
Définition : La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B.
Propriétés :
a) Commutativité : A + B = B + A
b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)
Définition : Le produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k.
Exemples :
,
, C=A+B et D= 2A
ii) A est une matrice de taille n x p . B est une matrice de taille px q.
Propriété : Le produit de A et B est la matrice, notée A x B, de taille n x q , dont le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ième colonne est obtenue en multipliant la i-ème ligne de A et à la j- ième colonne de B.
Remarque : La multiplication de matrices n'est pas commutative :
Propriété : Pour toute matrice carrée A de taille n, on a :
Exemple :
et
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
5,6p249+15,17p252+30,34,35,36,38p253+58,60,62p256+651.p257 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
3,4p249+16p252+31,32,33,37,39p253+59p256+63,64,66,67p257
Spé Chapitre 1 : Matrices Page 3 IV. Matrice inverse
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 6,7p246
Définition : Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible s'il existe une matrice B telle que A x B = B x A = I. La matrice B, notée A-1 est appelée la matrice inverse de A.
Exemple :
Propriété : Soit A une matrice carrée inversible de taille n et B une matrice colonne à n lignes.
Alors le système linéaire d'écriture matricielle admet une unique solution donnée par la matrice colonne .
Démonstration : alors alors alors
Exemple d’application : On considère le système (S) suivant : On pose :
Ainsi, le système peut s'écrire .
A la calculatrice, l'inverse de la matrice A est :
Ainsi
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
9,12p251+41,42,43,44,48,49p254+71,73,74p259+79,82,83p261 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
7,8,10,11p251+18p252+40,45,46,47p254+68p257+69,70,72,75p259+80,81p261
