ECS1
Exercices: Applications linéaires et matrices
Exercice 1. Soitf l'application linéaire deR3dansR2 dénie par f((x, y, z)) = (x+z,4x−2y+z) pour tout(x, y, z)∈R3.
Notons la base canonique de R3 parB= (e1, e2, e3)et celle deR2parC= (f1, f2). 1. Donner la matrice def dans les basesBet C.
2. Posonsv1=e1+e2+e3, v2=e1+ 2e2+ 4e3 etv3=e1+ 3e2+ 9e3. Montrer que la famille de vecteurs B0= (v1, v2, v3)forme une base deR3.
3. Posonsw1=f1+f2 etw2=f2. Montrer que la famille de vecteursC0= (w1, w2)forme une base deR2. 4. Exprimer la matrice def dans les baseB0 etC0.
Exercice 2. Soitf l'endomorphisme de R3 déni par
f(e1) = 13e1+ 12e2+ 6e3, f(e2) =−8e1−7e2−4e3, f(e3) =−12e1−12e2−5e3, où(e1, e2, e3)est la base canonique deR3.
1. Donner la matrice def dans la base canonique.
2. Posons v1 = 2e1+ 3e2, v2 = 3e2−2e3 et v3 = 2e1 + 2e2+e3. Montrer que la famille de vecteurs B= (v1, v2, v3)forme une base deR3.
3. Exprimer l'image deBparf dans la baseB. En déduire la matrice de f dans la baseB. Exercice 3. Soitul'endomorphisme deR3 de matrice
M =
−1 1 −2
−2 3 −4
1 0 1
dans la base canonique. On pose,
f3= (−1,1,1), f2=u(f3)−f3et f1=u(f2)−f2. 1. Calculer les coordonnées def2 etf1dans la base canonique.
2. Vérier queB= (f1, f2, f3)forme une base de R3. 3. Donner la matriceN deudans la baseB.
Exercice 4. SoitA=
1 0 3
0 −1 1 1 −2 0
.
1. ExprimerA3 en fonction deAetI3.
2. En déduire queAest inversible et déterminerA−1.
Exercice 5. On considèreB={e1, e2, e3}la base canonique deR3 et l'endomorphismef deR3 déni par f(e1) =e2, f(e2) =e3, f(e3) =e1.
1. Déterminer un polynôme annulateur def.
2. f est-elle bijective ? Si oui, déterminer sa réciproque.
Exercice 6. SoitA=
1 −1 2 4
. Trouver un polynômeP tel queP(A) = 0. En déduireAn pour toutn∈N.
Exercice 7. SoitA=
a b b a
. En utilisant la formule du binôme de Newton, calculerAn pour toutn∈N.
Exercice 8. Soitt∈C∗. On considère la matriceA=
0 t t2
1
t 0 t
1 t2
1 t 0
1. Déterminer un polynôme annulateur de cette matrice.
2. En utilisant le théorème de division euclidienne, calculerAn pour toutn∈N.
Exercice 9. Soient(m, n)∈(N∗)2 etf :Rm→Rn une application linéaire.
1. Montrer qu'il existe une base (e1, . . . , em)de Rm telle que (er+1, . . . , em) est une base du noyau de f, pour un entierr∈ {0, . . . , m}.
2. Vérier que(f(e1), . . . , f(er))est une base de l'image de f.
3. En déduire qu'il existe des basesB et C deRmet deRn, respectivement, dont la matrice de f dans les basesBet Cest donnée par
1 0 · · · 0
0 ... ... ...
... ... 1 ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
Exercice 10. Donner des bases B et C comme dans l'exercice précédent pour l'applicationu de R4 dans R3 dénie par
f((x, y, z, w)) = (x+z+w,−x+y−2w,−y−z+w).
