Exercice 1. Inverser, si c’est possible les matrices suivantes :

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 9

Exercice 1. Inverser, si c’est possible les matrices suivantes :

A =

5 4 6 5

, B =





1 −1 1

1 0 1

4 0 1



 , C =





1 1 1 1 1 2 1 2 3



 , D =





1 1 1 1 1 2 2 2 3



 .

Soit maintenant t ∈ R un param` etre r´ eel. Inverser, si c’est possible les matrices suivantes :

E =

cos(t) sin(t)

− sin(t) cos(t)

, F =

ch(t) sh(t) sh(t) ch(t)

.

Exercice 2. Soient

M =

1 3 0 2 4 1

, N =





−2 ³ ₂ 1 − ¹ ₂

0 0



 .

Les matrices M et N sont-elles inversibles ? Montrer que M N = Id ₂ , mais que N M 6= Id ₃ . Exercice 3. Soient

B =

0 2 −1

−2 −1 2

, C =

1 0 0

−1 2 1

.

Existe-t-il des matrices A telles que AB = C ?

Exercice 4. Pour quelles valeurs de λ ∈ R les matrices suivantes sont-elles inversibles ?

A =





1 − λ 0 3

0 2 − λ 4

0 0 1 − λ



 et B =





2 − λ 1 2

4 2 − λ 4

2 1 2 − λ





Exercice 5.

Soient

A =





1 2 0 0 1 3 0 0 1





et B = A − Id 3 .

a) Calculer B ⁿ pour tout n 6= 1. En d´ eduire A ⁿ .

b) Montrer que A est inversible, et calculer A ⁻¹ , en utilisant le pivot de Gauss.

c) Montrer que A est inversible, et calculer A ⁻¹ , en utilisant (a).

d) Montrer que les matrices A et B commutent. Les matrices A ⁻¹ et B commutent-elles ?

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Exercice 6. Soit f : R ³ → R ³ d´ efinie par

(x, y, z) 7→ (2x − y − z, y, z).

Soit B la base canonique de R ³ et soit B ⁰ = (v ₁ , v ₂ , v ₃ ) une base de R ³ avec v ₁ = (1, 1, 0), v ₂ = (1, 0, 1) et v ₃ = (1, 0, 0).

Calculer les matrices de changement de base.

Calculer les matrices A ₁ = [f ] _B,B , A ₂ = [f] _B,B

, A ₃ = [f ] _B

_,B et A ₄ = [f] _B

_,B

.

Exercice 7. Soit f : R ³ → R ³ l’application lin´ eaire dont la matrice dans la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 ) est

A =





0 1 1 1 0 1 1 1 0



 .

On consid` ere la famille B ⁰ = (u 1 , u 2 , u 3 ) avec

u 1 = (−1, 0, 1), u 2 = (−1, 1, 0) et u 3 = (1, 1, 1).

a) Montrer que B ⁰ est une base de R ³ . b) Donner la matrice A ⁰ de f dans la base B ⁰ .

c) ´ Ecrire la matrice de passage P de la base canonique ` a la base B ⁰ et calculer son inverse P ⁻¹ . d) Calculer, en utilisant la formule du changement de base, la puissance A ⁿ pour n ∈ N . Exercice 8. Soit f : R ⁴ → R ³ l’application lin´ eaire d´ efinie par :

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 7→ (x 1 − x 2 , x 3 − x 4 , 0)

Soit B 3 la base canonique de R ³ , soit B 4 la base canoniques de R ⁴ . 0n note B ⁰ = (v 1 , v 2 , v 3 ) une base de R ³ avec

v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), et v 3 = (0, 1, 1).

Calculer les matrices A = [f ] B

,B

et A ⁰ = [f ] B

,B

.

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