– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 %

(1)

Devoir Surveillé 1 T STG

5/10/09 . Pourcentages

Vrai ou faux (donner une justification rapide)

– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 %

– Si un indice passe de ¹¹⁵ à ¹²⁵ , cela indique une augmentation de ¹⁰ %.

– Si une grandeur augmente de 20 %, puis de 10 %, cela équivaut à une augmentations de 30 %.

– Pour deux augmentations successives de ^1,5 %, le taux global est d'environ ³ %.

Depuis sa création, le directeur d'un parc d'attraction calcule l'évolution, en pourcentage, du nombre de ses visiteurs d'une année à l'autre. ( voir tableau )

Année Evolution annuelle du nombre de visiteurs

1 -

2 + 4,4 %

3 + 6,4 %

4 + 7 %

5 + 10,3 %

6 + 13,6 %

1. Prouver que les 5 augmentations successives correspondent à un taux global d'environ 48,93 %.

2. Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de visiteurs de l'année 1 à 6 (arrondi à 0,01 % )

3. Le nombre de visiteurs de l'année 6 est de 13400. Utiliser le taux calculé précédemment pour prévoir le nombre de visiteurs la 7ème année, puis la 11ème année. ( arrondi à l'unité )

La population d'un département augmente chaque année de 0,9 %.

En janvier 2006, elle est de 650000 habitants.

1. Calculer cette population en janvier 2008. De combien d'habitants se "trompe-t-on" en remplaçant le taux réel par 2×0,9 % ?

2. Si l'augmentation avait été la même de 2005 à 2006, quelle aurait été la population au 1

^er

janvier 2005. Quelle erreur commet-on en utilisant – 0,9 % comme taux réciproque ?

Arrondir les calculs à l'unité.

Le P.I.B , ou produit intérieur brut, est ce que produit l'économie d'un pays. Le tableau ci-dessous indique le P.I.B de la France depuis 1997 en milliards d'euros

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

P.I.B 1217,6 1259,1 1299,5 1348,8 1377,1 1393,4 1399,9

Indice 100 a b c d e f

1. On choisit l'année 1997 comme année référence de ce P.I.B, compléter le tableau en indiquant chaque année l'indice du P.I.B de la France.

2. En déduire le pourcentage d'augmentation de ce P.I.B depuis 1997 à chacune des autres années.

Quel est le taux d'évolution moyen de 1997 à 2003 ?

3. Recalculer les indices si l'on prend l'année 2000 comme année de référence.

4. Certains économistes pensent qu'en 2010, l'indice du P.I.B sera 106,5 (référence en 2000). Quel serait le P.I.B de cette année-là ?

Arrondir les calculs à 0,1 près

2009© My Maths Space

1

3 2

4

(2)

Correction devoir n°1 Tstg

– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 % :

hausse de ¹⁰⁰ % ⇔ mult. par ^1100 % = ² et baisse de ⁵⁰ % ⇔ mult. par ¹ ^– ⁵⁰ % = ^0,5 et une multiplication par 0,5 compense une multiplication par 2 .

– Si un indice passe de 115 à 125 , cela indique une augmentation de 10 % : 125 – 115

115 = 10

115 ≈ 0,087 soit environ 8,7 %.

– Si une grandeur augmente de 20 %, puis de 10 %, cela équivaut à une augmentations de 30 %:

En raisonnant sur les coefficients multiplicateurs : 1,2×1,1 =1,32 d'où augmentation de 32 % – Pour deux augmentations successives de 1,5 %, le taux global est d'environ 3 %:

Deux augmentations successives de faibles taux peuvent être remplacées par la somme des taux. (cours)

Année Evolution annuelle du

nombre de visiteurs 1,044×1,064×1,07×1,103 ×1,136≈1,4893

ce qui correspond à un taux global d'environ 48,93 %. On appelle t

_m

le taux annuel moyen en nombre décimal:

1t

_m



⁵

=1,4893⇔ t

_m

=1,4893

^1/5

– 1≈ 0,0829 soit ^t

m

≈ 8,29 %.

Soit ⁿ

7

le nombre de visiteurs de l'année 7, on a : ⁿ

7

=1,0829× n

₆

donc ⁿ

7

=1,0829×13400≈14511 soit 14511 visiteurs.

De même n

₁₁

= 1,0829

¹¹^–6

×13400 ≈19955

Ainsi, en utilisant le taux annuel moyen, on prévoit 19955 visiteurs pour l'année 11.

1 2 + 4,4 %

3 + 6,4 %

4 + 7 %

5 + 10,3 %

6 + 13,6 %

La population d'un département chaque année + 0,9 %. En janvier 2006, elle est de 650000 habitants.

On appelle ^p

08

la population en janvier 2008 : p

₀₈

=1,009

²

×650000≈ 661753 soit 661753 habitants.

En utilisant le taux de 2×0,9 % = 1,8 %, on trouve : ^p

08

=1,018×650000=661700 soit une différence de 53 habitants. ( ce qui est peu par rapport à 650000 !)

p

₀₆

=1,009× p

₀₅

donc p

₀₅

= p

₀₆

1,009 = 650000

1,009 ≈644202 soit 644202 habitants. En utilisant le taux de – 0,9 %, on trouve : ^p

05

= p

₀₆

×0,991=650000× 0,991=644150 soit une différence de 52 habitants.

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

P.I.B 1217,6 1259,1 1299,5 1348,8 1377,1 1393,4 1399,9

Indice 100

a= 1259,1×100

1217,6 =103,4 b= 1299,5×100

1217,6 =106,7 110,8 113,1 114,4 115

Taux

évolution 103,4 – 100

100 = 3,4 % 6,7 % 10,8 % 13,1 % 14,4 % 15 %

2. ^t

m

taux d'évol. moyen de 97 à 03 en nombre décimal : 1t

m



⁶

=1,15 d'où t

m

=1,15

¹^/6

– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 %

Devoir Surveillé 1 T STG

5/10/09 . Pourcentages

Vrai ou faux (donner une justification rapide)

– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 %

– Si un indice passe de 115 à 125 , cela indique une augmentation de 10 %.

– Si une grandeur augmente de 20 %, puis de 10 %, cela équivaut à une augmentations de 30 %.

– Pour deux augmentations successives de 1,5 %, le taux global est d'environ 3 %.

Depuis sa création, le directeur d'un parc d'attraction calcule l'évolution, en pourcentage, du nombre de ses visiteurs d'une année à l'autre. ( voir tableau )

Année Evolution annuelle du nombre de visiteurs

1 -

2 + 4,4 %

3 + 6,4 %

4 + 7 %

5 + 10,3 %

6 + 13,6 %

1. Prouver que les 5 augmentations successives correspondent à un taux global d'environ 48,93 %.

2. Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de visiteurs de l'année 1 à 6 (arrondi à 0,01 % )

3. Le nombre de visiteurs de l'année 6 est de 13400. Utiliser le taux calculé précédemment pour prévoir le nombre de visiteurs la 7ème année, puis la 11ème année. ( arrondi à l'unité )

La population d'un département augmente chaque année de 0,9 %.

En janvier 2006, elle est de 650000 habitants.

1. Calculer cette population en janvier 2008. De combien d'habitants se "trompe-t-on" en remplaçant le taux réel par 2×0,9 % ?

2. Si l'augmentation avait été la même de 2005 à 2006, quelle aurait été la population au 1

janvier 2005. Quelle erreur commet-on en utilisant – 0,9 % comme taux réciproque ?

Arrondir les calculs à l'unité.

Le P.I.B , ou produit intérieur brut, est ce que produit l'économie d'un pays. Le tableau ci-dessous indique le P.I.B de la France depuis 1997 en milliards d'euros

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

P.I.B 1217,6 1259,1 1299,5 1348,8 1377,1 1393,4 1399,9

Indice 100 a b c d e f

1. On choisit l'année 1997 comme année référence de ce P.I.B, compléter le tableau en indiquant chaque année l'indice du P.I.B de la France.

2. En déduire le pourcentage d'augmentation de ce P.I.B depuis 1997 à chacune des autres années.

Quel est le taux d'évolution moyen de 1997 à 2003 ?

3. Recalculer les indices si l'on prend l'année 2000 comme année de référence.

4. Certains économistes pensent qu'en 2010, l'indice du P.I.B sera 106,5 (référence en 2000). Quel serait le P.I.B de cette année-là ?

Arrondir les calculs à 0,1 près

2009© My Maths Space

1

3 2

4

Correction devoir n°1 Tstg

– Une hausse de 100 % est effacée par une baisse de 50 % :

hausse de 100 % ⇔ mult. par 1100 % = 2 et baisse de 50 % ⇔ mult. par 1 – 50 % = 0,5 et une multiplication par 0,5 compense une multiplication par 2 .

– Si un indice passe de 115 à 125 , cela indique une augmentation de 10 % : 125 – 115

115 = 10

115 ≈ 0,087 soit environ 8,7 %.

– Si une grandeur augmente de 20 %, puis de 10 %, cela équivaut à une augmentations de 30 %:

En raisonnant sur les coefficients multiplicateurs : 1,2×1,1 =1,32 d'où augmentation de 32 % – Pour deux augmentations successives de 1,5 %, le taux global est d'environ 3 %:

Deux augmentations successives de faibles taux peuvent être remplacées par la somme des taux. (cours)

Année Evolution annuelle du

nombre de visiteurs 1,044×1,064×1,07×1,103 ×1,136≈1,4893

ce qui correspond à un taux global d'environ 48,93 %. On appelle t

le taux annuel moyen en nombre décimal:

1t



=1,4893⇔ t

=1,4893

– 1≈ 0,0829 soit t

≈ 8,29 %.

Soit n

le nombre de visiteurs de l'année 7, on a : n

=1,0829× n

donc n

=1,0829×13400≈14511 soit 14511 visiteurs.

De même n

= 1,0829

×13400 ≈19955

Ainsi, en utilisant le taux annuel moyen, on prévoit 19955 visiteurs pour l'année 11.

1

2 + 4,4 %

3 + 6,4 %

4 + 7 %

5 + 10,3 %

6 + 13,6 %

La population d'un département chaque année + 0,9 %. En janvier 2006, elle est de 650000 habitants.

On appelle p

la population en janvier 2008 : p

=1,009

×650000≈ 661753 soit 661753 habitants.

En utilisant le taux de 2×0,9 % = 1,8 %, on trouve : p

=1,018×650000=661700 soit une différence de 53 habitants. ( ce qui est peu par rapport à 650000 !)

– Si un indice passe de ¹¹⁵ à ¹²⁵ , cela indique une augmentation de ¹⁰ %.

– Pour deux augmentations successives de ^1,5 %, le taux global est d'environ ³ %.

hausse de ¹⁰⁰ % ⇔ mult. par ^1100 % = ² et baisse de ⁵⁰ % ⇔ mult. par ¹ ^– ⁵⁰ % = ^0,5 et une multiplication par 0,5 compense une multiplication par 2 .

– 1≈ 0,0829 soit ^t

Soit ⁿ

le nombre de visiteurs de l'année 7, on a : ⁿ

donc ⁿ

On appelle ^p

En utilisant le taux de 2×0,9 % = 1,8 %, on trouve : ^p

1,009 ≈644202 soit 644202 habitants. En utilisant le taux de – 0,9 %, on trouve : ^p

2. ^t