Applications linéaires et matrices

Applications linéaires et matrices

Cours de É. Bouchet ECS1 7 mai 2021

Table des matières

1 Matrices et applications linéaires 2

1.1 Matrice d'une application linéaire . . . 2

1.2 Interprétations matricielles . . . 3

1.3 Opérations sur les matrices d'applications linéaires . . . 4

1.4 Rang d'une matrice . . . 5

2 Cas des endomorphismes et des matrices carrées 6 2.1 Matrice d'un endomorphisme . . . 6

2.2 Automorphismes . . . 7

2.3 Polynômes d'endomorphismes . . . 8

Dans tout ce chapitreK désigneraR ou C.

1 Matrices et applications linéaires

1.1 Matrice d'une application linéaire

Soit E un espace vectoriel de dimension p ∈ N^∗, de base B_E = (e₁, . . . , e_p) et F un espace vectoriel de dimension n ∈ N^∗, de base BF. Soit f une application linéaire de E dans F. On appelle matrice de l'application f dans les bases B_E et B_F, notée Mat_BF,BE(f), la matrice de Mn,p(K) dont la j-ième colonne est composée des coordonnées du vecteur f(e_j) dans la baseB_F.

Dénition (Matrice d'une application linéaire dans des bases).

Remarque. Attention ! La notation Mat_BE,BF peut être utilisée dans certains livres à la place de Mat_BF,BE. Le programme impose les notations de la dénition.

Exemple 1. On considère l'application linéairef dénie deR³ dansR⁴ par : ∀(x, y, z)∈R³, f((x, y, z)) = (2x+y,4y, y+z,6z).

On noteB3 = (e1, e2, e3) la base canonique deR³ etB4 la base canonique de R⁴. 1. Déterminer la matrice de l'applicationf dans les basesB3 etB4.

2. B₃⁰ = (e1, e1+e2, e1−e3) est une autre base deR³. Déterminer la matrice de l'applicationf dans les basesB₃⁰ etB4.

1. On remarque quef(e1) = (2,0,0,0),f(e2) = (1,4,1,0)etf(e3) = (0,0,1,6). Donc :

MatB4,B3(f) =









2 1 0 0 4 0 0 1 1 0 0 6







 .

2. On remarque quef(e₁) = (2,0,0,0),f(e₁+e₂) = (3,4,1,0)etf(e₁−e₃) = (2,0,−1,−6). Donc :

Mat_B4,B⁰

3(f) =









2 3 2 0 4 0 0 1 −1 0 0 −6







 .

Exemple 2. On considère l'endomorphismegdeR₃[X]qui à un polynômeP(X)associe son polynôme dérivéP⁰(X). On noteB la base canonique de R3[X]. Déterminer MatB,B(g).

On remarque queg(1) = 0,g(X) = 1,g(X²) = 2X etg(X³) = 3X². Donc :

MatB,B(g) =









0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0







 .

Soit (n, p) ∈ (N^∗)² et A ∈ M_n,p(K). On note B_p et B_n les bases canoniques respectives de K^p et Kⁿ. L'application linéaire f de K^p dans Kⁿ qui vérie Mat_Bn,Bp(f) = A est appelée application linéaire canoniquement associée àA et vérie : ∀(x₁, . . . , xp)∈K^p,

f((x₁, . . . , x_p)) = (y₁, . . . , y_n) avec ∀i∈[[1, n]], y_i=

p

X

k=1

a_ikx_k. Dénition (Application linéaire canoniquement associée à une matrice).

Exemple 3. On considère la matrice

2 5 2 0 3 1

. Donner son application linéaire canoniquement associée.

C'est l'application f de R³ dansR² qui à (x, y, z) ∈R³ associe f((x, y, z)) = (2x+ 5y+ 2z,3y+z). On peut le lire horizontalement sur la matrice, ou remarquer que la linéarité def donne :

f((x, y, z)) =xf((1,0,0)) +yf((0,1,0)) +zf((0,0,1)) =x(2,0) +y(5,3) +z(2,1) = (2x+ 5y+ 2z,3y+z).

SoitE un espace vectoriel de dimensionp∈N^∗ et de base BE etf une forme linéaire surE. Alors Mat_1,BE(f) est une matrice ligne (à pcolonnes).

Réciproquement, l'application linéaire canoniquement associée à une matrice ligne deM_1,p(K) est une forme linéaire sur K^p.

Proposition (Matrices lignes et formes linéaires).

Démonstration.

Sif est une forme linéaire deE,f va d'un espace de dimensionpdans un espace de dimension1et par dénition de la matrice d'une application linéaire, sa matrice sera (quelles que soient les bases choisies, seul le cardinal de ces bases est important pour la taille de la matrice) dansM_1,p(K).

Réciproquement, siA est une matrice ligne àpcolonnes, son application linéaire canoniquement associée va de K^p dansK, et est donc une forme linéaire.

1.2 Interprétations matricielles

SoitE un espace vectoriel de dimensionp∈N^∗, de base B_E, etx∈E. On appelle vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B_E le vecteur colonneX ∈M_p,1(K) formé des coordonnées dex dans la baseBE.

Dénition (Vecteur colonne des coordonnées dans une baseB_E).

Exemple 4. On considère le polynômeP(X) = 1 +X²+ 3X³ ∈R₃[X]. Le vecteur colonne de ses coordonnées dans

la base(1, X, X², X³) est







 1 0 1 3







 .

SoitEun espace vectoriel de dimensionp∈N^∗, de baseBE, etF un espace vectoriel de dimensionn∈N^∗, de base B_F. Soitf une application linéaire deE dansF etA= Mat_BF,BE(f). Soitx∈E,y∈F etX et Y les vecteurs colonnes de leurs coordonnées dans les basesBE etBF. On a :

y =f(x)⇐⇒Y =AX.

Théorème (Interprétation matricielle de l'image d'un vecteur).

Démonstration. (démonstration à connaître) On poseBE = (e1, . . . , ep)etBF = (f1, . . . , fn). Commex∈Eety∈F, il existe des scalairesx_j ety_i tels quex=Pp

j=1x_je_j ety=P_n

i=1y_if_i. On poseA= (a_ij)16i6n,16j6p. Par linéarité de f, dénition deA, puis interversion des sommes :

f(x) =

p

X

j=1

x_jf(e_j) =

p

X

j=1

x_j

n

X

i=1

a_ijf_i

!

=

n

X

i=1





p

X

j=1

a_ijx_j



f_i.

Ce qui nous donne, par identication des coecients dans la baseF puis par dénition du produit matriciel :

y=f(x)⇐⇒ ∀i∈[[1, n]], yi =

p

X

j=1

aijxj ⇐⇒Y =AX.

Exemple 5. On réutilise l'applicationg de l'exemple 2 et le polynômeP(X) = 1 +X²+ 3X³ de l'exemple 4. Alors,









0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0















 1 0 1 3









=







 0 2 9 0







 .

On en déduit queg(P(X)) = 0 + 2X+ 9X²+ 0X³ = 2X+ 9X². On retrouve ainsi bien l'expression du polynôme dérivé.

1.3 Opérations sur les matrices d'applications linéaires

SoitEun espace vectoriel de dimensionp∈N^∗, de baseBE, etF un espace vectoriel de dimensionn∈N^∗, de baseB_F. Soitf etgdeux applications linéaires de E dansF etλ∈K. Alors :

MatB_F,B_E(λf+g) =λMatB_F,B_E(f) + MatB_F,B_E(g).

Proposition (Matrice d'une combinaison linéaire).

Démonstration. (démonstration à connaître) On poseB_E = (e₁, . . . , e_p)etB_F = (f₁, . . . , f_n). On pose(a_ij)i∈[[1,n]],j∈[[1,p]]= Mat_BF,BE(f)et(b_ij)i∈[[1,n]],j∈[[1,p]]= Mat_BF,BE(g).Mat_BF,BE(λf+g)est la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs(λf+g)(ej)dans la baseBF, on va donc commencer par calculer ces vecteurs. Soitj∈[[1, p]],

(λf+g)(ej) =λf(ej) +g(ej) =λ

n

X

i=1

aijfi+

n

X

i=1

bijfi =

n

X

i=1

(λaij +bij)fi.

D'où (g).

Soit E,F etGtrois espaces vectoriels de dimension nie, de bases respectivesBE,BF etBG. Soitf une application linéaire de E dansF etgune application linéaire de F dansG. Alors :

MatBG,BE(g◦f) = MatBG,BF(g) MatBF,BE(f) Théorème (Matrice d'une composée d'applications linéaires).

Démonstration. On pose BE = (e1, . . . , ep), BF = (f1, . . . , fn) et BG = (g1, . . . , gm). On pose (aij)i∈[[1,n]],j∈[[1,p]] = Mat_BF,BE(f) et(b_ij)i∈[[1,m]],j∈[[1,n]]= Mat_BG,BF(g).Mat_BG,BE(g◦f) est la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteursg◦f(e_j) dans la baseB_G, on va donc commencer par calculer ces vecteurs. Soit j∈[[1, p]],

g◦f(ej) =g(f(ej)) =g

n

X

i=1

aijfi

!

=

n

X

i=1

aijg(fi) =

n

X

i=1

aij m

X

k=1

bkigk

!

=

m

X

k=1 n

X

i=1

bkiaij

! gk.

Or

n

X

i=1

bkiaij correspond au terme de la k-ième ligne etj-ième colonne de la matriceMatBG,BF(g) MatBF,BE(f), par formule du produit matriciel. D'où le résultat.

1.4 Rang d'une matrice

Soit (n, p) ∈ (N^∗)² et A une matrice de M_n,p(K). On appelle rang de A et on note rg(A) le rang de la famille des vecteurs colonnes deA dansM_n,1(K).

Dénition (Rang d'une matrice).

Exemple 6. Quel est le rang de la matriceA=





1 2 3 2 3 5 1 3 4



?

La troisième colonne de A est la somme des deux précédentes, donc rg(A) = rg







 1 2 1



,



 2 3 3







 = 2 car ces deux vecteurs forment une famille libre deM_3,1(R).

Soit (n, p)∈(N^∗)² etA∈ M_n,p(K). On a :

rg(A) = 0⇐⇒A= 0.

Proposition (Matrice de rang nul).

Démonstration. Les seules familles deM_n,1(K)de rang0sont celles qui ne contiennent que des vecteurs colonnes nuls, d'où le résultat.

Soit E un espace vectoriel de dimension p ∈ N^∗, F un espace vectoriel de dimension n ∈ N^∗ et f une application linéaire de E dansF. Soit Ala matrice de l'application f dans les basesB_E etB_F. On a :

rg(f) = rg(A).

Théorème (Lien entre rang d'une application linéaire et de sa matrice).

Démonstration. On pose B_E = (e₁, . . . , e_p). Les colonnes deA sont formées des coordonnées des vecteurs f(e_i) dans la baseB_F. Donc par dénition du rang d'une matrice, le rang deA est égal au rang de la famille(f(e₁), . . . , f(e_p)). Par ailleurs, comme BE est une base de E, on sait que la famille (f(e1), . . . , f(ep)) engendre Im(f). D'où rg(A) = dim(Im(f)) = rg(f).

Remarque. Le rang d'une application linéaire est donc le rang de n'importe laquelle de ses matrices associées : le choix des bases n'importe pas.

Soit (n, p)∈(N^∗)² etA∈ M_n,p(K). On a :

rg(A) = rg(^tA).

Proposition (Rang de la transposée).

Démonstration. Résultat admis.

2 Cas des endomorphismes et des matrices carrées

2.1 Matrice d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension p∈ N^∗, de baseB = (e₁, . . . , e_p) etf un endomorphisme deE. On appelle matrice de l'application f dans la base B, notée Mat_B(f), la matrice carrée de M_p(K) dont la j-ième colonne est composée des coordonnées du vecteur f(ej)dans la base B.

Dénition (Matrice d'un endomorphisme dans une base).

Remarque. SiE est un espace vectoriel de baseB= (e1, . . . , ep), on remarque que pour touti∈[[1, p]],IdE(ei) =ei. Donc la matrice associée à l'endomorphisme identité estIp et ne dépend pas de la base deE choisie.

Soit E un espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = g◦f. Alors pour tout n∈N,

(f+g)ⁿ=

n

X

k=0

n k

f^k◦g^n−k.

Proposition (Formule du binôme de Newton pour deux endomorphismes, rappel).

Soit p∈N^∗. Pour tous (A, B)∈(M_p(K))² tels que AB=BAet pour toutn∈N,

(A+B)ⁿ=

n

X

k=0

n k

A^kB^n−k.

Proposition (Formule du binôme de Newton pour deux matrices, rappel).

2.2 Automorphismes

Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle automorphisme de E tout endomorphisme bijectif deE. On noteGL(E) l'ensemble des automorphismes deE.

Dénition (Automorphisme).

Remarque. Les automorphismes de E sont donc les applications qui sont à la fois un endomorphisme de E et un isomorphisme deE dansE.

Soit n ∈N^∗ et A ∈ M_n(K). On dit que A est inversible quand il existe une matrice B de M_n(K) telle que AB=BA=I_n. Cette matrice est alors unique et notéeA⁻¹. L'ensemble des matrices inversibles de M_n(K) est notéGL_n(K).

Dénition (Matrice inversible, rappel).

Soit E un espace vectoriel de dimension nie et BE une base de E. Soit f un endomorphisme de E. Alors f est un automorphisme si et seulement si Mat_BE(f) est inversible et on a alors Mat_BE(f⁻¹) = (Mat_BE(f))⁻¹.

Théorème (Automorphismes et inverse d'une matrice).

Démonstration. (démonstration à connaître) On note n∈N^∗ la dimension de E etB_E = (e₁, . . . , e_n)une base de E. Supposons quef est bijective. Alors elle admet une réciproque f⁻¹ etf◦f⁻¹ =Id_E. En passant aux matrices

associées, on trouve :

MatBE(f) MatBE(f⁻¹) = MatBE(f◦f⁻¹) = MatBE(IdE) =In. Donc Mat_BE(f) est inversible etMat_BE(f⁻¹) = (Mat_BE(f))⁻¹.

Réciproquement, supposons que A = MatBE(f) est inversible. Soit g l'endomorphisme deE tel que les coor- données de g(ei) dans la base B_E sont les vecteurs colonne de A⁻¹. On a alors, en notant Ei la matrice des coordonnées de e_i dans la baseB_E,∀i∈[[1, n]],

g◦f(e_i) =e_i, car Mat_BE(g◦f)E_i =A⁻¹AE_i =I_nE_i=E_i.

d'où g◦f =Id_E. Puisquef est un endomorphisme, elle est bijective et d'inverseg. Par construction de g, on a de plus Mat_BE(f⁻¹) = Mat_BE(g) = (Mat_BE(f))⁻¹.

Exemple 7. Soit f l'endomorphisme de R² déni pour tout (x, y) ∈ R² par f((x, y)) = (x+ 2y,2x+ 2y). Montrer qu'il s'agit d'un automorphisme deR² et donner l'expression de sa réciproque.

La matrice def dans la base canonique est 1 2

2 2

. Comme 2−4 = −2 6= 0, cette matrice est inversible, d'inverse

1

−2

2 −2

−2 1

=

−1 1 1 −¹₂

. Doncf est bijective et∀(x, y)∈R²,f⁻¹((x, y)) = (y−x,^2x−y₂ ).

Soit n∈N^∗ etA∈ M_n(K). On a :

rg(A) =n⇐⇒A est inversible.

Proposition (Matrice de rangn).

Démonstration. On pose f l'application linéaire canoniquement associée à la matrice A. D'après la proposition pré- cédente,A est inversible si et seulement sif est bijective. Or on a vu dans le chapitre sur les applications linéaire en dimension nie qu'un endomorphisme f de Kⁿ est bijectif si et seulement si son rang est égal à n. Comme le rang d'une matrice est égal au rang de toute application linéaire qui lui est associée, on en déduit :

rg(A) =n⇐⇒rg(f) =n⇐⇒f est bijective ⇐⇒Aest inversible .

2.3 Polynômes d'endomorphismes

Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N^∗ et f un endomorphisme de E. Soit r ∈ N et P(X) =

r

X

i=0

aiXⁱ un polynôme deK[X]. On appelle P(f) l'endomorphisme deE déni parP(f) =

r

X

i=0

aifⁱ. Dénition (Polynôme d'endomorphisme).

Exemple 8. SoitP(X) = 2X²+ 3X+ 3etf un endomorphisme de E. AlorsP(f) = 2f◦f + 3f+ 3Id_E.

Soit n∈N^∗, A∈ M_n(K), r ∈N etP(X) =

r

X

i=0

aiXⁱ un polynôme deK[X]. On appelle P(A) la matrice

de M_n(K) dénie parP(A) =

r

X

i=0

aiAⁱ. Dénition (Polynôme de matrice carrée).

Exemple 9. SoitP(X) = 2X²+ 3X+ 3etAune matrice deMn(K). AlorsP(A) = 2A²+ 3A+ 3In.

Soit P et Q deux polynômes de K[X] et λ ∈ K. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension nien∈N^∗. Alors,

(λP+Q) (f) =λP(f) +Q(f) et (P Q)(f) =P(f)◦Q(f).

De même, soit A∈M_n(K), alors

(λP +Q) (A) =λP(A) +Q(A) et (P Q)(A) =P(A)Q(A).

Proposition (Règles de calcul).

Démonstration. On va montrer le résultat sur les polynômes d'endomorphisme, celui sur les polynômes de matrice s'en déduit ensuite directement. On poseP(X) =

r

X

i=0

a_iXⁱ etQ(X) =

r

X

i=0

b_iXⁱ. (λP +Q)(X) =

r

X

i=0

(λa_i+b_i)Xⁱ, d'où :

(λP +Q) (f) =

r

X

i=0

(λa_i+b_i)fⁱ =λ

r

X

i=0

a_ifⁱ+

r

X

i=0

b_ifⁱ=λP(f) +Q(f).

Soit k∈N.P(X)×X^k=

r

X

i=0

aiX^i+k et on a :

r

X

i=0

aif^i+k=

r

X

i=0

aifⁱ◦f^k =

r

X

i=0

aifⁱ

!

◦f^k=P(f)◦f^k. Or (P Q)(X) =

r

X

i=0

bi(P(X)Xⁱ)par linéarité de la somme. On obtient alors :

(P Q)(f) =

r

X

i=0

b_iP(f)◦fⁱ=P(f)◦

r

X

i=0

b_ifⁱ =P(f)◦Q(f).

Soit E un espace vectoriel de dimensionn∈N^∗ etf un endomorphisme deE. Soit P(X)∈K[X]. On dit que le polynôme P est annulateur def lorsqueP(f) = 0.

Dénition (Polynôme annulateur).

Remarque. On peut de même parler de polynôme annulateur d'une matriceA siP(A) = 0.

Exemple 10. Dans le cas d'un projecteurp, on ap◦p=p, doncp◦p−p= 0etX²−X est un polynôme annulateur dep.

Remarque. Il est possible de déterminer la réciproque d'un endomorphisme en utilisant un polynôme annulateur (qui doit alors avoir un terme constant non nul).

Exemple 11. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie E et P(X) = 2X³ +X+ 3. On suppose queP est un polynôme annulateur de f. Montrer quef est bijective et déterminer une expression def⁻¹. Les hypothèses nous donnent2f³+f+ 3Id_E = 0, c'est-à-dire2f◦f◦f+f+ 3Id_E = 0. Doncf◦ 2f²+Id_E

=−3Id_E et par linéarité def,f◦

−^2f2+Id₃ ^E

=Id_E. Comme f est un endomorphisme, on en déduit quef est bijective et on trouve :

f⁻¹=−2f²+IdE

3 .

Exemple 12. SoitA ∈ M₃(R) etP(X) =X²+ 5X+ 2. On suppose que P est un polynôme annulateur de A. En déduire queAest inversible et donner une expression de A⁻¹.

Les hypothèses nous donnent A²+ 5A+ 2I3 = 0. On en déduit que A(A+ 5I3) = −2I₃ et donc A −^A+5I₂ ³

= I3. DoncAest inversible et

A⁻¹=−A+ 5I3

2 .

Remarque. Les polynômes annulateurs permettent aussi de calculer les puissances d'une matrice.

Exemple 13. SoitA ∈ M₃(R) etP(X) =X²−5X+ 6. On suppose que P est un polynôme annulateur de A. En déduire une expression deA^k, pour k∈N.

Les hypothèses nous donnent :

A²−5A+ 6I₃= 0.

On en déduit queA²= 5A−6I₃. Donc, par multiplication parA,A³= 5A²−6A= 25A−30I₃−6A= 19A−30I₃. On pourrait tenter de conjecturer ainsi l'expression cherchée, puis la montrer par récurrence. Mais ce serait long.

On va plutôt se servir de la division euclidienne des polynômes : soit k ∈ N^∗, divisons X^k par P(X) : il existe des uniquesQ(X) etR(X) =aX+b∈R₁[X]tels que :

X^k=P(X)Q(X) +aX+b.

En particulier,A^k=aA+bI3 puisqueP(A) = 0. Il sut donc de détermineraetb pour obtenir les puissances deA. Pour cela on recherche les racines deP : ∆ = 25−24 = 1>0, doncP admet deux racines réelles distinctes : 3 et2. On en déduit le système :

3^k= 3a+b et2^k= 2a+b.

Donca= 3^k−2^k etb= 3×2^k−2×3^k. D'où ∀k∈N^∗,

A^k= (3^k−2^k)A+ (3×2^k−2×3^k)I3. Ce qu'on peut maintenant simplier en remplaçantA par sa valeur si on la connaît.