Chapitre 17
Matrices et Applications linéaires
Notations.
Kdésigne soit le corpsR soit le corpsC.
netpdésignent deux entiers naturels non nuls.
E etF désignent des espaces vectoriels de dimension nie.
I - Dénitions
I.1 - Matrices d'une application linéaire
Définition 1 (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base).
Soientm un entier naturel non nul,B= (e1, . . . , ep)une base deF etv1, . . . , vm des vecteurs de F. Pour tout i∈J1, mK, on note vi =
p
P
j=1
xjiej. La matrice des vecteurs (v1, . . . , vm) dans la baseB est
MatB(v1, . . . , vm) =
x11 · · · x1m ... ... ...
xp1 · · · xpm
∈Mp,m(K).
Exercice 1.Soit B = (e1, . . . , en) une base de E. On note B0 = (en, e1, . . . , en−1). Déterminer MatB(B0).
Définition 2 (Matrice d’une application linéaire dans deux bases).
Soient B = (e1, . . . , en) une base de E, B0 = (f1, . . . , fp) une base de F et ϕ ∈ L(E, F).
La matrice de l'application linéaire ϕ dans les bases B et B0 est la matrice MatB,B0(ϕ) = MatB0(ϕ(e1), . . . , ϕ(en)).
Exercice 2.
1. SoitB une base de E. DéterminerMatB(IdE).
2. Soient D1 = Vect{(2,1)}, D2 = Vect{(2,2)} et p la projection sur D1 parallèlement à D2. Déterminer la matrice dep dans la base canonique.
Propriété 1 (Évaluation).
SoientB une base de E,B0 une base de F,ϕ∈L(E, F) etu∈E. Alors, MatB0(ϕ(u)) = MatB,B0(ϕ)·MatB(u).
Théorème 1 (Isomorphisme).
Soit B (resp. B0) une base de E (resp. F). L'application ψ : L(E, F) → Mp,n(K), ϕ 7→
MatB,B0(ϕ)est un isomorphisme.
Exercice 3.Montrer que siE est de dimensionnetF est de dimensionp, alorsdim(L(E, F)) = np.
Propriété 2 (Composition & Produit matriciel).
Soit B1 (resp. B2, B3) une base d'un espace vectoriel de dimension nie E (resp. F, G).
Soientϕ∈L(E, F) etψ∈L(F, G).
MatB1,B3(ψ◦ϕ) = MatB2,B3(ψ)·MatB1,B2(ϕ).
I.2 - Retour sur G`n(K)
Théorème 2 (Inverse & Matrices).
Soit B1 (resp. B2) une base d'un espace vectoriel de dimension nie E (resp. F) tels que dimE = dimF. L'application linéaire ϕ ∈ L(E, F) est une bijection si et seulement si MatB1,B2(ϕ) est inversible. Alors
MatB1,B2(ϕ)−1
= MatB2,B1(ϕ−1). Corollaire 3 (Caractérisation des matrices inversibles).
SoientA, B∈Mn(K) telles queAB=In. AlorsA est inversible etA−1 =B.
Corollaire 4 (Caractérisation des bases).
Soient B une base de E et (x1, . . . , xn)∈En.(x1, . . . , xn) est une base deE si et seulement siMatB(x1, . . . , xn) est inversible.
Exercice 4. Soit A ∈ Mn(K). La matrice A est inversible si et seulement si, pour tout X ∈ Mn,1(K),[AX= 0 ⇒ X = 0].
II - Changements de base II.1 - Formules
Exercice 5. Soient θ ∈ R, (e1, e2) la base canonique de R2, uθ = cosθe1 + sinθe2 et vθ =
−sinθe1+ cosθe2. Montrer queBθ = (uθ, vθ)est une base de R2 et déterminer les coordonnées du vecteur u = x1e1 +x2e2 dans la base Bθ. Le résultat sera exprimé sous forme de produit matriciel.
Définition 3 (Matrice de passage).
SoitE un espace vectoriel de dimensionn(oùn>1) et B1,B2 deux bases deE. La matrice de passage deB1 àB2 est la matricePBB2
1 = MatB1(B2) = MatB2,B1(IdE). Exercice 6.
1. SoientB1,B2,B3 trois bases de E. Montrer quePBB2
1 ·PBB3
2 =PBB3
1.
2. SoitP ∈G`n(K). Montrer qu'il existe deux basesB1 etB2 de Kn telles queP =PBB2
1. Propriété 3 (Inversibilité).
Soit PBB2
1 une matrice de changement de base. Alors,PBB2
1 est inversible et PBB2
1
−1
=PBB1
2
Propriété 4 (Changement de base d’un vecteur).
Soit u∈E. Alors,MatB2(u) =
PBB2
1
−1
·MatB1(u), i.e.MatB1(u) =PBB2
1 ·MatB2(u). Exercice 7.Reprendre l'exercice sur les formules de changement de base orthonormée dans le plan.
Théorème 5 (Formules de changement de base).
∗ SoientE un espace vectoriel de dimensionnetB1,B01 deux bases de E.
∗ SoientF un espace vectoriel de dimensionp etB2,B20 deux bases de F.
∗ Soientϕ∈L(E, F). On noteM = MatB1,B2(ϕ) etM0 = MatB0
1,B20(ϕ).
Alors, M0 =PBB02 2
·M·PB
0
B11.
En particulier, lorsque E=F,B1 =B2,B10 =B02 etP =PB
0
B11, alors M0 =P−1M P.
Exercice 8.
1. Soient D1 = Vect{(2,1)}, D2 = Vect{(2,2)} et p la projection sur D1 parallèlement à D2. Déterminer la matrice depdans la base canonique en utilisant une base adaptée puis la formule de changement de base.
2. Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et ϕ ∈ L(R3) telle que A = MatB(ϕ) =
3 1 0
−3 0 1 1 0 0
. On posev1 =e1−2e2+e3,v2 =−e2+e3 etv3 =e3. a)Montrer que B0 = (v1, v2, v3) est une base deR3.
b)Déterminer C= MatB0(ϕ).
c)Pour tout entier naturel n, déterminerCn et en déduireAn. Corollaire 6 (Formules de changement de repères).
Soient R = (O,B) et R0 = (O0,B0) deux repères cartésiens de l'espace ane E. On note Ω = MatB
−−→
OO0
etP = MatB(B0) la matrice de passage deB à B0. Pour tout point M de E, on noteX (resp.X0) ses coordonnées dans le repère R (resp.R0). Alors, X= Ω +P X0 et X0 =P−1(X−Ω).
Exercice 9.SoitR2muni d'un repère orthonormé directR= (O,−→ i ,−→
j). On dénitε1= 2−→ i+3−→
j, ε2 = 4−→
i + 5−→
j et on note R0 le repère (O, ε1, ε2). Pour tout point de coordonnées (X, Y) dans R, déterminer ses coordonnées(X0, Y0) dansR0 et réciproquement.
II.2 - Applications remarquables de L(E) Propriété 5 (Homothéties).
Soit λ∈K?. La matrice de l'homothétie de rapportλest, quelle que soit la base,λIn. Propriété 6 (Projections).
SoientF, Gdeux espaces supplémentaires dans E etpla projection sur F parallèlement àG.
Pour toute baseB= (e1, . . . , en) adaptée à la décompositionE =F ⊕G, MatB(p) =
Ir 0r,n−r
0n−r,r 0n−r
.
Propriété 7 (Symétries).
SoientF, Gdeux espaces supplémentaires dansE etsla symétrie par rapport àF de direction G. Pour toute baseB= (e1, . . . , en) adaptée à la décompositionE =F ⊕G,
MatB(s) =
Ir 0r,n−r
0n−r,r −In−r
.
II.3 - Matrices semblables
Définition 4 (Trace d’un matrice carrée).
Soit A= (ai,j)∈Mn(R). La trace de A, notée Tr(a), est le réel
Tr(A) =
n
X
i=1
ai,i.
Propriété 8 (Propriétés de la trace). SoientA, B∈Mn(K).
(i). Tr : Mn(K)→K est une forme linéaire.
(ii). Tr(AB) = Tr(BA).
(iii). Pour tout entier naturelm,Tr((AB)m) = Tr((BA)m).
(iv). Pour toute matrice P ∈G`n(K),Tr(P−1AP) = Tr(A).
Définition 5 (Matrices semblables).
Soit (A, B)∈Mn(K)2. Les matricesA et B sont semblables s'il existe une matrice inversible P ∈G`n(K) telle que
A=P BP−1.
Exercice 10.Soit Aune matrice scalaire. Déterminer l'ensemble des matrices semblables à A.
Propriétés 9.
(i). La relation binaire être semblable est une relation d'équivalence.
(ii). Si A etB sont semblables, alors Tr(A) = Tr(B). Théorème 7.
Soient A, B ∈ Mn(K). Les matrices A et B sont semblables si et seulement si ce sont les matrices d'un même endomorphismeϕsur un esepace vectoriel de dimension n.
Définition 6.
Soit f un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension nie. La trace de ϕest la trace de la matrice de ϕdans une baseB de E.
Exercice 11.Montrer que pour tout projecteur p,Tr(p) = Rg(p). III - Rang des matrices
III.1 - Dénitions
Définition 7 (Noyau, Image & Rang d’une matrice).
Soit M ∈Mn,p(K).
(i). L'image de M est le sous-espace vectoriel de Mn,1(K) engendré par ses vecteurs co- lonnes.
(ii). Le rang deM, notéRgM, est le rang des vecteurs colonnes deM.
(iii). Le noyau de M est le sous-espace de Mp,1(K) engendré par les vecteurs X tels que M X = 0Mp,1(K).
Exercice 12.
1. Déterminer le noyau, l'image et le rang de la matrice A=
2 −1 1 5
−1 2 3 −4
3 0 5 6
.
2. SoitM ∈Mn,p(K). Montrer que RgM 6min{n, p}. Propriété 10 (Rang des matrices & Applications linéaires).
Soient B1 (resp. B2) une base d'un espace vectoriel de dimension nie E (resp. F) et ϕ ∈ L(E, F). Alors, Rgϕ= Rg MatB1,B2(ϕ).
Propriété 11 (Rang et Inversibilité).
Soit A∈Mn(K). La matrice A est inversible si et seulement siRgA=n.
Exercice 13.Caractériser l'inversibilité des matrices triangulaires supérieures. Que dire, le cas échéant, de leur inverse ?
III.2 - Matrices équivalentes Définition 8 (MatriceJr).
Soientnetpdeux entiers naturels non nuls etr∈J0,min{n, p}K. On noteJrla matrice dénie par blocs parJr =
Ir 0r,p−r
0n−r,r 0n−r,p−r
. Remarque.
Pour alléger les notations, nous ne notons pas la dépendance de Jr en netp. Théorème 8 (Matrices équivalentes àJr).
Soient M ∈ Mn,p(K) et r ∈ J0,min{n, p}K. Alors RgM = r si et seulement s'il existe deux matricesQ∈G`p(K) etP ∈G`n(K) telles queM =QJrP.
Corollaire 9 (Rang et Transposée).
Soit A∈Mn,p(K). Alors, RgA= RgtA.
Exercice 14.Soit M ∈Mn,p(K). Montrer queRgA6min{n, p}. Définition 9 (Matrices équivalentes).
Soient (A, B) ∈ Mn,p(K)2. Les matrices A et B sont équivalentes s'il existe deux matrices inversiblesP ∈G`p(K) etQ∈G`n(K)telles que
A=P BQ.
Exercice 15.
1. Montrer que cette relation dénit bien une relation d'équivalence.
2. Montrer que siA etB sont deux matrices carrées semblables, alors elles sont équivalentes.
Propriété 12.
SoientAetBdeux matrices deMn,p(K). Les matricesAetBsont équivalentes si et seulement si ce sont les matrices d'une même application linéaireϕd'un espace vectorielE de dimension p dans un espace vectorielF de dimension n.
Théorème 10 (Caractérisation des matrices équivalentes).
Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
III.3 - Matrices extraites Définition 10 (Matrice extraite).
SoientA= (ai,j)16i6n,16j6p ∈Mn,p(K),I ⊂J1, nKetJ ⊂J1, pK. La matriceB = (ai,j)i∈I, j∈J
est une matrice extraite de A.
Proposition 13.
Soit Aune matrice et B une matrice extraite de A. Alors,Rg(B)6Rg(A). Théorème 11 (Rang & Matrices extraites).
SoitA∈Mn,p(K). Le rang deAest la taille maximale des matrices carrées extraites inversibles de A.
IV - Opérations élémentaires sur les lignes & colonnes IV.1 - Calcul du rang et de l'inverse
Théorème 12.
Toute opération élémentaire sur les lignes / colonnes sur A ∈Mn,p(K) transforme A en une matrice de même rang.
Lemme 1.
Soit α∈K? etA∈Mn−1(K). Alors,
Rg
α 0 · · · 0
∗... A
∗
= 1 + RgA.
Exercice 16.À l'aide d'opérations élémentaires sur les colonnes / lignes de la matrice, on calcule son rang. Déterminer le rang de (a, b∈R).
1. A=
1 1 −1
1 0 1
2 −1 1
1 1 1
. 2.
a b a b a b b a b a a b b a b a
. Théorème 13 (Inverse & Pivot de Gauss).
SoitA∈Mn(C).Aest inversible si et seulement s'il existe une matriceP, produit de matrices d'opérations élémentaires sur les lignes, telle que P A=In. Alors, P In=A−1.
Exercice 17.Déterminer l'inverse de
1 3 3
2 4 9
−1 −3 3
. IV.2 - Systèmes linéaires
Définition 11 (Système linéaire).
Soit A = (ai,j) ∈ Mp,n(K) etB ∈ Mp,1(K). Un système linéaire est une équation AX =B, où X∈Mn,1(K)est l'inconnue. On écrit également le système sous la forme
(S)
a11x1 + · · · + a1nxn = b1
... ... ... ...
ap1x1 + · · · + apnxn = bp (i). Le système a péquations et ninconnues.
(ii). A est appelée matrice du système etB le second membre.
(iii). Si i∈J1, pK, l'égalité ai1x1+· · ·+ainxn=bi est appelée i-ème équation de(S). (iv). Si B = 0, le système est dit homogène. Le système AX = 0est le système homogène
associé à (S).
(v). Le rang du système est le rang de A.
(vi). Si le système possède une solution, il est dit compatible.
Théorème 14 (Systèmes et Applications linéaires).
Soit ϕ∈ L(Rn,Rp) et (S) : ϕ(x) = b. Le système (S) est compatible si et seulement si b ∈ Im(ϕ). Notons a un vecteur tel que ϕ(a) = b. L'ensemble des solutions du système est
a+ Kerϕ.
(i). SiRgS =r, alorsdim Ker(ϕ) =n−r. L'ensemble des solutions du système homogène est un sous-espace vectoriel de dimension n−r.
(ii). Si RgS = n, ϕ est inversible et le système possède une unique solution. On dit que (S)est un système de Cramer. Son unique solution est donnée par ϕ−1(b).
Théorème 15 (Systèmes et Matrices).
X est une solution de AX = B si et seulement si pour tout C ∈ G`p(K), X est solution de CAX = CB. On dit que les systèmesAX =B et CAX =CB sont équivalents. On a alors, RgS = RgA.
Propriété 14 (Interprétation des systèmes linéaires).
Un système linéaire peut être interprété de diérentes manières : (i). Matricielle : AX=B.
(ii). Vectorielle : Pp
j=1
xjCj =B.
∗ compatible si et seulement si B ∈Vect{C1, . . . , Cp}.
∗ RgS = Rg{C1, . . . , Cp}.
∗ si (C1, . . . , Cp) est libre, alors le système a au plus une solution.
(iii). Applications linéaires : u(x) =b. (iv). Formes linéaires : ϕi : Kp → K, x 7→
p
P
j=1
aijxj. L'ensemble des solutions du système homogène(S0)est donc Tn
j=1
Kerϕj.
