EPFL 4 juin 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 25
L’exercice 2 est à rendre le 11 juin au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Déterminer le polynôme minimal de la matrice suivante
A=
2 0 0 3 −4 3 3 −6 5
.
Exercice 2 On se place dans E = C 4 muni de sa base canonique B = (e1, e2, e3, e4). On désigne par j l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est la matrice suivante
J =
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
∈M4(C).
1. Déterminer l’image de b par j, j2, j3, et j4. En déduire J2, J3 et J4. 2. Déterminer un polynôme annulateur non nul de J.
3. Montrer que si P ∈C[X] avec deg(P)≤3 vérifie P(J) = 0 alors P = 0.
4. En déduire le polynôme minimal de J.
5. Montrer que J est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de J.
Exercice 3 Soientf :Cn→Cn une application linéaire de polynôme caractéristique Cf(X) = (X−λ)n tel que dim(Ker(f −λId)) = 1 et ~vn ∈ Rn tel que (f −λId)n−1(~vn) 6= 0. On pose
~vn−i = (f−λId)i(~vn) pour i= 1. . . n−1.
Montrer que B ={~v1, ~v2, . . . , ~vn} est une base de Jordan de f.
1. Application 1 : Soit f : R3 → R3 une application linéaire de matrice A dans la base canonique avec :
A=
2 −2 2 2 2 2 1 1 2
.
Déterminer une base de Jordan B de f. En déduire l’expression de [fn]B,B. 2. Application 2 : Jordaniser la matrice
1 0 0 0
−1 4 1 −2 2 1 2 −1 1 2 1 0
.
1
