Chapitre 1 : Vocabulaire sur les ensembles, la logique et les applications

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Chapitre 1 : Vocabulaire sur les ensembles, la logique et les

applications

I Les ensembles

A) La notion d’appartenance

SoitE un ensemble, soitaun « objet ».

L’énoncé «aPE» signifie :aappartient àE.

La négation de cet énoncé s’écrit «aRE» ; autrement dit, l’énoncéaRE est équivalent à non(aPE).

Exemple :

‚ 2PN,2PC, 1,5RNsont vrais.

‚ 1,5PN,4RNsont faux.

B) Inclusion

Soient deux ensemblesEetF. L’énoncé «EĂF» se litEest inclus dansF et signifie : tout élément deE est élément deF.

Exemple : QĂR. Remarque :

‚ @E, EĂE

‚ L’équivalence suivante est toujours vraie :(EĂF et F ĂE) ðñ F =E.

C) Vocabulaire et notations

‚ H désigne l’unique ensemble qui n’a pas d’élément. On convient queH ĂEest vrai quel que soit E.

‚ ta, b, cu désigne l’ensemble dont les éléments sont exactement a, b, c. (remarque : t1,2,3u = t2,3,1u=t1,2,2,3u).

‚ Soit P une propriété définie sur un ensemble E. Pour tout x P E, P(x) est un énoncé (vrai ou faux).

Exemple :

P pourrait être la propriété « être pair », définie sur Z. Dans ce cas, P(6) est vrai ; P(´7) est fausse ; P(3.2)n’a pas de sens.

La notation txPE,P(x)udésigne l’ensemble des éléments de E qui ont la propriétéP.P(x) est un énoncé avec une variable librex.txPE,P(x)uest un ensemble avec une variable muettex.

D) Opérations sur les parties d’un ensemble

SoitEun ensemble. Une partie deE est un ensemble inclus dansE. On noteP(E)l’ensemble des parties deE. Ainsi, on a l’équivalence :APP(E) ðñ AĂE. On a aussi :H PP(E),EPP(E).

Exemple :

SoitE=ta, b, cuun ensemble à trois éléments. Alors :

P(E) =tH,tau,tbu,tcu,ta, bu,tb, cu,ta, cu,ta, b, cuu. (1.1) SoientAet B deux parties deE.

AYB =txPE,(xPAouxPB)u, (réunion) (1.2) AXB =txPE,(xPAetxPB)u, (intersection) (1.3) AzB =txPE,(xPAetxRB)u, (différence) (1.4)

E

A B

Sur le dessin :

‚ réunion :

‚ intersection :

‚ différence : Cas particulier :

SiB ĂA,AzB est le complémentaire deB dansA, noté C_AB

E) Produit cartésien

SoientE,F deux ensembles.EˆF est l’ensemble des couples(x, y)formés d’un élémentxdeEet d’un élémenty deF.

Rappel :

(x, y) = (x¹, y¹) ðñ x=x¹ ety=y¹ (1.5) De même, on peut définirEˆFˆGˆ. . ..EˆE est aussi notéE² (etEˆEˆ. . .ˆE

looooooooomooooooooon

nfois

est notéEⁿ).

II Logique

On y utilise :

‚ Des lettres de variables, de constantes, de propriétés, de relations…

‚ Des connecteurs et, ou, ùñ, ðñ.

CHAPITRE 1. VOCABULAIRE SUR LES ENSEMBLES… III. LES APPLICATIONS

‚ La négation non.

‚ Des quantificateurs @,D.

Pour l’utilisation, les règles, voir à l’usage.

Notons cependant :

‚ Si E désigne un ensemble,P une propriété définie surE,

˛ l’énoncé @x P E,P(x) signifie que quel que soit x de E, P(x), soit que tout élément de E vérifieP,

˛ l’énoncé DxPE,P(x)signifie qu’il existe un élément deE qui vérifieP. Exemple :

E=t1,3,5,4u,P =« être pair » ; alorsDxPE,P(x)est vrai.

‚ On a les équivalences suivantes (négation) :

non(@xPE,P(x)) ðñ DxPE,non(P(x)) (1.6) non(DxPE,P(x)) ðñ @xPE,non(P(x)) (1.7)

‚ Concernant « et » et « ou » :

@xPE,(P(x)etQ(x)) ðñ (@xPE,P(x))et(@xPE,Q(x)) (1.8)

@xPE,(P(x)ouQ(x)) ðù (@xPE,P(x))ou(@xPE,Q(x)) (1.9) DxPE,(P(x)etQ(x)) ùñ (DxPE,P(x))et (DxPE,Q(x)) (1.10) DxPE,(P(x)ouQ(x)) ðñ (DxPE,P(x))ou(DxPE,Q(x)) (1.11)

‚ Autres règles :A etB désignent deux énoncés quelconques.

non(Aet B) ðñ non(A)ou non(B) (1.12)

non(AouB) ðñ non(A)et non(B) (1.13)

non(A ùñ B) ðñ Aet non(B) (1.14)

Une simplification d’écriture :

@xPE,@x¹PE,(P(x)et P(x¹) ùñ x=x¹):il y a au plus un élément deE tel queP(x).

[DxPE,P(x)]et [@xPE,@x¹ PE,(P(x)etP(x¹) ùñ x=x¹)] : il existe un et un seulxPE tel queP(x): cet énoncé est notéD!xPE,P(x).

‚ Contraposée : soientAet B deux énoncés. On a l’équivalence :

(A ùñ B) ðñ (non(B) ùñ non(A)) (1.15)

III Les applications

E,F, Gdésignent ici des ensembles quelconques.

A) Généralités

La donnée d’une applicationf est la donnée

‚ D’un ensemble de départE.

‚ D’un ensemble d’arrivée F.

‚ Pour chaque élémentxdeE, d’un élément deF notéf(x)et appelé l’image dexpar l’application f.

On note : f:E ÝÑ F x ÞÝÑ f(x)

. Exemple :

‚ L’application : E ÝÑ F x ÞÝÑ x

est l’identité surE, notée IdE.

‚ R ÝÑ R+

x ÞÝÑ x²

, R´ ÝÑ R

x ÞÝÑ x²

, R ÝÑ R

x ÞÝÑ x² ,

R ÝÑR´

x ÞÝÑ x²

(l’ensemble d’arrivée ne convient pas), R+ ÝÑ R

x ÞÝÑ x² ,

R+ ÝÑ R

x² ÞÝÑ x

(mauvaise variable), R+ ÝÑ R+

x ÞÝÑ x² . Toutes ces applications sont des applications différentes.

On noteF(E, F)l’ensemble des applications deE dansF.

B) Composition

Définition :

Soientf:EÑF,g:F ÑG.g˝f désigne l’application deEdansGqui à tout élémentxdeEassocie g(f(x)). Ainsi, pour toutxdeE,(g˝f)(x) =g(f(x)).

Théorème :

la loi˝est une loi associative sur l’ensemble des fonctions deE dansE. Elle admet un élément neutre IdE, et elle n’est pas commutative en général.

Démonstration :

‚ ˝ constitue une loi surF(E, E):

Pour f PF(E, E),gPF(E, E),g˝f est bien défini.

‚ Associativité :

Soient f, g, htrois éléments de F(E, E). Montrons que f ˝(g˝h) = (f ˝g)˝h. Déjà, les deux applicationsf ˝(g˝h)et(f˝g)˝hsont bien deE dansE. SoitxPE. On a :

(f ˝(g˝h))(x) =f[(g˝h)(x)] =f(g(h(x))) (1.16) et

((f˝g)˝h)(x) = (f˝g)(h(x)) =f(g(h(x))) (1.17) C’est valable pour tout xdeE. donc les deux applications sont égales. C’est valable pour toutes applicationsf, g, hPF(E, E). Donc la loi˝ est associative.

Attention : écrire f˝[g(x)]n’a aucun sens. En effet, la loi˝ prend comme arguments deux appli- cations, et ici g(x)est un élément deE.

‚ Elément neutre :

Pour tout f PF(E, E),f ˝IdE =IdE˝f =f. En effet : déjà,f,IdE˝f, f˝IdEPF(E, E). Pour tout xdeE, on a :

(f ˝IdE)(x) =f(IdE(x)) =f(x) (1.18)

CHAPITRE 1. VOCABULAIRE SUR LES ENSEMBLES… III. LES APPLICATIONS

et

(IdE˝f)(x) =IdE(f(x)) =f(x) carf(x)PE (1.19)

‚ Non commutativité : dès queEa au moins trois éléments. En effet, supposons queEa au moins trois éléments. Notonsa,b,ctrois éléments distincts deE. Soient alors deux applicationsf, gPF(E, E) définies par :

$

’’

&

’’

%

f(a) =b f(b) =a

@xPEzta, bu, f(x) =x ,

$

’’

&

’’

%

g(a) =c g(c) =a

@xPEzta, cu, g(x) =x

. (1.20)

Alors

(g˝f)(a) =g(f(a)) =g(b) =b (1.21)

(f˝g)(a) =f(g(a)) =f(c) =c (1.22)

Généralisation :

On a associativité « en général » de la loi˝ : pour tousf PF(E, F),gPF(F, G),hPF(G, H), on a : h˝(g˝f) = (h˝g)˝f, qu’on note aussih˝g˝f.

Démonstration :

Les deux applicationsh˝(g˝f)et(h˝g)˝f sont bien des éléments deF(E, H). Ensuite, on procède comme pour montrer l’associativité dansF(E, E).

C) Injectivité, surjectivité

Soitf:EÑF.

‚ On dit quef est injective lorsque@xPE,@x¹PE,(f(x) =f(x¹) ùñ x=x¹).

Autrement dit, si deux éléments deE ont la même image parf, alors ils sont égaux.

Ou encore : deux éléments distincts deEon toujours des images distinctes (c’est la contraposée de l’énoncé précédent).

‚ On dit quef est surjective lorsque @yPF,DxPE,(y=f(x)).

C’est-à-dire que tout élément deF est l’image d’un élément deE.

‚ On dit quef est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.

Exemple :

‚ En dessins :

E

F

x x

x xx x x x

x

x x x

E

F

x x

x xx x

x x x x

x

x

Injective non surjective Surjective non injective

E

F

x x

x x x x x

x

E

F

x x xx x

x x x x

x

x x

Bijective Ni injective ni surjective

‚ f: R ÝÑ R x ÞÝÑ x²

n’est ni injective ni surjective :f(´1) =f(1)et non(DxPR, x²=´4).

g:R ÝÑ R+

x ÞÝÑ x²

est surjective, non injective.

h:R+ ÝÑ R x ÞÝÑ x²

est injective non surjective.

φ:R+ ÝÑ R+

x ÞÝÑ x²

est bijective.

‚ On note H l’humanité, M l’ensemble des mères, A l’ensemble des aînés. H ÝÑ H

x ÞÝÑ mère de x n’est ni injective ni surjective.

M ÝÑ H

x ÞÝÑ enfant dex

ne peut pas être définie, car xpeut avoir plusieurs enfants.

H ÝÑ M x ÞÝÑ mère dex

est surjective non injective.

M ÝÑ H x ÞÝÑ ainé dex

est injective non surjective.

M ÝÑ A x ÞÝÑ ainé dex

est bijective.

Définition (Antécédent éventuel) :

Soitf:EÑF. Soit yPF. Un antécédent de y est un élémentxdeE tel quey =f(x). Attention, il n’y a en général ni existence ni unicité.

Proposition :

f est injective si et seulement si tout élément deF a au plus un antécédent.

f est surjective si et seulement si tout élément deF a au moins un antécédent.

f est bijective si et seulement si tout élément deF a exactement un antécédent.

Démonstration :

‚ Pour l’injectivité :

ùñ : supposons f injective. Supposons que y élément deF a un antécédent x. Soit x¹ un autre antécédent. On a alors y=f(x)ety =f(x¹). Donc f(x) =f(x¹). Commef est injective, x=x¹. Donc siy admet un antécédent, il n’en admet qu’un seul. ðù : supposons f non injective. Alors il existe x, x¹ P E tels que f(x) =f(x¹) et x‰x¹. Alors, en notanty =f(x)(= f(x¹)), y admet

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deux antécédents distinctsxet x¹. Donc non(tout élément de F a au plus un antécédent). (On a montré la contraposée).

‚ Pour la surjectivité, il suffit de traduire les deux côtés de l’équivalence pour voir qu’on écrit exac- tement la même chose.

‚ Pour la bijectivité, on utilise les deux résultats précédents.

Proposition :

La composée de deux injections est une injection. Il en est de même pour la composée de deux surjections ou de deux bijections.

Démonstration :

Soientf:EÑF,g:F ÑG.

‚ Supposonsf etginjectives. Montrons queg˝f l’est aussi. (c’est-à-dire que@x, x¹PE,((g˝f)(x) = (g˝f)(x¹) ùñ x=x¹)). Soientx, x¹PE. Supposons que(g˝f)(x) = (g˝f)(x¹), et montrons que x=x¹.

On a :(g˝f)(x) = (g˝f)(x¹), soitg(f(x)) =g(f(x¹)). Commegest injective, on a alorsf(x) =f(x¹).

Commef est injective, on a doncx=x¹.

‚ Supposonsf et g surjectives. Montrons queg˝f l’est aussi. (c’est-à-dire que@yPG,DxPE, y= (g˝f)(x)).

Soit yPG. Comme g est surjective, il existex¹ PF tel quey =g(x¹). Comme f est surjective, il existexPE tel quex¹=f(x). Ainsi,y=g(x¹) =g(f(x)) = (g˝f)(x)

D) Réciproque d’une bijection

Soitf:E ÑF une application bijective. On peut introduire l’application deF dans E qui à tout élément de F associe son unique antécédent par f dansE. Cette application s’appelle la réciproque de f, notéef^´1.

f^´1:F ÝÑ E

x ÞÝÑ l’unique élémenty deE tel quef(y) =x

(1.23) On a@xPF,@yPE,(y=f^´1(x) ùñ x=f(y)).

Proposition :

Soitf: EÑF bijective. Alorsf ˝f^´1=IdF etf^´1˝f =IdE. Démonstration :

‚ f ˝f^´1 est bien défini et va deF dansF.

SoitxPF. Alors(f˝f^´1)(x) =f(f^´1(x)) =x(carf^´1(x)est l’antécédent de xparf).

‚ f^´1˝f est bien défini et va deE dansE.

SoitxPE. Alors(f^´1˝f)(x) =f^´1(f(x)) =x(carxest l’antécédent def(x)parf^´1).

Théorème (inversible ùñ bijectif) :

Soit f:E Ñ F. S’il existe g:F Ñ E telle que g˝f = IdE et f ˝g = IdF, alors f est bijective et f^´1=g.

Démonstration :

Soitf:EÑF. Supposons qu’il existe g:F ÑE telle queg˝f =IdE etf˝g=IdF.

‚ Alorsf est injective :

Soient x, x¹ PE, supposons quef(x) = f(x¹). Alors g(f(x)) =g(f(x¹)), soitg˝f(x) =g˝f(x¹).

Ainsi,x=x¹.

‚ Etf est surjective :

SoityPF. Alorsy= (f˝g)(y) =f(g(y)). Doncy a un antécédent parf, à savoirg(y), et ce quel que soity. Doncf est surjective.

‚ Doncf est bijective.

‚ Montrons que f^´1=g. On a :g=g˝IdF =g˝(f˝f^´1) = (g˝f)˝f^´1=IdE˝f^´1=f^´1. Corollaire :

sif est bijective,f^´1 l’est aussi et(f^´1)^´1=f

E) Image directe, image réciproque

Définition : Soitf:EÑF.

‚ Soit A une partie de E. On appelle image directe deA parf, et on note fˆ(A) l’ensemble des images parf des éléments deA, c’est-à-dire :f(A) =ˆ tyPF,DxPA, y=f(x)u=tf(x), xPAu.

‚ SoitB une partie deF. On appelle image réciproque deB parf et on notefˇ(B)l’ensemble des éléments deE dont l’image est dansB, c’est-à-dire :fˇ(B) =txPE, f(x)PBu.

Cas particulier :

L’image directe parf deEest l’ensemble image def, noté Im(f). Soitf:EÑF. Alors, f˜:E ÝÑ Im(F) x ÞÝÑ f(x) est évidemment surjective.

Visualisation :

x x x

x x x x x

xx x

x x x

E F

fˆ(A)

B

fˆ( ˇf(B)) fˇ(B)

fˇ( ˆf(A))

A

Proposition :

Si f:EÑF est bijective, alors pour toute partieB deF,fˇ(B) =fy^´1(B).

CHAPITRE 1. VOCABULAIRE SUR LES ENSEMBLES… III. LES APPLICATIONS

Démonstration :

‚ Montrons que fy^´1(B)Ăfˇ(B).

SoitxPfy^´1(B). Montrons quexPfˇ(B)(c’est-à-dire quef(x)PB). On axPE carfy^´1(B)ĂE, et il existe y PB tel que x=f^´1(y)par définition de fy^´1(B). Donc f(x) =f(f^´1(y)) = y. Or, yPB. Doncf(x)PB. DoncxPfˇ(B), d’où la première inclusion.

‚ Montrons que f(B)ˇ Ăfy^´1(B).

SoitxPf(B). On a :ˇ f(x)PB, etx=f^´1(f(x)) =f^´1(y)avecy=f(x)PB. DoncxPfy^´1(B).

D’où l’autre inclusion et l’égalité.

Corollaire :

Soit f:E Ñ F, bijective, et A une partie de E. Alors fˆ(A) = f}^´1(A). En effet, il suffit d’appliquer l’égalité précédente avecf^´1 qui est aussi une bijection deF dansE :fy^´1(A) =f}^´1´1(A), c’est-à-dire fy^´1(A) = ˇf(A).

Conséquence :

Pour une application f quelconque de E dans F, on peut noter f(A) pour fˆ(A) (c’est la nature de AĂE qui permet de distinguer l’image directe) etf^´1(B)pourfˇ(B)lorsqueB ĂF. (attention, le ^´1 ne signifie pas pour autant quef est bijective !).