Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

T STG-Lycée B.d.B

Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

^oct.2012

PROPORTIONS

• Calculer un pourcentage d’une quantité :

^{ex :}38% de 40 = 38%×40 = 0,38×40 = 15,2.

• Calculer une proportion d’un ensemble A dans un ensemble E : p = n

_A

n

_E

.

ex :26 personnes sur 200, cela fait une proportion de 26

200 = 13%.

• Savoir retrouver n

_E

connaissant p et n

_A

:

ex : 24 élèves sont malades, ce qui représente 86% de la classe.

Pour retrouver le nombre d’élèves de la classe :p= nA

n_E, soit 0,86 = 24

n_E, soitn_E= 24

0,86 ≃28 élèves.

• Proportions enchainées : Si p

₁

est la proportion de A dans B, et p

2

est la proportion de B dans E,

alors la proportion de A dans E est p = p

₁

× p

₂

.

ex : 13% des élèves sont des garçons, et 20% des garçons font du sport. La proportion des garçons qui font du sport parmi tous les élèves estp= 20% de 13% = 0,20×0,13 = 0,026 = 2,6%

.

INDICES

année 2007 2008 2009

valeur 40 36 46

indice 100 90 115

• y

1

et y

2

sont deux nombres positifs, l’indice de y

2

par rapport à y

1

est y

₂

y

₁

× 100.

y₁ y₂

100 y₂ y₁ ×100

• y

₁

est appelée la valeur de référence.

• Un indice de 115 indique une augmentation de 15% par rapport à la valeur de référence.

• Un indice de 90 indique une baisse de 10% par rapport à la valeur de référence.

•

ATTENTION : entre 2008 et 2009, iln’y a pasaugmentation de 115−90 = 25% ! Le taux d’évolution estt= 115−90

90 = 25

90 ≃28%.

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^oct.2012

EVOLUTIONS

• Faire la différence entre le taux d’évolution t et le coefficient multiplicateur 1 + t.

→ Pour une augmentation de 12%, t = +12% = 0, 12,

et on multiplie par 1 + 0, 12 = 1, 12.

→ Pour une baisse de 12%, t = − 12% = − 0, 12,

et on multiplie par 1 − 0, 12 = 0, 88.

V

_d

taux d’évolution t

V

_a

× (1 + t)

• Pour trouver V

_a

: on multiplie V

_d

par 1 + t.

• Pour trouver V

_d

: on divise V

_a

par 1 + t.

• Pour trouver le taux d’évolution :

t = V

_a

− V

_d

V

_d

ou 1 + t = V

_a

V

_d

.

• Pour n évolutions successives :

→ Le taux global t

_g

vérifie

1 + t

g

= (1 + t

1

)(1 + t

2

) × ... × (1 + t

n

).

→ Le taux moyen t

m

vérifie (1 + t

m

)

ⁿ

= 1 + t

g

Soit t

m

= (1 + t

g

)

^1/n

− 1

ex :Pour une baisse annuelle de 15%, le taux mensuel moyent_mvérifie : (1 +t_m)¹²= 1−0,15 = 0,85, soitt_m= (0,85)^1/12−1≃ −1,35%

Á la calculatrice, on tape :

0 . 8 5 ∧ ( 1 \ 1 2 ) - 1 =

V

d

−→

×(1+t1)

V

1

−→

×(1+t2)

V

2

... −→

×(1+tn)

V

a

× (1 + t

_g

)

V

_d

−→

×(1+tm)

V

₁

−→

×(1+tm)

V

₂

... −→

×(1+tm)

V

_a

× (1 + t

_g

)

t

_g

=taux global

t

m

=taux moyen