Chapitre 1 Proportions

Chapitre 1 Proportions

Sommaire

1.1 Activités . . . . 1

1.2 Bilan et compléments . . . . 2

1.2.1 Proportion d’une sous-population dans une population . . . . 2

1.2.2 Union et intersection de sous-populations . . . . 3

1.2.3 Proportions échelonnées . . . . 3

1.1 Activités

A CTIVITÉ 1.1.

Le tableau ci-dessous recense les familles (en milliers) selon leur nombre d’enfants mineur en 2006.

1 enfant 2 enfants 3 enfants 4 enfants et plus 3 574,3 3 010,8 1 015,0 294,5

1. Montrer que le nombre total de familles concernées est 7 894,6 milliers.

2. (a) Parmi toutes ces familles, 3 574,3 milliers ont un enfant : leur proportion est ^3574,3 _7894,6 ≈ 0,452 8. Or 0,452 8 = ^45,28

100 . On traduit ce résultat en disant « 45,28 % des familles ont un enfant ».

Exprimer de même le pourcentage des familles pour chacune des trois autres catégories.

(b) Quelle est la somme de ces quatre proucentages ?

(c) Calculer le pourcentage des familles ayant aux moins deux enfants.

3. Parmi les 3 010,8 milliers de familles ayant deux enfants, 184,5 milliers ont des enfants de moins de trois ans. Calculer la proportion p de ces 184,5 milliers de familles parmi les 3 010,8 milliers de familles concernées et l’exprimer ensuite en pourcentage.

4. Le pourcentage des 3 574,3 milliers de familles ayant un enfant de moins de six ans est 73,16 %.

Le nombre N de ces familles vérifie donc l’égalité _3574,3 ^N = ^73,16

100 . Calculer N .

1

1.1 Activités

A CTIVITÉ 1.2.

Une infirmière scolaire a réalisé une enquête auprès de 80 lycéens : 44 ont déclaré fumer réguliè- rement, 24 ont déclaré boire de l’alcool régulièrement et 14 ont déclaré fumer et boire de l’alcool régulièrement. Le diagramme ci-dessous représente cette situation.

On note E l’ensemble des 80 lycéens, T l’ensemble des lycéens qui fument et A l’ensemble des lycéens qui consomment de l’alcool.

A T

14 30

10

E 1. Que représentent les nombres 30 et 10 ? Comment ont-ils été calculés ?

2. L’ensembe des lycéens qui consomment les deux produits est l’intersection des ensemble A et T , noté A ∩ T . Combien y a-t-il de l’ycéens dans cet ensemble ?

3. Déterminer le nombre de lycéens qui consomment au moins l’un des deux produits. L’en- semble de ces lycéens est la réunion des ensembles A et T , noté A ∪ T .

4. (a) Compléter le tableau.

A T A ∩ T A ∪ T

Effectif 44 24

Proportion par rapport à E

(b) Écrire une relation entre les effectifs de A, T , A ∩ T , A ∪ T .

(c) En déduire une relation entre les proportions de ces mêmes ensembles.

A ^CTIVITÉ 1.3.

Une enquête est effectuée sur les 3 600 clients d’un magasin. Elle montre que 40 % des clients pos- sédaient un bon de réduction. Par ailleurs, 80 % des clients munis d’un bon de réduction ont acheté un vêtement et 30 % des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.

1. Déterminer combien de clients ont un bon de réduction et combien n’en ont pas.

2. Calculer le nombre de personnes qui ont acheté un vêtement suivant qu’ils ont un bon ou pas.

3. Montrer que le produit 3 600 × 0,4 × 0,8 donne bien le nombre de clients munis d’un bon de réduction ayant acheté un vêtement.

4. (a) Le produit 3 600 × 0,4 × 0,8 donne un nombre de clients. Lequel ?

(b) Calculer le nombre de clients sans bon de réduction et qui ont acheté un vêtement.

2

Première STMG

1.2 Bilan et compléments

1.2 Bilan et compléments

1.2.1 Proportion d’une sous-population dans une population

Définition 1.1. Soit A une partie de E . Soit a le nombre d’éléments dans A et e le nombre d’élé- ments dans E .

La proportion des éléments de A dans E est le quotient défini par p = ^a

e .

Remarques.

• Comme a et e sont des entiers positifs, p = ^a

e > _...

• Comme A est une partie de E, alors a 6 e et p = ^a

e 6 _...

• Finalement une proportion p est toujours comprise entre . . . et . . . .

• On l’appelle parfois fréquence des éléments de A dans E.

• Une proportion p s’exprime parfois en pourcentage. Si par exemple p = 0,56 alors on peut écrire p = 0,56 = ^...

100 = ... %.

• Attention 0,56 = 56 % mais 56 6= 56 % ; en effet 56 = ^... ₁₀₀ = ... % !

• Quand on connaît deux nombres parmi a , e et p alors on peut connaître le troisième ; en effet p = ^a

e est équivalent à a = ... lui même équivalent à e = ...

Du dernier point on peut obtenir la propriété suivante :

Propriété 1.1. Soit A une partie de E .

Soit a le nombre d’éléments de A et e le nombre d’éléments de E . Si a représente p % de e alors a = e × ₁₀₀ ^p .

1.2.2 Union et intersection de sous-populations

Définition 1.2. Soit A et B deux parties d’un ensemble E.

• La réunion de A et de B est l’ensemble des éléments appartenant au moins à l’une des deux parties ; on la note A ∪ B (qui se lit « A union B »).

• L’intersection de A et de B est l’ensemble des éléments communs aux deux parties ; on la note A ∩ B (qui se lit « A inter B »).

e ∈ A ∪ B signifie e ∈ A ou e ∈ B .

A B

×

e

e ∈ A ∩ B signifie e ∈ A et e ∈ B

A B

×

e

Propriété 1.2. Soit p _A , p _B , p _A∩B et p _A∪B les proportions respectives de A, B , A ∩ B et A ∪ B dans E . Alors on a :

p A∪B = p A + p B − p A∩B

Remarque. Si A et B ’nont aucun élément en commun alors on dit qu’ils sont disjoints et dans ce cas p A∩B = 0.

David ROBERT

3

1.2 Bilan et compléments

1.2.3 Proportions échelonnées

Définition 1.3. Soit A, B et E des ensembles tels que A est une partie de B et B est une partie de E .

On dit alors que A est inclus dans B , lui-même inclus dans E. On écrit alors A ⊂ B et B ⊂ E , ou même A ⊂ B ⊂ E.

A ⊂ B signifie que tout élément de A est aussi un élément de B mais il peut y avoir des éléments de B qui ne sont pas dans A.

A B

Propriété 1.3. Soit A, B et E des ensembles tels que A ⊂ B ⊂ E .

Soit p ₁ la proportion d’éléments de A dans B et p ₂ la proportion d’éléments de B dans E . Alors, p, la proportion d’éléments de A dans E est telle que :

p = p ₁ × p ₂

4