Matrices et déterminants

Matrices et déterminants

0 Quelques rappels de première année

0.1 Matrices et applications linéaires

On considère une application linéaire u:E!F où E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimension finie respectivepetn.

On supposeE muni de deux basesB= (e1; :::; ep)et B⁰= (e10; :::; ep0)et F muni de deux basesC= (f1; :::; fn)et C⁰= (f10; :::; fn0).

Si x2E, on notera X (respectivement X⁰) le vecteur colonne de ses coordonnées dans B (resp. dansB⁰). De même, si y2F, on noteraY (respectivementY⁰) le vecteur colonne de ses coordonnées dansC(resp. dansC⁰).

0.1.1 Définitions

Définition 0.1.1. Matrice d'une application linéaire

Avec les notations précédentes la matrice Mat(u;B;C) de u dans les bases B etC est la matrice de M^n;p(K) dont les colonnes sont les vecteurs colonnes des coordonnées des images u(ej) dans la baseC.

Exercice 0.1.1. On considère l'endomorphisme de transposition'deMn(K)défini par'(M) =M^T. 1. Montrer queMn(K) =Sn(K) An(K), sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

2. Déterminer'', puis la nature de'. En déduire une matrice simple de'dans une base que l'on précisera.

3. En déduiredet'.

Réciproquement,

Définition 0.1.2. Application linéaire canoniquement associée à une matrice

SiA2 M^n;p(K), alors l'application linéaireude K^pdans Kⁿdont la matrice dans les bases canoniques de K^p et Kⁿ estA est appellée application linéaire canoniquement associée àA.

Le noyau KerA et l'image ImAdeA sont alors par définition ceux deu.

Le noyau deAest alors l'ensemble des solutions du système linéaire homogèneA X= 0. Son image est l'ensemble desB2Kⁿtels que le système linéaireA X=B soit compatible.

Proposition 0.1.3. [image d'un vecteur et matrice]

Avec les notations précédentes, siM=Mat(u;B;C)alors : y=u(x),Y =M X Proposition 0.1.4. [matrices et opérations]

La matrice d'une combinaison linéaire d'applications linéaires et la combinaison linéaire de leurs matrices. La matrice de la composée est le produit des matrices.

Proposition 0.1.5. [isomorphisme de L(E ; F)surM^n;p(K)]

Avec les notations précédentes, les basesB etCétant fixées, l'application L(E ; F) ! M^n;p(K)

u 7! Mat(u;B;C) est un isomorphisme.

En particulier,L(E ; F)est de dimension np.

0.1.2 Changements de bases Coordonnées

Si l'on noteP=P_B!B⁰la matrice deM^p(K)dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de (la nouvelle base)B⁰ dans (l'ancienne base)B:

e10 e20 ::: ep0

# # # P_B!B⁰ =

0 B B@

a11 a12 ::: a1p

ap1 ap2 ::: app

1 C CA

e1

ep

P_B!B⁰ est appelée matrice de changement de base deBversB⁰.

C'est aussi la matriceMat(IdE;B⁰;B)puisqu'on a écrit dans chaque colonne les coordonnées dansBdes vecteurs deB⁰.

On remarque que la première colonne deP_B!B0est 0 B B@

a11

ap1

1 C CA=

0 B B@

a11 a12 ::: a1p

ap1 ap2 ::: app

1 C CA 0

@ 1 0

1 A

C'est-à-dire, pour le vecteur x=e10 : X=P_B!B0X⁰ et de même pour tous les autres vecteurs de la base B⁰. Donc, par combinaisons linéaires, pour toutxdeE, il faut retenir la formule :

X=P X⁰

Changement de matrices On noteP=P_B!B⁰et Q=P_C!C⁰.

Puisque Q=Mat(IdF;C⁰;C)alors Q^¡1=Mat(IdE;C;C⁰) =P_C⁰_!C. L'expressionu(x) =y se traduit matriciellement par,

1. dansBet C :Y=M X oùM=Mat(u;B;C) 2. dansB⁰ etC⁰:Y⁰=M⁰X⁰ oùM⁰=Mat(u;B⁰;C⁰)

On peut alors écrire la première ligneQ Y⁰=M P X⁰ soitY⁰=Q^¡1M P X⁰.

Par unicité de la matrice deudans les basesB⁰et C⁰, on obtient la seconde formule à retenir : M⁰=Q^¡1M P

Cas des endomorphismes

Siuest un endomorphisme deE, on considère généralement les matricesMat(u;B)deudans une même base au départ et à l'arrivée. SoitB=Cet B⁰=C⁰. La formule ci-dessus s'écrit alors :

M⁰=P^¡1M P Les matricesM et M⁰sont dites semblables.

Exercice. Montrer que siT est une matrice inversible triangulaire supérieure, alorsT^¡1est triangulaire supérieure.

Indication :T etT^¡1sont des matrices de passage entre deux bases.

0.2 Déterminants

0.2.1 Définitions

Définition 0.2.1. Déterminant d'une matrice carrée

Soitn2N. Il existe une unique applicationMⁿ(K)!K, appelée déterminant et notée det, vérifiant les trois propriétés suivantes :

i. detest linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable.

ii. detest antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable.

iii. det(In) = 1.

Définition 0.2.2. Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

SoitEun K-espace vectoriel de dimensionnmuni d'une baseBet soitF= (u1; :::; un)une famille denvecteurs deE. On appelle déterminant deFdansB le scalaire :

det_B(u1; :::; un) =detM

oùMest la matrice dont les colonnes sont celles des coordonnées de u1; :::; un dansB.

Remarque. M est alors la matrice deu2 L(E)tel que8i2J1; nK; u(ei) =uioùB= (e1; :::; en).

Interprétation géométrique : aire et volume algébriques

1. dansR²(K=Retn= 2) : siB est la base canonique deR²et si~ ; vu ~ sont deux vecteurs du plan, alors le parallélogramme de côtés~uet~v a pour airejdet_B(u~ ; v~)j.

2. dansR³(n= 3) : siB est la base canonique deR³ et si~ ; vu ~ ; w~ sont trois vecteurs de l'espace, alors le parallélépipède d'arêtes~ ; vu ~ etw~ a pour volumejdet_B(u~ ; v~ ; w~)j.

0.2.2 Propriétés du déterminant

Proposition 0.2.3. [propriétés du déterminant]

SoitM2Mn(K)une matrice carrée.

i. SiMpossède deux colonnes identiques alors detM= 0.

ii. Si2K,det( M) =ⁿdet(M).

iii. detMne change pas lorsque l'on rajoute à l'une des colonnes une combinaison linéaire des autres.

iv. SiMest triangulaire, alors detMest le produit de ses termes diagonaux.

Proposition 0.2.4. [déterminant et transposition]

SiM2 Mⁿ(K), alors det(^tA) =detA

A retenir :les propriétés de0.2.3peuvent être réécrites en remplaçant colonnes par lignes .

Proposition 0.2.5. Une matrice carréeA est inversible si et seulement si detA=/ 0.

Corollaire 0.2.6. [caractérisation des bases]

SoitEun K-espace vectoriel de dimensionnmuni d'une baseBet soitF= (u1; :::; un)une famille denvecteurs deE. Alors Fest une base deEsi et seulement si det_B(F) =/ 0.

Proposition 0.2.7. [déterminant et produit]

SoientM ; N2 Mⁿ(K),

i. det(MN) =det(M)det(N)

ii. siMest inversible,det(M^¡1) = (det(M))^¡1. Corollaire 0.2.8. [déterminant et matrices semblables]

SiM2 Mⁿ(K)et si P2 GLⁿ(K), alors det(P^¡1M P) =det(M).

On définit alors :

Définition 0.2.9. Déterminant d'un endomorphisme

SoitEun K-espace vectoriel de dimensionnet soit u2 L(E). Alors le déterminant de la matrice deudansB est indépendant de la baseBde E choisie. On l'appelle déterminant deu:

detu=det(Mat(u;B))

0.2.3 Développement suivant une ligne ou une colonne Définition 0.2.10. Mineur, cofacteur

Quelques rappels de première année 3

SoitM= (aij)2 Mⁿ(K)une matrice carrée eti; j2[[1; n]].

i. On appelle mineur relatif à l'élémentaijdeMle déterminant ijde la matrice extraite deMen retirant

la ligneiet la colonne j: ij=

a₁₁ ::: a_1j¡1 j a_1j+1 ::: a_1n

j

a_i¡11 ::: a_i¡1j¡1 j a_i¡1j+1 ::: a_i¡1n

¡¡ ¡ ¡¡¡ + ¡¡¡ ¡ ¡¡

a_i+11 ::: a_i+1j¡1 j a_i+1j+1 ::: a_i+1n

j

a_n1 ::: a_nj¡1 j a_nj+1 ::: a_nn

.

ii. On appelle cofacteur relatif à l'élémentaij de Mle réel (¡1)^i+jij.

Théorème 0.2.11. [développement du déterminant suivant une ligne ou une colonne]

SoitM= (aij)2 Mⁿ(K)une matrice carrée.

i. développement suivant une colonne :

8j2[[1; n]]; detM=X

i=1 n

aij(¡1)^i+jij

ii. développement suivant une ligne :

8i2[[1; n]]; detM=X

j=1 n

aij(¡1)^i+jij:

Démonstration. (non exigible) NotonsB= (e1; :::; en)la base canonique deKⁿ. Si(c1; :::; cn)sont les colonnes deM, alorscj=P

i=1

n aijei et detM=det_B(c1; :::; cn) =det_B(c1; :::;P

i=1

n aijei; :::; cn) =P

i=1

n aijdet_B(c1; :::; c_j¡1; ei; cj+1; :::; cn).

On fait remonter leeide la place j à la première position parj¡1 transpositions donc detM=P

i=1

n aij(¡1)^j¡1det_B(ei; c1; :::; cj¡1; cj+1; :::cn)soit :

detM=X

i=1 n

aij(¡1)^j¡1

0 a11 ::: a1j¡1 a1j+1 ::: a1n

0 ai¡11 ::: ai¡1j¡1 ai¡1j+1 ::: ai¡1n

1 ai1 ::: aij¡1 aij+1 ::: ain

0 ai+11 ::: ai+1j¡1 ai+1j+1 ::: ai+1n

0 an1 ::: anj¡1 anj+1 ::: ann

lignei

On remonte la lignei pari¡1 permutations :

detM = X

i=1 n

aij(¡1)^i+j¡2

1 ai1 ::: aij¡1 aij+1 ::: ain

0 a11 ::: a1j¡1 a1j+1 ::: a1n

0 ai¡11 ::: ai¡1j¡1 ai¡1j+1 ::: ai¡1n

0 ai+11 ::: ai+1j¡1 ai+1j+1 ::: ai+1n

0 an1 ::: anj¡1 anj+1 ::: ann

= X

i=1 n

aij(¡1)^i+j¡2

1 0 ::: 0 0 ::: 0

0 a11 ::: a1j¡1 a1j+1 ::: a1n

0 ai¡11 ::: ai¡1j¡1 ai¡1j+1 ::: ai¡1n

0 ai+11 ::: ai+1j¡1 ai+1j+1 ::: ai+1n

0 an1 ::: anj¡1 anj+1 ::: ann

par la propriétéiii.de0.2.3. Il reste à remarquer que les applicationsM7!det(M)etM7!det¹_{0 M}⁰ définies surMⁿ¡1(K)vérifient toutes deux les propriétés de la définition du déterminant et sont donc égales.

Le développement suivant une ligne s'en déduit, sachant quedet^tM=detM.

Remarque. Admettre ce développement montre à l'inverse que detest linéaire par rapport à chacune de ses colonnes et antisymétrique et permet de construire l'applicationdetsurMⁿ(K)par récurrence surn(à partir dedet(a) =apour(a)2 M¹(K)) ainsi quedet_B pour toute baseB. On en déduit donc l'existence admise à la définition0.2.1.

Exercice 0.2.1. On considère unC-espace vectorielEde dimension3etB= (e1; e2; e3)une base deE.

Soitf2 L(E)dont la matrice dansBestA=

0 B B@

1 2 2

1 1 2

¡2 ¡2 ¡3 1 C CA.

1. Montrer queB⁰= (e1; f(e1); f²(e1))est une base deEet déterminer la matrice def dansB⁰. 2. Calculerf⁴(e1)et en déduire quef⁴=IdE.

1 Matrices par blocs et sous-espaces stables

1.1 Matrices par blocs

On considère des entiersn; petn1; :::; nk,p1; :::; p`strictement positifs tels quen1++nk=netp1++p`=p.

Lorsqu'on a divisé une matriceM2 M^{n; p}(K)en sous-matricesAij de taillenipj :

M= 0 B B@

A11 ::: A1h

Ak1 ::: Akh

1 C CA;

on dit que la matriceM est une matrice par blocs.

LorsqueM est carrée (n=p) ainsi que les sous-matricesAii(k=`et8i2J1; kK,ni=pi) on dira que la matrice M est

a) triangulaire (supérieure) par blocs lorsque lesAij tels quei > j sont tous nuls.

b) diagonale par blocs lorsque lesAijtels quei=/j sont tous nuls.

On montre :

Proposition 1.1.1. [opérations par blocs]

1. Si M= (Aij)(i;j)2J1;kKJ1;`K etN = (Bij)(i;j)2J1;kKJ1;`K sont deux matrices par blocs dont les sous- matricesAijetBijsont dans Mⁿi;p_j(K), alors

M+N= (Aij+Bij)(i;j)2J1;kKJ1;`K

2. Si q=q1++qm, si M= (Aij)(i;j)2J1;kKJ1;`Kest une matrice par blocs dont la sous-matrice Aij est dansM<sup>n</sup>i;p<sub>j</sub>(K)et siN= (Bjh)(j ;h)2J1;`KJ1;mK est une matrice par blocs dont la sous-matriceBjhest dansM^pj;q_h(K), alors

MN= P

j=1

` AijBjh

(i;h)2J1;kKJ1;mK Exercice. SoitM=^M_M^{r M2}

1 M3

une matrice par blocs telle quergM=rgMr=roùMrest carrée de tailler.

On veut montrer queM₃=M₁M_r^¡1M₂. 1. Peut-on trouverA= ^M_B^r¡1 _C⁰

!

telle queA^M_M^r

1

=^I₀^r?

2. Montrer que pour une telle matriceA,rg(A) =r+rg(C)et que l'on peut donc choisirAinversible.

3. Calculer alorsAM et conclure par un argument de rang.

Matrices par blocs et sous-espaces stables 5

1.2 Sous espaces stables

Définition 1.2.1. Sous-espace stable

SoitEun K-e.v. etu2 L(E). On dit qu'un sous-espaceFde Eest stable siu(F)F.

Définition 1.2.2. Endormorphisme induit

L'applicationv définie par v:F!F x7!u(x)est un endomorphisme de Fappelé l'endomorphisme induit par usurF.

Proposition 1.2.3. [intersection et somme de sous-espaces stables]

L'intersection de sous-espaces vectoriels deE stables paruest stable paru La somme de sous espaces stables par uest stable paru.

Proposition 1.2.4. [sous-espace stable et matrice]

SoitEun K-e.v. de dimension finien,Fun sous espace deEde dimension pet une base B= (e1; :::; en)de E adaptée àF. Soit enfinu2 L(E).

AlorsFest stable parusi et seulement si la matrice de udans la base Best de la forme : ^p

n¡p

p n¡p

A C

0 D

.

Proposition 1.2.5. [décomposition en sous-espaces stables et matrice]

Soit E un K-e.v. de dimension finie, E1; :::; Ep une famille de sous espaces vectoriels de E tels que E = E1 Ep, soitB une base deE adaptée à cette décomposition en somme directe.

Alors chacun desEi est stable parusi et seulement si la matrice deudans la baseB est de la forme : 0

@ A1 0 0 Ap

1 A

Proposition 1.2.6. [stabilité de l'image et du noyau d'endomorphismes qui commutent]

Soientuet vdeux endomorphismes de Etels que uv=vu. Alors Imuet Kerusont stables par v.

Démonstration. Soitx2Imu. Il existe y2E tel quex=u(y). Ainsiv(x) =vu(y) =uv(y)2Imu. On a montré queImuest stable par v.

Soitx2Keru. Alors,uv(x) =vu(x) =v(0) = 0. Doncv(x)2Keru. On a montré queKeruest stable parv.

2 Déterminants

2.1 Matrices triangulaires par blocs

Proposition 2.1.1. [déterminant d'une matrice triangulaire par blocs]

SoitM=^{A C}_{0 B}une matrice deMⁿ(K)oùA2 M^p(K); B2 Mⁿ¡p(K)etC2 M^n;n¡p(K). Alors : detM=detAdetB

Démonstration. On aM=B⁰C⁰A⁰ oùA⁰= ^{A 0p;n¡p}

0_n¡p;p I_n¡p

!

; B⁰= ^{Ip 0p;n¡p}

0_{n¡p; p} B

!

etC⁰= ₀ ^{Ip C}

n¡p; p I_n¡p

!

. DoncdetM=detA⁰detB⁰detC⁰. CommeC⁰ est triangulaire, on calcule simplementdetC⁰= 1.

En développantdetA⁰ suivant sa dernière colonnen¡pfois, on obtientdetA⁰=detA.

De même,detB⁰=detB.

Corollaire 2.1.2. Si M= (Aij )16i; j6poù les matrices Aijsont dans M^m(K) et si, pour touti > j,Aij= 0 alors det(M) =Q

i=1

p det(Ai;i).

Démonstration. Récurrence immédiate sur pà partir de la proposition précédente.

2.2 Déterminant de Vandermonde

Proposition 2.2.1. [déterminant de Vandermonde]

Soitn2Net x1; :::; xn2K. Alors :

Vn(x1; :::; xn) =

1 x1 x12 ::: x₁^n¡1 1 x2 x22 ::: x₂^n¡1

1 xn xn2 ::: x_n^n¡1 _(n)

= Y

16i< j6n

(xj¡xi)

Démonstration. Les transformations sur les colonnesCj Cj¡x1C_j¡1successivement pour j=n; :::; j= 2 laissent le déterminant inchangé donc :

Vn(x1; :::; xn) =

1 0 0 ::: 0

1 x2¡x1 x2(x2¡x1) ::: x2n¡2(x2¡x1)

1 xn¡x1 xn(xn¡x1) ::: xnn¡2

(xn¡x1)

= 0

@Y

j=2 n

(xj¡x1) 1

AVn¡1(x2; :::; xn)

car le déterminant obtenu est triangulaire par blocs et par(n¡1)-linéarité du déterminant extrait.

Par récurrence, sachant queV2(xn¡1; xn) =xn¡xn¡1, on en déduit le résultat.

Exemple. V3(x1; x2; x3) = (x3¡x1) (x3¡x2) (x2¡x1).

Exemple. Calculer

a b c a² b² c² a³ b³ c³

puis

a+b b+c c+a a²+b² b²+c² c²+a² a³+b³ b³+c³ c³+a³

oùa; b; c2C.

3 Trace

Définition 3.0.1. Trace d'une matrice carrée SoitM= (mi;j)2 Mⁿ(K). La trace de Mest :

trM=X

i=1 n

mi;i:

Proposition 3.0.2. [propriétés élémentaires de la trace]

i. La trace est une forme linéaire surMⁿ(K).

ii. Pour toute matrice carrée M,tr(M^T) =tr(M)

iii. SiM= (Aij)est définie par blocs et si ses sous-matrices (Aii)_16i6k sont carrées, alors tr(M) =X

i=1 k

tr(Aii)

Proposition 3.0.3. Soit (A; B)2 Mⁿ(K)². Alors :

tr(A B) =tr(B A):

Démonstration. En effet,tr(A B) =X

i=1

n X

k=1 n

ai;kbk;i

!

=X

k=1

n X

i=1 n

bk;iai;k

!

=tr(B A).

Trace 7

Définition 3.0.4. Matrices semblables

On dit queA; B2 Mⁿ(K) sont semblables (sur K) lorsqu'il existeP2 GLⁿ(K)telle que B=P^¡1A P.

Corollaire 3.0.5. Deux matrices semblables ont la même trace.

Démonstration. En effet,tr((P^¡1M)P) =tr(P(P^¡1M)) =tr(M).

Définition 3.0.6. Trace d'un endomorphisme

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finie. La quantité tr(Mat(u; e))ne dépend pas du choix de la base ede E. On la note tru: C'est la trace de l'endomorphismeu.

Proposition 3.0.7. Sipest un projecteur d'un K-ev Ede dimension finie,trp=rgp.

Démonstration. Il existeF etGavecE=FGtels quepest le projecteur surF parallèlement àG. Notons rgp=r=dimF etn=dimE. Considérons une base(e1; :::; er)deF et une base(er+1; :::; en)deG. La famille de vecteurs e= (e1; :::; en) est une base de E, adaptée à la décomposition en somme directe E=F G. La matrice de pdans e est égale à la matrice par blocs suivante :

Ir O_r;n¡r

On¡r;r On¡r;n¡r

, dont la trace vaut r.

Ainsitrp=r=rgp.

A retenir : (mais le reste aussi...) 1. Formules de changement de bases.

2. Propriétés du déterminant : n-linéarité, antisymétrie,det(M N),det(A^T), caractérisation de l'inver- sibilité et des bases, développement suivant une ligne ou une colonne. Matrices semblables!detu.

3. Sous-espaces stables paruet matrice dans une base adaptée.

4. Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

5. Trace d'une matrice, invariance par similitude!trace d'un endomorphisme.

Un peu d'histoire :

Les matrices sont inventées en 1858 par Cayley mais de nombreuses méthodes matricielles étaient connues bien avant cela, en Europe comme en Chine où l'élimination de Gauss a été décrite au IIIème siècle avant notre ère.

Les premiers déterminants d'ordre 2 apparaissent en Europe dans l'Ars Magna(1545) de Cardan pour résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues. Leibniz (1646-1716) passe aux déterminants de taille supé- rieure (en même temps que Seki au Japon) et Cramer donne ses célèbres formules sur un système de taille n arbitraire en 1750. Laplace découvre le développement suivant une colonne (1772) et l'utilise pour déterminer le mouvement des planètes. En 1773, Lagrange liera le déterminant à la notion de volume.

A partir de Gauss, le XIXème siècle verra l'utilisation du déterminant sous toutes ses formes actuelles, de son utilisation pour la réduction des endomorphismes, pour le calcul différentiel avec le jacobien, pour les équations différentielles avec le wronskien...

Exercices sur les matrices et les déterminants

--- 02.1.1.tm

Exercice 1. Soitn>3

1. Montrer que la familleFⁿ= ((X+k)^k)_06k6nest une base deRn[X]et que, pour toutk2J0; nK, Vect((X+i)ⁱ;

i2J0; kK) =Vect(Xⁱ; i2J0; kK).

2. Dans Rn[X], on considère les polynômesP0= 1, puis, pourk2J1; nK,Pk=kP

i=0

k Xⁱ. Calculer le déterminant

de cette famille relativement à la base canoniqueBⁿ deRn[X] puis relativement àFⁿ.

Indication :2. On trouven!(pour les deux). Il suffit de montrer que ces déterminants sont triangulaires de coefficients diagonaux connus.

--- 02.3.1.tm

Exercice 2. SoitA= (ai;j)et B= ((¡1)^i+jai; j)deux matrices carrées de taillen. Comparer leur déterminant.

--- 02.1.2.tm

Exercice 3.

1. Soit Run polynôme. On pose, pour tout entier j2N,Rj(X) =R(X+j).

On veut montrer (par récurrence surn=deg(R)) que la famille(R1; :::; Rn+1)est une famille libre deKn[X].

a. Poser la bonne hypothèse de récurrence (Hn).

b. On suppose que(Hn¡1)est vraie et on considèreRde degrénet la famille(R1; :::; Rn+1)deKn[X]. On

pose alors Q=R(X+ 1)¡R(X). Montrer que la famille(Qj; j6n; Rn+1)est libre et en déduire que

(Rj)j6n+1est libre.

c. Finir la récurrence.

2. En déduire que si P est un polynôme de degré n¡1,

alors le déterminant d'ordren =

P(1) P(2) ::: P(n) P(2) P(3) ::: P(n+ 1) P(3) P(4) ::: P(n+ 2)

P(n) P(n+ 1) ::: P(2n¡1)

est non nul.

Indication :2. Le déterminant est non nul si ses colonnes forment une famille libre.

--- 02.1.4.tm

Exercice 4. Soientz0; z1; :::; zn des nombres complexes deux à deux distincts. Écrire puis calculer le déterminant

dans la base canonique deCn[X]de la famille :((X¡z0)ⁿ;(X¡z1)ⁿ; :::;(X¡zn)ⁿ). Que peut-on en conclure ?

Indication :Newton et Vandermonde

02.3.16.tm

Exercice 5. Soienta1; :::; andes nombres complexes. On pose!=eⁱ²ⁿ et on considère les matrices :

A= 0 BB BB BB BB BB

@

a1 a2 a3 ::: an

an a1 a2 a_n¡1

a3 a2

a2 a3 ::: an a1

1 CC CC CC CC CC A

et M=

0 B BB BB BB BB BB B@

1 1 1 ::: 1

1 ! !² ::: !^n¡1

1 !² !⁴ !^2(n¡1)

1 !^n¡1 !^2(n¡1) ::: !^(n¡1)(n¡1) 1 C CC CC CC CC CC CA

1. Montrer qu'il existe pour tout j2J1; nK un nombrekj2C tel que la j-ème colonne (AM)j de AM soit

égale à laj-ème colonneMj deM multipliée par le scalaire kj. En déduire le produitAM.

2. En déduire l'expression de det(A M)en fonction deskj et de detM, puis exprimer detAà l'aide des kj.

Indication :La suite(!ⁱ)_i2Nest n-périodique.

--- 02.4.1.tm

Exercice 6. SoientA; Bdeux matrices deMⁿ(K). Montrer, par récurrence surn, que l'application de variable réelle

t7!det(A+t B)est polynomiale de degré au plusn.

--- 02.4.2.tm

Exercice 7. SoitA= (ai;j)2 Mⁿ(K). Notons, pour i; j2[[1; n]], Ai;j la matrice obtenue en supprimant dans Ala

ligneiet la colonne j.

1. Que vaut, pour j2[[1; n]], P

i=1

n (¡1)^i+jai;jdetAi; j?

2. Montrer que, pour tous j=/kde[[1; n]],P

i=1

n (¡1)^i+jai;kdetAi;j= 0.

3. On suppose que detA=/ 0. Que vaut alors la matriceB=^t¡

(¡1)^i+jdetAi;j

16i; j6n?

4. Qu'en déduire sin= 2?

Indication :2. C'est le développement suivant la j-ième colonne du déterminant d'une certaine matrice.

--- 02.4.5.tm

Exercice 8. Déterminants tridiagonaux et suites récurrentes linéaires

Soientnun entier supérieur ou égal à 3 et M= [mi; j]2 Mⁿ(K). On dit queM est une matrice tridiagonale si pour

tout(i; j)2Nn2

ji¡jj 2 =)mi;j= 0.

Pour toutk2Nn, on noteraMk= (mi; j)1ik

1jk(Mk est la matrice de taillek, extraite deM en ne retenant que ses k

premières colonnes et sesk premières lignes). Pour toutk2Nn, on posek le déterminant deMk.

1. Montrer que, pour toutk3,k=mk;kk¡1¡mk¡1;kmk;k¡1k¡2.

2. Pour n3, on considère Mn= (mi; j)la matrice tridiagonale de taille ntelle que pour touti2Nn, mi;i= 2,

pour touti2N_n¡1,mi;i+1= 1et mi+1;i= 3. Déterminer detMn.

2

3. Calculer le déterminant d'ordren:

1 1 0 ::: 0 1 1 1

0 1 0

1 1 0 ::: 0 1 1

--- 02.4.8.tm

Exercice 9. Calculer les déterminants suivants :

T=

0 ::: ::: ::: a1;n

a2;n¡1

an;1 ::: :::

Dn=

a1+b1 b1 b1

b2 a2+b2 b2 b2

b3 b3

bn bn bn an+bn

Indication :On trouveT= (¡1)^n(n¡1)/2Q

i=1

n ai;n+1¡i etDn=Q

i=1 n ai+P

j=1 n bj¡ Q

i=/jai

--- 02.5.2.tm

Exercice 10. SoientA; B; C trois points non alignés du plan et, pouri2 f1;2;3gle barycentreMide(A; ai);(B ; bi) et(C ; ci)oùai; bi; ci sont des réels vérifiantai+bi+ci=/ 0, c'est-à-dire l'unique point vérifiant :

aiMiA+biMiB+ciMiC= 0~ ()

1. Montrer qu'un tel pointMiest bien défini de manière unique et déterminerAMi en fonction deAB et AC.

2. On suppose, pour i2 f1;2;3g, queai+bi+ci= 1.

Calculer le déterminant de la famille(M1M2; M1M3)dans la base(AB ; AC)et en déduire queM1; M2et M3

sont alignés si et seulement si

a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃

= 0.

3. Que peut-on conclure lorsque la sommeai+bi+ciest quelconque (non nulle) ?

--- 02.5.7.tm

Exercice 11. Trouver les matricesA2 Mⁿ(R)telles queA²=Aet trA= 0.

--- 02.0.7.tm

Exercice 12.

1. Soit u2 L(Kⁿ)tel que rgu= 1. À l'aide d'une base appropriée, montrer queu²= 0si et seulement si tru= 0.

2. On considère deux matricesAet B deMⁿ(K)telles que rg(A B¡B A) = 1. Calculer(A B¡B A)².

02.0.8.tm

Exercice 13. Vérifier que8(A; B; C)2 Mⁿ(K)³, tr(A B C) =tr(C A B).

Montrer sur un exemple simple que l'on n'a pas nécessairement tr(A B C) =tr(B A C).

--- 02.0.9.tm

Exercice 14. Soit2Ket A; B2 Mⁿ(K). Etudier l'équation d'inconnueM2 Mⁿ(K): M+ (trM)A=B

--- 02.0.5.tm

Exercice 15. formes linéaires sur les matrices

On rappelle qu'une forme linéaire sur unK-espace vectorielE est une application linéaire deEà valeurs dans K.

1. Soit A2 M^n;p(K). Montrer que l'applicationfA:M7!tr(A M)est une forme linéaire sur M^p;n(K).

2. Réciproquement,

a. Soit (Ei; j)(i;j)2J1;nKJ1;pKla base canonique deM^n;p(K)et soit(i; j)2J1; nKJ1; pK fixé.

Déterminer la forme linéaire fE_{i; j}deM^p;n(K).

b. Montrer que toute forme linéaire surM^p;n(K)est de la forme fAoùA est une matrice deM^{n; p}(K).

3. Soit f:Mⁿ(K)!Kune forme linéaire vérifiant f(M N) =f(N M)pour tous éléments M et N de Mⁿ(K).

Montrer que f est proportionnelle à la trace.

Indication :2.a. On pourra déterminer les valeurs de fE_{i; j}sur la base canonique deM^p;n(K).

--- 02.0.10.tm

Exercice 16. SoitT:Mⁿ(K)!K l'application trace, définie par8M2 Mⁿ(K); T(M) =trM. Montrer que :

KerT=fA B¡B AjA; B2 Mⁿ(K)g

4