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Calculer les déterminants des matrices suivantes, sous la forme la plus factorisée possible :

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Academic year: 2022

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Exercices : Déterminants

Exercice 1

Calculer les déterminants des matrices suivantes, sous la forme la plus factorisée possible :

1 2 1 3

4 0 3 1

−1 2 −3 0

1 6 −1 −1

xI

3

AA =

0 1 −1

1 2 1

−1 1 2

xI

3

BB =

1 0 0

−1 1 1

−1 0 2

1 cos a cos 2a 1 cos b cos 2b 1 cos c cos 2c

1 2 · · · n

2 2 .. .

.. . . .. ...

n · · · · n

(a

i,j

)

16i,j6n

= (ij)

16i,j6n

1 0 · · · 0 n − 1 0 1 . .. ... .. .

.. . . .. ... 0 2

0 · · · 0 1 1

n − 1 · · · 2 1 1

Exercice 2

Soit M ∈ M

n

( R ) antisymétrique (c’est-à-dire M

T

= −M). Montrer que n impaire entraîne M non inversible.

Exercice 3

Soit A, B et C des matrices de M

n

( R ). Montrer que

det A B

C A + CB

!

= det(A + C) det(AB)

Exercice 4 (OT 237 — 2011 PT)

Soit A ∈ M

n

( K ) et (a, b, c, d) ∈ R

4

. Calculer det aA bA cA dA

!

en fonction de det A et a, b, c, d.

Exercice 5

Soit (a, b, c) ∈ C , A =

c a b b c a a b c

 et J =

1 1 1

1 j j

2

1 j

2

j

 . 1) Montrer que J est inversible.

2) Calculer AJ , en déduire det(AJ ) puis det(A).

Exercice 6 On pose J =

1 · · · 1 .. . . .. ...

1 · · · 1

 ∈ M

n

( R ). Montrer qu’il existe PGL

n

( R ) telle que P

−1

J P =

n 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . . .. ...

0 0 · · · 0

 .

En déduire det(αI

n

+ βJ).

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