Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 5 (09/11 – 13/11) NB : N’oubliez pas d’organiser le rattrapage des colles du mercredi 11 novembre.
Chapitre 6 : Rationnels et réels
NB : Nous n’aborderons les exercices sur les inégalités classiques (CS, IAG) que lundi. Les exercices de topologie seront vus plus tard dans la semaine.
1. Un mot sur NetZ
‚ Définition intuitive deNpar itération (successeur/prédécesseur)
‚ Équivalence entre l’axiome de récurrence, et la propriété de minimalité imposée dans la construction précé- dente (démonstration non exigible)
‚ Propriété fondamentale de N. Équivalence avec l’axiome de récurrence. Démonstration à BIEN connaître, dans les deux sens.
‚ Définition de `et ˆà partir du successeur. Propriétés usuelles.
‚ Définition deď. Ordre total.
‚ Propriétés usuelles deďrelativement à la somme et au produit.
‚ (HP) Construction de Z par quotient, lois, inégalité. La construction a été faite en TD, mais n’est pas exigible.
2. DeQ à R
‚ (HP) Rapide idée de la construction de Qpar quotient deZˆZ˚.
‚ Définition de`et ˆpar quotient (à reprendre des exemples développés dans le chapitre précédent). Pro- priétés usuelles.
‚ Signe, relation d’ordre dansQ. L’ordre est total.
‚ Existence de nombres irrationnels : ?
2 (démonstration à revoir du chapitre 1), et plus généralement ? n lorsquenn’est pas un carré.
‚ Notion de nombres incommensurables.
‚ Non existence systématique des bornes supérieures d’ensembles non vides majorés dansQ
‚ (HP) Idée de la construction de R par « ajout » de ces bornes supérieures. Aucune formalisation n’est exigible. Ce point ne peut pas faire l’objet d’une question de cours. Une construction possible allant dans ce sens a été vue en TD.
‚ Propriété fondamentale deR(admis comme axiome de la construction deR).
‚ Propriété de la borne inférieure.
3. Les nombres réels
Onadmetqu’on peut prolonger à Rles opérations et la relation d’ordre.
‚ Rappels sur les opérations et les inégalités.
˚ Rappels sur les manipulations d’inégalités dansR(sommes, différences, produits...). Pas de preuve don- née, les lois n’ayant pas été construites précisément.
˚ Majorer, minorer : 4 pistes : factoriser ; étudier une fonction ; utiliser une propriété de convexité, intro- duite de façon purement intuitive ; utiliser une inégalité classique ci-dessous.
˚ Valeur absolue, partie positive, partie négative. Notations |x|, x`,x´.
˚ Positivité dex`, x´. Expression dexet |x| à l’aide dex` et x´.
˚ Inégalités triangulaires pourp¨q`,p¨q´ et| ¨ |.
˚ Inégalité de Cauchy-Schwarz numérique. Cas d’égalité.
˚ (HP) Inégalité arithmético-géométrique (démonstration de Cauchy par récurrence à trous).
‚ Division euclidienne
˚ Propriété d’Archimède.
˚ Existence d’un rationnel rtel querxăy. Inversibilité des éléments non nuls.
˚ Encadrement obtenu avec Archimède + minimalité ; Unicité.
˚ Division euclidienne.
˚ Définition de la densité. Densité deQetRzQdansR.
˚ Partie entière et partie décimale : caractérisations diverses de la partie entière (définitions équivalentes) ; propriétés de la partie entière (somme, produit...). Notation utilisée :txu(partie entière) et txu(partie décimale). Partie entière par excès, notationrxs.
‚ (HP) Nombres transcendants, existence (par cardinalité). Démonstration non exigible.
‚ Représentation décimale
˚ Approximation décimale à 10´n par défaut, par excès.
˚ Existence du développement décimal. Unicité du développement décimal propre.
˚ (HP) Caractérisation des rationnels par leur développement décimal. Démonstration non exigible.
NB : Uniquement le cours pour le paragraphe qui suit : 4. Intervalles et topologie
‚ Notion de convexité d’un sous-ensemble deRn
‚ Définition d’un intervalle par convexité.
‚ Théorème : inventaire des intervalles deR
‚ Intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts.
‚ Introduction à la topologie deRet plus généralement deRn :
˚ Boules, voisinages, ouverts, fermés
˚ Union et intersection d’ouverts et de fermés.
5. Droite réelle achevée
‚ Définition, prolongement de la relation d’ordre.
‚ Règles calculatoires dansR.
‚ Formes indéterminées.
‚ Description des intervalles deR.
Chapitre 7 : Nombres complexes
NB : Cette semaine, uniquement le cours, ou des exercices de révision sur les formules de trigonométrie 1. Définition et manipulations algébriques
‚ Définition, commeR2 muni des lois idoines.
‚ Définition dei. Propriétéi2“ ´1.
‚ Identification du réelxàpx,0q. Écriture sous la formez“a`ib. Partie réelle, Partie imaginaire.
‚ Inversibilité et expression algébrique dez´1.
‚ Propriétés de d’addition et de la multiplication (associativité, distributivités etc., vérifications non exigibles) La notion de corps a été évoquée, mais de façon vague pour le moment.
‚ Notion d’affixe.
‚ Conjugué d’un nombre complexe. Propriétés de la conjugaison. Expression de la partie réelle et de la partie imaginaire à l’aide du conjugué.
‚ Module, rapport avec la norme euclidienne canonique deR2. Propriétés du module (multiplicativité, majo- ration deRepzqetImpzq, inégalité triangulaire...)
‚ |z|2“zz.
‚ Expression algébrique d’un quotient.
2. Trigonométrie et exponentielle complexe
‚ Cercle trigonométrique, fonctions trigonométriques (sin,cos,tan,cotan).
‚ Domaines de définition des fonctions trigonométriques, et symétries. Valeurs particulières.
‚ Identitésin2pxq `cos2pxq “1.
‚ Formules de trigonométrie.
˚ Formules d’addition pour sin,cos, tan(non redémontré ; une démonstration géométrique a été évoquée très rapidement, mais n’est pas exigible)
˚ Formules de duplication des angles
˚ Formules de linéarisation des carrés (Carnot)
˚ Formules de transformation de produit en somme
˚ Formules de factorisation (Simpson)
˚ Formules de l’arc moitié
˚ Formule de factorisation deacospxq `bsinpxq, a‰0.
