TD  — Ind´ependance – Corrig´e

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Ind´ependance – Corrig´e

Exercice à chercher du TD précédent

E

^{xercice 0.} ^Soit^Xune variable al´eatoire r´eelle.

. On suppose queXadmet un moment d’ordren∈N^∗. (a) Montrer que pour toutt∈R:

φ_X(t) =

n−

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki

+ (it)ⁿ (n−)!E

"

Xⁿ Z_

 (−u)ⁿ⁻^exp(ituX)du

# .

(b) Montrer que

φ_X(t) =

n−

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki +(it)ⁿ

n! _n(t), o `u|_n(t)| ≤E[|X|ⁿ] et lim

t→_n(t) =.

. On suppose queXadmet des moments de tous ordres et que lim sup

n→∞

kXk_n n = 

R <∞.

Ici,kXk_n=E[|X|ⁿ]^/n. Montrer qu’alorsφ_X edéveloppable en série entière au voisinage de tout réel, le rayon de convergence étant≥R/e. En déduire que :

∀t∈

−R e,R

e

, φ_X(t) =

∞

X

k=

(it)^k k! E

hX^ki .

Corrig´e :

. (a) On applique la formule de Taylor avec ree int´egral `au7→exp(iyu) : exp(iy) =

n−

X

k=

(iy)^k

k! + (iy)ⁿ (n−)!

Z_

 (−u)ⁿ⁻^exp(iuy)du.

Le résultat s’ensuit en prenanty=Xet en prenant l’espérance (qui elinéaire).

Pour des queions, demande de précisions ou explications, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V.



(2)

(b) En remarquant queR_

(−u)ⁿ⁻^du=/n, on a : φ_X(t) =

Xn k=

(it)^k k! E

hX^ki

+ (it)ⁿ (n−)!E

"

Xⁿ Z _

 (−u)ⁿ⁻^(exp(ituX)−)du

# .

Ainsi,

_n(t) =nE

"

Xⁿ Z _

 (−u)ⁿ⁻^(exp(ituX)−)du

# ,

et en appliquant le th´eor`eme de Fubini, on obtient la majoration

|_n(t)| ≤nE[|X|ⁿ] Z _

 (−u)ⁿ⁻^du=E[|X|ⁿ]. De plus, pouru∈[,] on a

Xⁿ Z _

 (−u)ⁿ⁻^(exp(ituX)−)

≤|X|ⁿ(−u)ⁿ⁻^,

majoration indépendante detpar une applicationλ_[,]⊗Pintégrable. Le théorème de convergence dominée garantit que lim

t→_n(t) =.

. Soit t_ ∈ R. Puisque X a des moments de tout ordre, d’après le TD précédent, elle e C^∞ et possède donc un développement de Taylor à tout ordren≥:

φ_X(t) =φ_X(t_) + Xn k=

(t−t_)^k

k! φ^(k)_X (t_) +R_n(t, t_), o `u le ree ed´efini par

R_n(t_, t) = Z_t

t_

(t−u)ⁿ

n! φ⁽ⁿ⁺_X ^⁾(u)du.

Il s’agit donc de démontrer que celui-ci tend vers . On a vu au TD précédent que φ^(n+)_X (u) = i^n+E

X^n+exp(iuX)

. Ainsi :

|R_n(t_, t)| ≤(|t−t_|kXk_n+)^n+

(n+)! .

L’hypothèse sur kXk_n et la formule de Stirling permettent aisément de voir que cette quantité tend verspour|t−t_|< R/e.

On a vu en TD que si X, Y sont deux variables al´eatoires r´eelles telles que lim sup_n→∞

kXk_n n <

∞,lim sup_n→∞

kYk_n

n <∞etE[Xⁿ] =E[Yⁿ] pour toutn≥, alorsφ_X(t) =φ_Y(t) pour toutt∈R, et doncX etY n’ont pas même loi (en revanche, ce n’epas vrai en général, cf le dernier exercice du TD ). L’idée était de montrer que φ_X = φ_Y d’abord sur le disque ouvert de centre  et de rayon R/e, puis de prolonger à tout le plan complexe en utilisant le fait que φ_X etφ_Y sont développables en série entière autour de tout point du plan, avec un rayon de convergence au moins égal à R/e (valeur qui ne dépend pas du point considéré). Plus formellement, on peut montrer que l’ensemble des pointsz∈Ctels queφ_X(z) =φ_Y(z) eouvert et fermé et non vide, et donc égal àCtout entier par connexité.

0 – Petite question



(3)

E

^{xercice 1.} ^Soient ^X êt ^Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Soit F : R×R →R₊ une fonion borélienne. Montrer queE[F(X, Y)] =E[g(Y)], o ùg :R→R ela fonion définie parg(y) = E[F(X, y)] poury∈R.

Corrig´e : On ´ecrit :

E[F(X, Y)] = Z

R×R

F(x, y)P_(X,Y₎(dxdy) = Z

R×R

F(x, y)P_X(dx)⊗P_Y(dy)

= Z

R

P_Y(dy) Z

R

F(x, y)P_X(dx)

!

= Z

R

P_Y(dy)g(y) =E[g(Y)].

1 – Variables al´eatoires ind´ependantes

E

^{xercice 2.} ^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires gaussiennes (centrées réduites) indépendantes. Mon- trer que les variables aléatoires ^X+Y^√_ et^X^√⁻_^Y soient indépendantes.

Corrig´e :

Soient F, G : R → R₊ deux fonions bor´eliennes. En remarquant que (x, y) 7→ (^x+y^√_,^x^√⁻_^y) e un C^ diff´eomorphisme deR×RsurR×Rde jacobien−, la formule du changement de variable donne

E

"

F X+Y

√

!

G X−Y

√

!#

= Z

R×R

F x+y

√

!

G x−y

√

! 

πe⁻^x

+y

 dxdy

= Z

R×R

F x+y

√

!

G x−y

√

! 

πe⁻

x+y√



! + x√−y



!

 dxdy

= Z

R×R

F(x)G(y) 

πe⁻^x

+y

 dxdy

= Z

R

F(x) 

√πe⁻^x^^dx

! Z

R

G(y) 

√πe⁻^y



dy

! .

On en déduit que^X+Y^√_ et^X^√⁻_^Y soient indépendantes, et sont toutes les deux gaussiennes centrées réduites.

E

^{xercice 3.} On définit sur (Ω,A,P) des variables aléatoiresU_, . . . , U_nindépendantes et de loi uniforme sur{,, . . . , p}.

. Trouver la loi deM_n= max_≤k≤nU_k.

. Montrer que

E[M_n]

p −→

p→∞

n n+. Corrig´e :

. Pour toutk∈ {, . . . , p}, on a,

P(M_n≤k) =P(U_≤k, . . . , U_n≤k) =P(U_≤k). . .P(U_n≤k) =P(U_≤k)ⁿ= k p

!n

.

On en d´eduit la loi deM_n:

P(M_n=k) =P(M_n≤k)−P(M_n≤k−) =kⁿ−(k−)ⁿ

pⁿ .



(4)

. On a,

E(M_n) =

p

X

k=

P(M_n≥k), et donc

E(M_n)

p =

p

X

k=

− k− p

!n!

= p

p−

X

k=

− k p

!n! .

On reconnaˆıt une somme de Riemann de la fonionx7→−xⁿ, dont l’intégrale entreetvaut n/(n+). D’o ù le résultat.

Remarque.On a vu en TD qu’on pouvait tranformer la dernière somme en intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue (en faisant intervenir des parties entières) et utiliser le théorème de convergence dominée :

 p

p−

X

k=

− k p

!n!

= p

Z_p

 dx − bxc p

!n!

= Z _

 dx − bpxc p

!n! .

L’idée d’écrire des sommes à paramètres comme des intégrales par rapport à la mesure de Lebesgue en

faisant intervenir des parties enti`eres e`a retenir.

E

^{xercice 4.} (Formule de compensation.)Soient (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de loiµetN une variable aléatoire à valeurs dansNindépendante de la suite (X_n)_n≥.

. On suppose queµela loi de Bernoulli de param`etrep∈],[ c’e-`a-dire que µ=pδ_+ (−p)δ_,

et queN suit la loi de Poisson de param`etreλc’e-`a-dire que P(N =k) =e⁻^λλ^k

k!. On pose

P = XN

i=

X_i et F=N−P = XN

i=

(−X_i),

avecP =F=sur{N =}. Les variables aléatoiresP etF représentent respeivement le nombre de piles et de faces dans un jeu de pile ou face de paramètrep àN lancers.

(a) D´eterminer la loi du couple (P , N).

(b) En d´eduire les lois deP etF et montrer queP etF sont ind´ependantes.

. On ne fait plus d’hypoth`ese sur les lois. Soitf :R→R₊une fonion mesurable. Montrer que

E





 XN

i=

f(X_i)







=E(N) Z

R

f(x)µ(dx),

avecP_N

i=f(X_i) =sur{N =}. Corrig´e :



(5)

()(a) On aP(P =, N =) =P(N =) =e⁻^λ, et pourn≥et≤k≤n, P(P =k, N =n) = P





 N =n,

Xn i=

X_i=k







= P(N =n)P





 Xn

i=

X_i=k







= e⁻^λλⁿ n!

n k

!

p^k(−p)ⁿ⁻^k

= e⁻^λ(λp)^k k!

(λ(−p))ⁿ⁻^k (n−k)!

()(b) On a pourk, l≥,

P(P =k, F=l) =P(P =k, N =k+l) = e⁻^λp(λp)^k k!

!

e⁻^λ(^⁻^p)(λ(−p))^l l!

! .

Donc les variables aléatoiresP etF sont indépendantes et de lois respeives les lois de Poisson de paramètresλpetλ(−p).

() On a

E





 XN

i=

f(X_i)







= E





 X

n≥

1^{N=n}

Xn i=

f(X_i)







= X

n≥

E





 1^{N=n}

Xn i=

f(X_i)







= X

n≥

P(N =n)E





 Xn

i=

f(X_i)







= X

n≥

P(N =n)nE(f(X_))

= E(N) Z

R

f(x)µ(dx).

E

^{xercice 5.} ^{Soit (Ω,}^F^,^P) un espace probabilisé etXune variable aléatoire réelle définie sur (Ω,F,P).

. Si deux tribusA_etA_sur (Ω,F,P) sont indépendantes et ont un élément communA, montrer queP(A) =ouP(A) =.

. SoitCune sous-tribu deF telle que siC∈ C, alorsP(C) =ouP(C) =. Montrer que siXeC mesurable, alorsXeconante presque s ˆurement.

Indication : on pourra introduire la fonion de r´epartitionF deX et consid´ererx_= inf{x∈R;F(x) =

}.

. Soitf :R→Rune fonion borélienne. On suppose quef(X) etXsont indépendantes. Montrer quef(X) econante presque s ûrement.

Corrig´e :

. On aP(A∩A) =P(A)^=P(A). D’o `uP(A) =ouP(A) =.



(6)

. Pour toutx∈R,{X≤x} ∈ Cet doncF(x) =P[X≤x] =ou. Comme lim

x→∞F(x) =et lim

x→−∞F(x) =

, on ax_:= inf{x∈R;F(x) =} ∈(−∞,∞). CommeF ecroissante, sia < x_< b, on aF(a) =et F(b) =. En particulier,P(x_−/n < X≤x_+/n) =pourn≥. Or :

{x_}=\

n≥

x_−

n;x_+ n

.

Cette interseion étant décroissante etP étant finie, on a donc P(X=x_) = lim

n→∞P

x_−

n;x_+ n

=. Ainsi,X=x_p.s.

. PosonsY =f(X) et notonsC=σ(Y). Par hypothèse, les tribus engendrées parY etXsont indépendantes.

Or siC∈ C, alorsC∈σ(X) carf emesurable. Ainsi, pour toutC∈ C,C eindépendant de lui- même, et doncP(C) =ouP(C) =. Le résultat en découle d’après la deuxième queion.

2 – Ind´ependance et fonctions caract´eristiques

E

^{xercice 6.} ^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires réelles bornées. Démontrer queXetY sont indépendantes si, et seulement si :

∀k, l∈N, E hX^kY^li

=E hX^ki

E hY^li

. ()

Indication.Lire le titre de cette partie.

Corrig´e :

L’implication efacile, car siXetY sont indépendantes, alorsX^ketY^kle sont également. Réciproquement, supposons que () evérifiée. La fonion caraériique de (X, Y) edonnée en (u, v)∈R^par :

φ_(X,Y₎(u, v) =E[exp(iuX) exp(iuY)] =E













∞

X

k=

(iu)^kX^k k!













∞

X

l=

(iv)^lY^l l!













SoitCun majorant de|X|et|Y|, de sorte que X

k,l≥

|u|^k|v|^kC^k+l

k!l! = exp(|u|C) exp(|v|C)<∞. On peut ainsi appliquer le théorème de convergence dominée :

φ_(X,Y₎(u, v) = X

k,l≥

i^k+lu^kv^l k!l! E

hX^kY^li .

D’apr`es l’hypoth`ese, on a donc φ_(X,Y₎(u, v) = X

k,l≥

i^k+lu^kv^l k!l! E

hX^ki E

hY^li

=







∞

X

k=

(iu)^kE hX^ki k!













∞

X

l=

(iv)^lE hY^li l!





 .

En appliquant le théorème de convergence dominée de la même manière, il en découle φ_(X,Y)(u, v) =E







∞

X

k=

(iu)^kX^k k!





 E







∞

X

l=

(iv)^lY^l l!







=φ_X(u)·φ_X(v),

d’o `u le r´esultat.



(7)

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 8.}

. Mathias a deux enfants dont une fille.Quelle ela probabilit´e que l’autre enfant soit un garc¸on ?

. Mathilde a deux enfants. Le plus jeune eune fille. Quelle ela probabilité que l’aˆıné soit un garçon ?

Corrig´e :

Une famille de deux enfants peut se représenter par (a_, a_) o ùa_i ef (fille) oug (garçon) suivant que le i-ième enfant eune fille ou un garçon. Tous les couples (a_i, a_j) sont équiprobables. Posons donc Ω={(f , g),(f , f),(g, g),(g, f)}.

. On sait qu’un enfant e une fille on cherche donc P(E|A) avec E = {(f , g),(g, f),(g, g)} et A= {(f , g),(f , f),(g, f)}. Ainsi,P(E|A) =/.

. On cherche d´esormaisP(F|B) o `u F ={(g, g),(g, f)} etB={(f , f),(g, f)}. On trouve alors P(F|B) =

/.

E

^{xercice 9.} (Processus de Poisson) Soit (X_n, n ≥ ) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur (Ω,A,P), de même loi exponentielle de paramètre. On poseT_=et pour toutn≥,

T_n=X_+. . .+X_n. Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}.

. Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

. En d´eduire la loi deN_t pour toutt >.

. Pourn≥ett >, on d´efinit surΩune nouvelle mesure de probabilit´eQ^n,t par la formule Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t =n})

P(N_t =n) , A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t. Corrig´e :

. Soitf :Rⁿ

+→R₊, une fonion mesurable. On a E(f(T_, . . . , T_n)) =

Z

Rⁿ

+

f(x_, x_+x_, . . . , x_+x_+. . .+x_n)e⁻^(x^^+x^^+...+xⁿ⁾dx_. . . dx_n.

Orφ: (x_, . . . , x_n)∈(R^∗₊)ⁿ7→(x_, x_+x_, . . . , x_+x_+. . .+x_n)∈ {< t_< . . . < t_n}eunC^-difféomorphisme de jacobien égal àdonc d’après la formule du changement de variables,

E(f(T_, . . . , T_n)) = Z

Rⁿ₊

f(t_, t_, . . . , t_n)e⁻^tⁿ1^{_<t_<...<t_n}dt_. . . dt_n,

ce qui signfie que la loi de (T_, . . . , T_n) a pour densit´ee⁻^tⁿ1^{_<t_<...<t_n} par rapport `a la mesure de Lebesgue surRⁿ.



(8)

. Soitn∈N. On a{N_t =n}={T_n≤t, T_n+> t}car la suite (T_n)_n≥ep.s. croissante et doncP(N_t= n) =P(T_n≤t, T_n+> t). On en d´eduit d’apr`es la queion () que pourn≥,

P(N_t=n) = Z

R^n+₊

e⁻^t^n+1^{_<t_<...<t_n<t_n+}1^{t_n≤t}1^{t_n+>t}dt_. . . dt_ndt_n+

= Z

Rⁿ₊

1^{_<t_<...<t_n≤t}dt_. . . dt_n Z ∞

t

e⁻^t^n+

= tⁿ n!e⁻^t,

o ù la deuxième égalité eune conséquence du théorème de Fubini-Tonelli. Et l’on a P(N_t=) =P(T_> t) =P(X_> t) =

Z^∞

t

e⁻^xdx=e⁻^t. On voit queN_t suit la loi de Poisson de param`etret.

. Soitf :Rⁿ

+→R₊, une fonion mesurable. On a E(f(T_, . . . , T_n)1^{N_t=n})

= E(f(T_, . . . , T_n)1^{T_n≤t,T_n+>t})

= Z

R^n+₊

f(t_, . . . , t_n)1^{t_n≤t,t_n+>t})e⁻^t^n+1^{_<t_<...<t_n<t_n+}dt_. . . dt_ndt_n+

= Z

Rⁿ₊

f(t_, . . . , t_n)1^{_<t_<...<t_n<t}dt_. . . dt_n Z ∞

t

e⁻^t^n+dt_n+_dt_n+_

= e⁻^t Z

Rⁿ₊

f(t_, . . . , t_n)1^{_<t_<...<t_n<t}dt_. . . dt_n,

o ù la troisième égalité eune conséquence du théorème de Fubini-Tonelli. Donc E^Q

n,t(f(T_, . . . , T_n)) =

E(f(T_, . . . , T_n)1^{N_t=n}) P(N_t=n)

= n!

tⁿ Z

Rⁿ₊

f(t_, . . . , t_n)1^{_<t_<...<t_n<t}dt_. . . dt_n,

ce qui signfie que la loi de (T_, . . . , T_n) sousQ^n,t a pour densit´en!t⁻ⁿ1^{_<t_<...<t_n<t}par rapport `a la mesure de Lebesgue surRⁿ.

E

xercice 10. ( ) Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes et telles que les variables aléatoires X+Y etX−Y soient indépendantes. Montrer que les deux variables X etY sont deux variables aléatoires gaussiennes.

Corrig´e :

Grandes étapes de la solution : en utilisant une équation fonionnelle vérifiée par les fonions ca- raériiques, trouver le module de la fonion caraériique deX+Y, puis son argument.

Fin

