Chapitre 1
Proportions et pourcentages
I. Proportions et pourcentages
I.1 Généralités
Définition 1
Soit E un ensemble non vide et A une partie de cet ensemble. On note nE le nombre d'éléments (ou d'individus) de E et nA le nombre d'éléments de A .
On appelle proportion de A dans E le quotient p= nA nE . Remarque
Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemple
Dans une classe de 35 élèves, il y a 18 filles. La proportion de filles dans la classe est : p=18
35≈0, 514 Propriété 2
Pour tout ensemble A contenu dans un ensemble non vide E , on a 0⩽p⩽1. Définition 3
Pour obtenir un résultat en pourcentage, il suffit de multiplier la proportion obtenue par 100.
Exemple
Dans l'exemple précédent où p=0 , 514 , cela signifie qu'il y a environ 51, 4 % de filles dans la classe.
Propriété 4
À partir de la première propriété, il est possible de déterminer chacun des paramètres en fonction des deux autres :
Exemples
• En juillet 2013, la France compte 3 , 28 millions de chômeurs, pour une population active de 32 millions de personnes. Calculer le taux de chômage correspondant.
On connaît nE=32 millions, nA=3, 28 millions. On cherche p : p=nA
nE=3, 28
32 =0 ,1025 . Le taux de chômage en France en juillet 2013 est de 10 , 25 %.
• Dans un port de pêche, les cinq sixièmes des 720 habitants vivent de la pêche. Combien d'habitants cela représente-t-il ?
On connaîtnE=720 et p=5
6 . On cherche nA : nA=p×nE=5
6×720=600 . Il y a donc 600 personnes qui vivent de la pêche.
I.2 Pourcentage de pourcentage
Propriété 5
Soit F un ensemble non vide, E une partie non vide de F et A une partie non vide de E . On note p1 la proportion de A dans E et p2 la proportion de E dans F .
Alors la proportion de A dans F est p=p1×p2.
Exemple
Le syndicat des Éditeurs de Logiciels de Loisirs déclarent que 53% des Français jouent régulièrement aux jeux vidéos. Parmi eux, 47% sont des femmes.
En notant p la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos parmi tous les français, on a : p= 53
100× 47
100=0 , 2491
Parmi les Français, la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos est de 24 , 91 %.
II. Taux d'évolution
II.1 Variation absolue et variation relative
Définition 6
Soit une grandeur ayant pour valeur initiale VI et pour valeur finale VF.
• La variation absolue ΔV est la différence entre VF et VI. On a ΔV=VF−VI.
• La variation relative (ou taux d'évolution) t est le quotient de la différence entre VF et VI par VI. On a t=VF−VI
VI . Exemples
• Un manteau est passé de 80€ à 100€. On a alors : ΔV=VF−VI=100−80=20 .
Le manteau a donc augmenté de 20€.
t=VF−VI
VI =100−80
80 =20
80=1
4=0 , 25 .
Le prix du manteau a donc subi une augmentation de 25%.
• Une association comptait 55 membres en 2015 et en a perdu 11 en 2016.
En 2016, il reste donc 55−11=44 membres dans l'association.
ΔV=VF−VI=44−55=−11 . L'association a perdu 11 membres (évident !).
t=VF−VI
VI =44−55
55 =−11 55=−1
5=−0, 2 .
L'association a donc perdu 20% de ses membres entre 2015 et 2016.
Définition 7
Pour obtenir un pourcentage d'évolution, il suffit de multiplier le taux d'évolution obtenu par 100.
Remarque
On donne très souvent les résultats en pourcentage.
II.2 Coefficient multiplicateur Propriété 8
Soit t le taux d'évolution qui permet à une quantité de passer de V à V .
Remarque
Dans certains livres, on trouvera CM=1+ t
100 . Le procédé est le même à la seule différence près qu'ici le nombre t correspond à une pourcentage et non une proportion.
Propriété 10
Dans le cas d'une augmentation, t est positif et CM est un réel supérieur à 1.
Dans le cas d'une baisse, t est négatif et CM est compris entre 0 et 1.
Remarque
On dit « baisse de 10% » ou « évolution de −10 % » mais pas « baisse de −10 % ».
Exemples
• Sur un compte à 2% d'intérêts, Marc a déposé 200€.
On a donc VI=200 et CM=1+ 2
100=1+0, 02=1, 02 . D'où VF=CM×VI=1 , 02×200=204 .
Il aura donc l'année prochaine 204€ sur son compte.
• Un manteau coûtant 80€ est soldé à 20%.
On a donc VI=80 et CM=1− 20
100=1−0 , 2=0 , 8 . D'où VF=CM×VI=0, 8×80=64 .
Le nouveau prix de ce manteau est donc 64€.
III. Évolutions successives et réciproques
III.1 Évolutions successives
Définition 11
Lorsqu'une quantité subit des évolutions successives t1, t2, …, tn de sa valeur, elle subit alors une évolution globale t .
Propriété 12
Le coefficient multiplicateur global CM associé à l'évolution t est le produit des coefficients multiplicateurs CM1 , CM2, …, CMn associés respectivement aux évolution t1, t2, …, tn. On a CM=CM1×CM2× …×CMn.
On peut visualiser cette situation sur le schéma suivant :
Remarque
Le taux global t n'est pas égal à t1+t2+…+tn ! Exemple
Un article a augmenté de 30% sur un mois, puis baissé de 20% le suivant. On a alors : CM=CM1×CM2=
(
1+10030)
×(
1−10020)
=(1+0 , 3)×(1−0 , 2)=1 , 3×0 , 8=1 ,04. D'où t=CM−1=1 , 04−1=0 , 04 .Au final, l'article a subi une augmentation globale de 4% sur l'ensemble des deux mois.
III.2 Évolution réciproque
Définition 13
Soit t le taux d'évolution d'une valeur passant de VI à VF. Alors son taux d'évolution réciproque t' est le taux permettant de passer de VF à VI.
Exemple
Un article coûte 50€. Une baisse de 20% fait passer le prix à 40€ (
(
1−10020)
×50=40). Il fautPropriété 14
Le coefficient multiplicateur global CM' associé à l'évolution réciproque t' est l'inverse du coefficient multiplicateur non nul CM associé à l'évolution de départ t. On a CM'= 1
CM . On peut visualiser cette situation sur le schéma suivant :
Exemple
Le nombre d'arbre d'une forêt a baissé de 20%. Soit t' le taux réciproque de cette évolution.
On a CM=1− 20
100=1−0 , 2=0 , 8 . D'où CM'= 1 CM= 1
0 , 8=1 , 25 . Le taux d'évolution réciproque est alors t'=CM'−1=1 , 25−1=0 , 25 .
Il faudrait donc augmenter le nombre d'arbre de 25% pour que la forêt retrouve sa « taille » initiale.
