Transcrire sous une autre forme les expressions suivantes:

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1

Rappels de mathematiques

Exercice 1

Transcrire sous une autre forme les expressions suivantes:

1) a + a + a + a 2) a

a

a

a 3)

a

a

a

a

4) a:a:a:a 5) 1 a:a:a:a 6) a

7) a: 1a

:a

:a

:a

8) a(b + c) 9) a:(b:c)

10) a + (b:c) 11) 1a(b+c) 12) 1a(b:c)

13) 1a(a+c) 14) 1a(a:b) 15) 1a(b+c)

16) (a + b):(c + d) 17) (a + b) + (c + d) 18) (a + b(c + d) + c(f:g)):h

19)

a

20) (a + b)

21) (a

b)

Exercice 2

1) Sur un axe muni d'un repere norme, placer les points A d'abscisse 3 et B d'abscisse -2.

Calculer la distance d(A;B) et le carre de cette distance.

2) Comment calcule-t-on l'hypotenuse d'un triangle rectangle? Dans le plan, calculer la distance d(A;B) sachant que les coordonnees de A et B sont respectivement (3; 2) et (5;

8). Reponses: 1) d(A;B) =

2

3

= 5 ; d

(A;B) = 25 ^{. 2)} d

(A;B) = (x

x

)

+(y

y

)

= 40 ; d(A;B) =

40 = 6:32

Exercice 3

Notations indexees et symbole

. On considere le tableau suivant:

1 2 3 4 5 6 7 8 a 8 3 2 9 6 2 8 5 b 4 2 9 7 10 1 3 6 c 7 6 1 3 8 2 1 3 1) Donner la valeur des symboles suivants: a

, b

.

2) Citer deux elements du tableau qui ont pour valeur 3.

3) Ecrire a l'aide du symbole

: a

+ a

+

+ a

. 4) Pour chacune des expressions suivantes:

1. La developper de maniere symbolique 2. Remplacer chaque symbole par sa valeur 3. Calculer la valeur de l'expression.

a)

i=3

(a

+ b

) b)

i=2

(a

b

c

) c)

i=3

a

d)

i=3

i:a

e)

c

f) 1n

(a

m)

sachant que m =

a

n et n = 3.

Reponses: 4)

(a

+ b

) = 68 ;

(a

b

c

) = 723 ;

a

= 214 ;

i:a

= 84 ;

c

= 31 ;

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2 m = 4:33 ; 1n

(a

m)

= 20:67

Vocabulaire des statistiques

Exercice 4

Une entreprise cherche a tester l'ecacite d'un spot publicitaire. Pour ce faire, le spot est diuse dans le programme des actualites regionales d'une region francaise. Deux jours plus tard, une entreprise de prospection de marche entreprend une enqu^ete telephonique pour obtenir des informations sur les taux de souvenir (pourcentage des personnes qui ont regarde l'emission et qui se souviennent du spot) et les impressions laissees par la publicite.

1) Quelle est la population dans cette etude?

2) Quel est l'echantillon de l'etude?

3) Pourquoi est-il necessaire d'utiliser un echantillon dans cette etude? Expliquez.

Indications de reponses: la population est la population de la region concernee. L'echantillon est l'ensemble des personnes contactees par telephone (ou selectionnees pour l'^etre).

Exercice 5

Un rapport etabli en 1996 concernait la technologie domestique et son usage par les personnes de 12 ans et plus. Les donnees suivantes correspondent aux heures d'utilisation d'un ordinateur au cours d'une semaine pour un echantillon de 50 personnes.

4.1 1.5 10.4 5.9 3.4 5.7 1.6 6.1 3.0 3.7 3.1 4.8 2.0 14.8 5.4 4.2 3.9 4.1 11.1 3.5 4.1 4.1 8.8 5.6 4.3 3.3 7.1 10.3 6.2 7.6 10.8 2.8 9.5 12.9 12.1 0.7 4.0 9.2 4.4 5.7 7.2 6.1 5.7 5.9 4.7 3.9 3.7 3.1 6.1 3.1

1) Quelle est la population etudiee? Les donnees concernent-elles la population tout entiere ou un echantillon tire de celle-ci?

2) Quelle est la variable statistique etudiee? Quel est son domaine de variation? Quelle est sa nature?

3) Quelle est la nature du tableau propose?

Indications de reponses. 1) La population etudiee est l'ensemble des personnes de 12 ans et plus (dans un pays, une region? L'enonce ne le precise pas). Les donnees concernent un echantillon de taille 50 tire de cette population. La variable etudiee est le temps d'utilisation d'un ordinateur au cours d'une semaine. C'est une variable numerique dont le domaine de variation est [0:7;14:8] . Le tableau propose est un tableau protocole.

Exercice 6

Un sondage du Wall Street Journal/NBC demandait a 2013 adultes de qualier l'etat de l'economie americaine (decembre 1997). Les categories de reponses etaient: insatisfait, satisfait et pas s^ur.

1) Quelle etait la taille de l'echantillon de cette etude?

2) Les donnees sont-elles qualitatives ou quantitatives?

3) Est-il plus pertinent d'utiliser des moyennes ou des pourcentages pour resumer les

donnees de cette question?

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3 4) Parmi les personnes ayant repondu, 28% ont declare ne pas ^etre satisfaites de l'etat de l'economie americaine. Combien d'individus ont fourni cette reponse?

Indications de reponses: 1) 2013, 2) Qualitatives, 3) Pourcentages, 4) 563 ou 564.

Exercice 7

Dans une etude publieevers 1994, J.Y. Authier rend compte d'une recherchevisant a saisir et a comprendre l'evolution des formes de dierenciation sociale nees de la rehabilitation plurielle du quartier St-Georges a Lyon.

Le recueil des donnees s'est fait essentiellement par le biais d'une enqu^ete par question- naire.

1) On s'est interesse a l'evolution de la composition sociale des dierents secteurs du quartier. Pour un echantillon de 238 personnes, on obtient les resultats rassembles dans le tableau 1.

Secteur Locataires a

revenus eleves Locataires a revenus moyens

Locataires a

revenus faibles Proprietaires

\Nord-

Ferrachat" 13 13 20 7

\Nord-Eglise" 19 28 37 4

\Sud" 2 15 29 8

\Montees" 2 11 18 12

Tableau 1: Localisation des dierentes categories de locataires et des proprietaires a) Construire un tableau donnant, pour chaque secteur, la frequence (en %) de chaque categorie d'habitants.

b) Les quatre secteurs apparaissent-ils socialement dierencies? Formuler une conclusion au niveau descriptif.

2) On s'interesse ici au \rapport au quartier" des enqu^etes selon leur \stabilite".

Le rapport au quartier est evalue a partir d'un indice d'insertion qui prend en compte a la fois le fait que la personne eectue ou non ses courses quotidiennes dans le quar- tier, sa participation a des associations locales, la localisation de son lieu de travail, etc.

Trois modalites sont envisagees ici: \plut^ot quartier", \quartier et exterieur", \plut^ot exterieur".

La \stabilite" prend en compte a la fois la date d'installation dans le quartier et le projet residentielde la personne, d'ou les cinq modalitessuivantes: \tres stables" (TS), \stables"

(S), \nouveaux" (N), \mobiles" (M) et \tres mobiles" (TM).

Pour 262 personnes interrogees, on obtient le resultat donne dans le tableau 2.

TS S N M TM

Plut^ot quartier 18 16 21 10 14

Quartier et exterieur 17 27 32 16 11

Plut^ot exterieur 4 25 18 16 17

Tableau 2: Rapport au quartier et stabilite

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4 Quelles sont les variables statistiques etudiees? Quelles sont les modalites de chacune d'elles? Quelle est la nature de chacune d'elles?

Exercice 8

On a recense regulierement la population d'une agglomeration en distinguant trois catego- ries: ^age scolaire, vie active, troisieme ^age. Les resultats sont consignes dans le tableau

suivant: 1975 1980 1985 1990

Age scolaire 299 271 265 270 Vie active 320 340 310 350 Troisieme ^age 162 182 212 241

1) Calculer en pourcentages la part de chaque categorie pour chacun des recensements.

2) Calculer le taux d'augmentation de chaque categorie entre 1980 et 1985.

3) Calculer les indices des eectifs de chaque categorie de la population (base 100 en 1980).

Reponses: 1)

1975 1980 1985 1990 Age scolaire 38% 34% 34% 31%

Vie active 41% 43% 39% 41%

Troisieme ^age 21% 23% 27% 28%

2)

Variation Age scolaire -2.21%

Vie active -8.82%

Troisieme ^age 16.5%

3)

1975 1980 1985 1990 Age scolaire 110 100 98 99

Vie active 94 100 91 102

Troisieme ^age 89 100 116 132

Exercice 9

Ch^omage: + 1,3%. La poussee du mois d'ao^ut

(...) au mois d'ao^ut, le nombre de demandeurs d'emplois a augmente de 39500, soit une hausse de 1,3% par rapport a la n juillet. (...) il y a actuellement 3.085.100 ch^omeurs.

(...) leur nombre a 3.085.100, soit 5,3% de plus qu'un an auparavant.

(...)Le taux de ch^omage en France au sens du BIT a atteint 12,6% de la population active en ao^ut contre 12,5% en juillet.

Le Telegramme de Brest - 28/09/96

Verier la coherence de ces donnees. Calculer celles qui sont citees sans que leur valeur ne soit indiquee.

Exercice 10

Dans une enqu^ete d'opinion, on a pose la question ouverte suivante: \Quelles sont les raisons qui, selon vous, peuventfaire hesiter une femmeou un couple a avoir des enfants?"

A partir des reponses libres, on a retenu un ensemble de 16 mots pertinents (peur, sante, avenir, ch^omage, etc.) et compte le nombre d'occurrences de ces mots dans divers corpus constitues a partir des categories sociales. Voici, pour le mot ch^omage et pour l'ensemble des 16 mots retenus, le nombre d'occurrences dans cinq corpus constitues selon le niveau scolaire du repondant: (1) sans dipl^ome; (2) CEP; (3) BEPC; (4) Baccalaureat; (5) Universite, Grandes ecoles, etc.

(1) (2) (3) (4) (5) Total

Chomage 71 111 50 40 11 283

les 16 mots 365 606 378 358 164 1871

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5 Par exemple, dans le corpus des reponses fournies par les personnes interrogees qui sont sans dipl^ome, on compte 71 occurrences du mot ch^omage parmi 365 occurrences des 16 mots pertinents.

Reponses: Les notions de population et de variable statistique ne s'appliquent pas de facon naturelle ici. On peut cependant choisir comme population les 1871 positions de mots reperees dans chacun des corpus. Les variables sont alors le corpus d'origine (nominale ou ordinale, 5 modalites) et la nature du mot (nominale, 16 modalites).

Exercice 11

Lors d'une enqu^ete portant sur une population de 4830 eleves de 3e, on a note d'une part la profession du chef de famille et d'autre part le choix professionnel de l'eleve. Les resultats sont rassembles dans le tableau suivant.

Choix professionnel de l'eleve

Profession du pere A B C D E F G H Ensemble

Agriculteurs 4 7 7 8 8 12 12 10 8

Salaries agricoles 0 1 0 4 2 4 3 2 2

Patrons 10 12 13 11 12 8 8 15 12

Pr. lib,cadres sup. 40 18 22 4 5 6 2 4 12

Cadres moyens 24 28 21 23 19 18 9 13 21

Employes 1 4 11 7 6 8 10 5 6

Contrema^tres 7 14 14 18 24 17 19 23 16

O.S., Manuvres 3 7 8 14 15 13 25 23 12

Personnel de service 3 0 0 3 2 4 3 1 2

Autres 8 9 4 8 7 10 9 4 9

Totaux 100 100 100 100 100 100 100 100 100

Eectifs 143 613 82 306 953 297 242 190 4830

N.B.

L'eectif total, 4830, est plus eleve que la somme des eectifs des 8 colonnes parce que l'ensemble des choix professionnels comprend d'autres categories que les 8 categories gurant dans le tableau.

Codage des categories:

A: medecins, B: ingenieurs, C: cadres superieurs, D: institu- teurs, E: techniciens, F: cadres moyens, G: ouvriers qualies.

1) Preciser la population et les variables statistiques etudiees. Quel est le type (protocole, eectifs, etc) du tableau ci-dessus?

2) Critiquer le commentaire suivant:

Sur 100 eleves choisissant la profession de cadres moyens, on constate que 18% ont des peres qui exercent cette profession. Ce pourcentage est eleve: il correspond au mode de la distribution. Il n'y a rien de surprenant a ce que les peres cadres moyens soient fortement representes dans le groupe d'eleves ayant choisi la m^eme profession. Par contre, on ne trouve dans ce groupe que 8% de peres employes, ce qui est bien peu.

Reponses: 1) Il s'agit d'un tableau de contingence. Les valeurs indiquees sont des frequences par colonne et non des eectifs.

2) Attention aux bases de calcul des pourcentages. Ce faible pourcentage resulte seulement

de ce que les enfants d'employes sont peu representes dans la population etudiee.

Representations graphiques Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Reponse: Tableau d'eectifs:

Nb de personnes a charge 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nb menages 48 65 44 27 19 15 8 2 1

Letableau ci-dessous donne lenombre annuelde divorces etle mariagesenFrance, p our

laperio de 1980-19 84 .

1980 1981 1982 1983 1984

Divorces 79689 86159 92348 97070 102432

Mariages 334377 315117 312405 300513 281402

1) Calculerlestaux devariation annuelsp our les deuxseriesdedonnees.

2) Calculerletauxdevariationentre1980et1984,puisletauxdevariationannuelmoyen

p our les deuxseries.

Letableausuivantdonneladisciplineuniversitairedesetudiantsen1989-19 90 , selonleur

origine so ciale.

CSP Droit Eco. Lettres Sciences Sante IUT Total

Superieure 56228 35828 103806 75675 64533 20630 356700

Moyenne 56228 43151 140880 76977 42283 29605 389124

Mo deste 18512 16330 58996 28076 11964 15071 148949

Total 130968 95309 303682 180728 118780 65306 894773

1) Representerladistribution des etudiantspar disciplinea l'aided'un diagrammecircu-

laire.

2) Representerla distributiondes etudiants par CSP a l'aide d'un diagrammeabandes.

3) Quelles metho des p eut-on prop oser p our representer les deux variables sur un m^eme

graphique?

On a recense les menages d'une lo calite en relevant le nombre de p ersonnes a charge de

chacund'eux. Les donneesobtenues sontindiqueesci-dessous:

6- 3- 0-0 -1 -1 -0- 1- 1- 4-5 -4- 1- 4- 4-1 -6 -0 -3 -0- 0- 8-3 -1- 1- 0- 4

- 2-1 -3 -2 -2 -0 -1- 1 -3 -4 -2- 2- 1- 1- 2- 1- 0- 0-0 -4 -1 -1 -1 -0 -0 -1 -

2- 2- 1-7 -2 -1 -1- 5- 1- 2-1 -0- 1- 1- 0-3 -1 -4 -0 -1- 0- 0-6 -0- 2- 1- 4

- 5-3 -1 -3 -0 -1 -3- 3 -2 -5 -2- 0- 0- 0- 3- 5- 3- 3-2 -5 -2 -2 -2 -2 -2 -5 -

0- 2- 3-1 -1 -2 -4- 1- 3- 5-1 -1- 0- 0- 2-6 -2 -2 -1 -3- 1- 2-0 -1- 1- 0- 6

- 2-2 -0 -0 -5 -1 -0- 4 -1 -2 -0- 0- 4- 2- 6- 3- 3- 2-2 -0 -0 -4 -2 -2 -3 -5 -

1- 0- 5-1 -1 -2 -1- 0- 0- 0-2 -3- 3- 1- 5-6 -6 -3 -5 -1- 2- 4-0 -4- 1- 2- 2

- 1-1 -0 -4 -2 -1 -0- 1 -2 -4 -1- 5- 1- 0- 1- 2- 4- 1-2 -1 -1 -1 -1 -3 -3 -1 -

1 -0 - 1- 0 -0 - 1- 1 -2 - 0- 2 - 4- 0- 3 -5 - 3- 3 - 7

Construire letableau d'eectifscorresp ondant et representerladistribution statistique a

l'aide d'un diagrammeapproprie.

;

2

10

1

2 Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Pyramides d'Egypte

Reponse: Les eleves ayant obtenu une note comprise entre 8 et 11 representent de la

premiere classe et de la seconde. Leur nombre peut ^etre evalue a 24.

On reprend lesdonneesde l'exercice10 (enqu^ete d'opinion)

Quelle(s)question(s) lesdonneesprop osees soulevent-elles?

Prop oser une (ou des) representationsgraphiques illustrant lesrep onsesqui p euvent^etre

app ortees.

On reprend lesdonneesde l'exercice11.

Representer a l'aide d'un diagrammea bandes la distribution des metiers du pere p our

le group e d'eleves voulant devenir medecins et p our le group e d'eleves voulant devenir

instituteurs.

Onreprendlesdonneesdel'exercice5(dureed'utilisationd'un ordinateuraucoursd'une

semaine).

1) Decoup er l'intervalle [0 15] en 5 classes d'amplitude 3. Determiner les eectifs des

classes ainsi obtenues. Representerla serieal'aide d'un histogramme.

2) Pro ceder aun decoupage en5 classesd'eectifsapproximativementegaux (environ10

sujetspar classe). Representerlaserieobtenuea l'aide d'un histogramme.

Lesdonneessuivantesrepresententlastructureparclasses d'^age etparsexedelap opula-

tiondel'Egypteen1947. Representercesdonneesal'aidededeuxhistogrammesdisp oses

en\pyramidedes ^ages".

Age [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[ [20;25[ [25;30[

Hommes 1280 1209 1142 984 678 686

Femmes 1305 1191 1071 917 706 787

Age [30;35[ [35;40[ [40;45[ [45;50[ [50;55[ [55;60[

Hommes 620 659 569 429 421 171

Femmes 690 654 566 415 449 173

Age [60;65[ [65;70[ [70;75[ [75;80[ [80;85[ [85;90[

Hommes 252 84 108 23 35 17

Femmes 299 82 137 24 53 23

Lesnotesobtenues par 128elevesauntest deniveau onteterepartiesen5classes: [0;10[

(insusant), [10;12[ (passable), [12;14[ (assez bien), [14;16[ (bien) et [16;20] (tres bien).

On a obtenu le tableausuivant:

Classe [0;10[ [10;12[ [12;14[ [14;16[ [16;20]

Eectif 35 35 31 19 8

Construire l'histogramme corresp ondant a ce decoupage en classes. Utiliser cet histo-

grammep our evaluer lenombre d'elevesayant obtenuune note compriseentre8 et11.

On a fait passer le test Stro op (epreuve de resistance au stress) a 432 etudiants. La

distributiondesnotes(dierencesdetempsparitemencentiemesdeseconde)estdonnee,

0

1 3

: :

: :

: :

: :

: :

M : Q : Q :

M < ou M >

;

;

Caracteristiques de position

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23 Reponses:

1)

Classes Eectif Frequences Amplitude Densite

4 0,93% 13 0.31

128 29.63% 25 5.12

209 48.38% 25 8.36

64 14.81% 25 2.56

27 6.25% 118 0.23

2) , , .

Reponses: Lemode estla modalite1; la mediane, la modalite2; la moyenne arithmetique

vaut 1.98

Reponses: Pour chacune desdeux series, la classe modaleest la classe . Ledomaine

de la variable etudiee est , mais la moyenne et la mediane seront decalees vers la

Note 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Eectif 4 9 9 20 45 45 57 49 51 27 25 21 19 11

Note 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145

Eectif 8 5 6 3 4 1 1 1 0 2 1 1 3 0

Note 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205

Eectif 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

1) Pro ceder a un nouveau regroup ement en 5 classes avec p our limites de classes: -0.5,

12.5, 37.5, 62.5, 87.5, 205.5. Completerle tableau obtenu en calculant la frequence et la

densite (eectifpar unite d'amplitude)de chacune des classes.

2) Enutilisantleregroup ementenclassesetablialaquestion 1,construirel'histogramme

et la representation graphique de la fonction de repartition de la serie. Evaluer graphi-

quementla medianeetles quartiles. Calculer lamoyenneet l'ecarttyp e.

[ 05;125[

[12 5;37 5[

[37 5;62 5[

[62 5;87 5[

[875;2055[

=475 =32 8 =605

On reprend lesdonneesdes exercices 5et 17 (duree d'utilisationd'un ordinateur).

1) Determiner la medianedela serie donneedans l'exercice5.

2)Pourchacundesdeuxregroup ementsenclassesdeterminesdansl'exercice17,determiner

laclasse mo dale.

3) Calculer la moyenne de la serie donnee dans l'exercice 5, puis la moyenne obtenue a

partir dechacundes deux regroup ementsenclasses de l'exercice17. Commenter.

On reprendlesdonneesdel'exercice14 (recensementdes menages). Determinerlemo de,

lamedianeetla moyenne arithmetiquede laserieenvisagee.

On reprend les donnees de l'exercice 18 (\Pyramides d'Egypte"). Quelle est la classe

mo dale des deux series statistiques envisagees. La valeur obtenue p ermet-ellede prevoir

lesp ositions relativesdela medianeetdela moyenne( ). Verierpar le

calcul.

[0 5[

[0 90]

0

0

0 0 0

0

i i

i

i j

1 3

3 2 2 1

3 1

1 2 3

Caracteristiques de dispersion

M : :

N

X ;

N X

N

N X

N N

M :

N

M

x x

Q ; M ; Q

S

Q Q Q Q

Q Q

Q ; Q ; Q

N

x

x x x

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

calcul tient compte de modalites \elevees". On obtient ainsi pour la serie des hommes:

et .

Reponses: 1) Impossible avec . Pour : 1 1 2 2 3 3 3.

2) Exemple: 1 2 3 3 3. ,

Reponses: La mediane est inchangee, la moyenne augmente de 0.05

Reponses: .

Reponses: . L'etendue vaut 25, l'ecart interquartile 13.

L'indice de Yule vaut -1/13, ce qui montre que la distribution est assezsymetrique.

=20 5 =25 05

Onconsidereunep opulation d'eectif et,sur cettep opulation,une variablestatistique

demo dalites1 2 et 3.

1) Lorsque = 5, p eut-on contruire un exemple de distribution de la variable telle

que lemo de soitegal a 3et lamedianea 2? Etlorsque =7?

2) Pour =5,construireun exemplededistributiondelavariable telquelamediane

soit superieure a la moyennearithmetique.

=5 =7

=3 =24

Sur une p opulation d'eectif = 100, on considere une serie statistique de mediane

=12 etde moyenne =11.

Enveriantlesdonneesexperimentales,ons'ap ercoit qu'uneerreuraetecommiseetque,

p ourl'undesindividusstatistiques,ilfautsubstituerlavaleur =18alavaleur =13.

Quelle inuencecette substitution a-t-ellesur la mediane? sur la moyenne?

On reprendlesdonnees del'exercice14 (nombre dep ersonnes acharge dansune p opula-

tion demenages). Determiner les quartiles de la distribution etudiee. Representercette

distribution al'aide d'un diagrammedetyp e \b o^te a moustaches".

=1 =2 =3

On a mesurele temps (en secondes) mis par 23 sujets p our eectuer une certaine t^ache.

Les resultatssont lessuivants:

105 107 108 109 110 111 112 113 115 116 117 118

119 121 122 123 124 124 126 127 128 129 130.

Determinerlamedianeetlesquartiles, l'etendueetl'ecart interquartile. Calculerl'indice

deYule,dont ladenitionest donnee par =

( ) ( )

.

= 111 =118 = 124

1) Aquelle condition l'ecarttyp e d'une distributionest-il nul?

2) Sur une p opulation d'eectif =100, on considereune serie statistique demoyenne

=11.

En veriant les donneesexperimentales, on s'ap ercoit que des erreurs ont ete commises.

Pour deux individus statistiques, il faut substituer resp ectivement les valeurs = 6 et

=16 auxvaleurs =9 et =13.

2 0

m

i

i

i

;

:

: E : : :

a

n

M Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Reponses: 1) L'ecart type n'est nul que sila serie est constante.

2) Il n'y a pas de changement pour la moyenne. En revanche, l'ecart type est augmente.

Le nouvel ecart type vaut

Reponses:

masse de la

modalite masses cumulees

mediale

nombre de freres et surs

Reponses: 1) Masse totale de la variable: 455.

2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

48 65 44 27 19 15 8 2 1 229

Masse 0 65 88 81 76 75 48 14 8 455

Masse cumulee 0 65 153 234 310 385 433 447 455

M. cum. relative 0% 14% 34% 51% 68% 85% 95% 98% 100%

3) La moitie des enfants se trouve dans des familles de 3 enfants ou moins. La mediale Quelle inuence cette substitution a-t-elle sur la moyenne? sur l'ecart typ e? Calculer le

nouvelecart typ e sachant quel'on avait,avec lesanciennes valeurs =3 5.

=356

Letableau suivant donnela distribution des ^ages dans un group e de220 p ersonnes.

classes [20,24[ [24,28[ [28,32[ [32,36[ [36,40[ [40,44] Total

eectifs 20 40 60 50 30 20 220

Calculerl'ecart moyen,lavarianceet l'ecarttyp e decette distribution.

=3163 ; =469 ; =315 ; =561

On reprend lesdonneesdes exercices 5et 17 (duree d'utilisationd'un ordinateur).

3) Calculerlavarianceetl'ecarttyp edelaseriedonneedansl'exercice5,puis lavariance

etl'ecarttyp eobtenusapartirdechacundesdeuxregroup ementsenclasses del'exercice

17. Commenter.

On reprendlesdonnees del'exercice14 (nombre dep ersonnes acharge dansune p opula-

tion de menages) et on supp ose, p our cetexercice, que les \p ersonnes a charge" sont en

fait des \enfants acharge". On rapp elle quele tableaudes eectifsdela seriestatistique

etudieeest donne par:

Nb enfants 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Eectifs 48 65 44 27 19 15 8 2 1 229

1) Quelest lenombretotal d'enfantspris encompte par l'etude?

2) Calculer, p our chaque mo dalite, le nombre d'enfants pris en compte (

); pro ceder ensuite a un cumuldes valeurs obtenues ( ).

3) Determiner lesvaleursp ermettantde completerlesphrases suivantes:

| La moitie des enfants se trouvent dans des foyers comp ortant ... enfants ou moins

( dela serieetudiee).

| Les 20% de familles nombreuses comp ortant 4 enfants ou plus rassemblent...% des

enfants.

|20% des enfantsse trouvent dans des foyerscomp ortant ...enfantsou plus.

4) Formerun tableaudes eectifs p our la variable etudiee sur

l'ensembledes 455 enfants concernes par l'etude.

Determiner lamoyenne,la variance etl'ecart typ ede ladistribution ainsi denie.

Il y a45 familles de 4 enfants ou plus; elle s representent 20% de la populationetudiee et

rassemblent 49% des enfants.

Les 20%d'enfants membresdes familles les plus nombreusessetrouventdansdes familles

de 5 enfants ou plus.

4)

Nb freres/surs 0 1 2 3 4 5 6 7

Eectif 65 88 81 76 75 48 14 8

Statistiques - DEUG de Sociologie - FGC 2000/2001 1

Covariance. Coefficient de corr´ elation

Exercice 1

Soit la s´erie suivante de dix associations de valeursx_i et y_i :

x_i 12 10 17 18 13 10 9 14 17 12 y_i 42 38 50 49 43 40 37 42 48 40 Repr´esenter graphiquement le nuage de points correspondant.

Calculer la covariance et le coefficient de corr´elation des deux s´eries.

R´eponses : Cov(x_i, y_i) = 12.92; ρ= 0.9665. Forte corr´elation entre les deux s´eries.

Exercice 2

Quinze ´el`eves, d´esign´es par les lettres de A `a O ont ´et´e class´es une premi`ere fois par une ´epreuve de fran¸cais, une seconde fois par une ´epreuve de math´ematiques. Calculer le coefficient d´ecrivant la corr´elation entre ces deux classements.

El`eves A B C D E F G H I J K L M N O

Fran. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Math. 9 3 1 11 2 5 8 13 4 10 7 14 15 6 12

R´eponses : Cov(F, M) = 9.47; ρ = 0.51. Remarquez qu’il s’agit ici d’un coefficient de corr´elation des rangs. On pourra consulter le paragraphe Corr´elation des rangs de Spear- man d’un ouvrage de statistiques. Le coefficient de corr´elation peut ´egalement ˆetre obtenu

`

a l’aide de la formule :

ρ= 1− 6^Pd²_i N(N²−1)

dans laquelle N est le nombre de sujets et di est la diff´erence entre le rang obtenu sur la premi`ere variable et celui obtenu sur la seconde.

Exercice 3

Dans une ´etude psychom´etrique, on consid`ere la variable QI, not´ee X et la variable Combinatoire, not´eeY pour 20 individus.

i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i10

x_i 99 122 108 125 108 113 94 85 112 125 y_i 3.9 5.0 5.3 8.3 5.5 6.6 5.5 2.2 5.3 5.3 i11 i12 i13 i14 i15 i16 i17 i18 i19 i20 x_i 108 91 91 109 125 94 120 112 106 91 y_i 4.6 3.7 4.1 2.7 6.8 2.7 5.4 6.2 2.5 2.4 Aide pour les calculs : ^Px_i = 2138, ^Py_i = 94, ^Px²_i = 231666, ^Py_i² = 494.36,

Px_iy_i = 10336.4.

1) Repr´esenter graphiquement le nuage de points (x_i, y_i).

2) Calculer la moyenne et la variance de chacune des deux s´eries (x_i) et (y_i) , puis la covariance et le coefficient de corr´elation des deux s´eries.

R´eponses : x = 106.9; y = 4.7; σ²(x) = 155.69; σ²(y) = 2.628; Cov(x, y) = 14.39; ρ= 0.7114.