Proportions, pourcentages
Table des matières
I Notion de proportion 1
II Évolution d’une quantité 3
Activités préparatoires n
o1 et 2
Page 19
I Notion de proportion
Définition
On considère une partie A d’un ensemble E. On appelle proportion de A dans E le quotient du nombre d’éléments de A par le nombre d’éléments de E.
Exemple 1: Une classe de 32 élèves comporte 20 filles. Exprimer en pourcentage la proportion de filles dans la classe.
20 32=5
8=0, 625=62, 5%.
Dans la classe, la proportion de filles est de 62,5%.
Intersection et réunion de deux populations :
Définition
Soit E une population de référence et soient deux parties A et B de E.
On note A∩B l’intersection de A et de B, constituée des individus appartenant à la fois à A et à B
A∩B
E
A B
La proportion de A∩B par rapport à E,pA∩Best inférieure ou égale àpou àpB.
1
Cas particulier: A et B sont deux populations disjointes : l’intersection est alors vide etpA∩B=0.
A∩B
E
A
B
Exemple : le groupe des filles et celui des garçons dans une classe.
Définition
On note A∪B la réunion des de A et de B, c’est-à-dire la partie de E constituée des éléments de Aoude B.
Remarque: on apA∪B=pA+pB−pA∩B.
Définition : Proportions échelonnées
On considère trois ensembles de populations A, E et F. On suppose que A est inclus dans E et que E est inclus dans F.
On notepla proportion de A dans E etp′la proportion de E dans F.
Alors : la proportion de A dans F estP=p×p′. Explication :P=nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de F=nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de E×nombre d’éléments de E
nombre d’éléments de F=p×p′. Exemple 2:
Dans une classe, 1
3 des élèves font de l’allemand en seconde langue et il y a 40% de garçons dans la classe.
Quelle est proportion des garçons faisant de l’allemand par rapport à l’ensemble de la classe ? C’est : 1
3× 40 100=1
3×2 5= 2
15≈13, 33%.
Page 2/4
II Évolution d’une quantité
Il existe deux manières principales de caractériser l’évolution d’une quantité.
Définition
On considère la valeur initialeVi et la valeur finaleVf d’une quantité.
On appelle coefficient d’évolution de la quantité le nombre :c= Vf
Vi
.
Le coefficient d’évolution n’est rien d’autre que le coefficient multiplicateur permettant de passer de la quan- tité initiale à la quantité finale.
Exemple 3: Un disque coûtant 25eest baissé à 15e. Calculer le coefficient d’évolution de son prix.
Remarque : Le coefficient d’évolution est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une réduction.
Définition
On considère la valeur initialeVi et la valeur finaleVf d’une quantité.
On appelle taux d’évolution de la quantité le nombre :t=Vf −Vi
Vi .
Le taux d’évolution représente la variation de la quantité relativement à la quantité de départ.
Exemple 4.
Un disque coûtant 20eest baissé à 15e. Calculer le taux d’évolution de son prix.
t=15−20 25 = − 5
25= −1
5= −0, 2= −20% : le prix a baissé de 20%.
Remarque : Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une réduction.
Propriété
On a la relation suivante liant coefficient et taux d’évolution :c=1+t.
Démonstration : 1+t=1+
Vf −Vi Vi
= Vi+¡
Vf −Vi¢ Vi
= Vf Vi
=c.
Exercices d’application :
Exercice 1
Un lecteur DVD coûtant 100evoit son prix augmenter de 10% puis diminuer de 10%. Calculer le prix final.
Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse est :c1=1+ 10
100=1, 1.
Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse est :c2=1− 10 100 =0.9.
Le prix final est : 100×1, 1×0, 9=100×0, 99=99e. Exercice 2
Le prix d’un article subit une hausse de 30% puis une baisse de 25%. Calculer le taux d’évolution global.
Soittce taux final etcle coefficient d’évolution final : c=c1c2=(1+30%)×(1−25%)=1, 3×0, 75=0, 975.
Page 3/4
c=1+t=0, 975 donct=0, 975−1= −0, 025= −2, 5%.
Le taux dévolution global est de -2,5%.
Exercice 3 Un prix augmente de 4 % puis baisse de 4%. Quel est le taux d’évolution global ? Le coefficient d’évolution correspondant à la hausse de 4 % est :c1=1+ 4
100=1, 04.
Le coefficient d’évolution correspondant à la baisse de 4 % est :c2=1− 4
100 =0, 96.
Le coefficient d’évolution global est doncc=c1×c2=1, 04×0, 96=0, 9984.
Soittle taux dévolution global.
On a :c=1+tdopnct=1−c=1−0, 9984= −0, 0016= −0, 16%.
Globalement, le prix a subi une baisse de 0,16 %.
Taux d’évolution réciproque :
Définition
Soittun taux d’évolution, qui s’applique à une certaine valeur initiale. On appelle taux d’évolution réci- proque le tauxt′d’évolution qui permet de retrouver la valeur initiale.
Soientcetc′les coefficients d’évolution correspondants.
On a :c=1+tetc′=1+t′.
Le coefficient global d’évolution est le produit de ces coefficients. Si le prix est inchangé, ce coefficient global est 1.
Par conséquent :cc′=1, soit (1+t)(1+t′)=1.
On en déduit : 1+t′= 1
1+t d’oùt′= 1 1+t−1.
Exemple :Le prix d’un article subit une hausse de 60%. Calculer le taux d’évolution réciproque, permettant de revenir au prix initial.
Le taux correspondant à ma hausse de 60 % est t =60%, avec un coefficient d’évolution correspondant qui est : c =1+60%=1, 6. Soit t′ ce taux d’évolution réciproque. Le coefficient correspondant à la baisse est : c′=1−t.
Le coefficient global d’évolution estcc′. On doit avoir :cc′=1 donc 1, 6×(1+t′)=1.
On en déduit :+t′= 1
1, 6donct′= 1
1, 6−1= −0, 375= −37, 5%.
Le taux d’évolution réciproque est de -37,5%.
Page 4/4
