Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 1 (28/09 – 02/10) Note aux élèves relatif aux attendus concernant l’apprentissage du cours
‚ Il a été demandé aux colleurs de poser des questions de cours, systématiquement lors des premières semaines, plus occasionnellement par la suite. Tout point non marqué hors-programme (HP) indiqué dans le programme de colle peut faire l’objet d’une question de cours, sauf mention explicite du contraire. Il est bien sûr indispen- sable de connaître parfaitement les définitions et les énoncés des résultats, mais également de savoir refaire les démonstrations.
‚ Connaître une définition signifie être capable de donner de façon très précise et rigoureuse toutes les conditions à avoir pour définir un objet.
‚ Connaître un résultat signifie être capable d’associer un résultat précis à un nom de théorème, d’être capable de donner de façon précise et exhaustive toutes les hypothèses, et de savoir exprimer de façon rigoureuse et exacte la conclusion. Il est aussi conseillé d’avoir une idée de ce qu’il se passe lorsqu’on supprime certaines des hypothèses.
‚ Connaître une démonstration signifie la comprendre et savoir retrouver la démarche (les grandes lignes). Les dé- tails doivent pouvoir être retrouvés, ce qui ne nécessite pas toujours une mémorisation complète, mais seulement une bonne compréhension. Un apprentissage par coeur des démonstrations est peu efficace et déconseillé.
‚ Pour des démonstrations un peu complexes, il peut vous être demandé de donner les grandes lignes de la preuve : on attend qlors que vous sachiez faire une synthèse de la preuve, seule façon d’assurer une bonne vue d’ensemble d’une preuve un peu longue. Il peut vous être demandé ensuite de développer un passage en particulier.
‚ Les résultats hors-programme (de Sup) sont repérés sur le programme de colle par un HP. Certains sont au programme de Spé, d’autres non. La connaissance de ces résultats n’est pas prioritaire. Une connaissance im- parfaite de ces points n’est pas sanctionnable. Il est indispendable d’avoir dans un premier temps bien assimilé les résultats au programme. Cependant, les meilleurs élèves auront tout intérêt à profiter au maximum de ce hors-programme.
Chapitre 1 : Logique et raisonnements
1. Rudiments de logique
‚ Définition intuitive d’une formule propositionnelle : on est resté assez vague. Pas de construction formelle.
‚ Notion de distribution de valeurs de vérité, table de vérité. Définition sémantique des connecteurs par leur table de vérité.
‚ Digression sur le symboleùñ, et sur la différence entre «ùñ» et « donc ».
‚ Conditions nécessaires / Conditions suffisantes.
‚ Tautologies, formules équivalentes.
‚ Règles d’associativité, commutativité, distributivité, double-implication, modus ponens...
‚ Quantificateurs, introduits de façon intuitive aussi. Pas de construction formelle des formules atomiques et des prédicats.
‚ Problèmes d’interversion de quantificateurs
‚ Négations (lois de De Morgan, et autres) 2. Raisonnements et principes de rédaction
‚ Composition d’un texte mathématique
‚ Comment construire une démonstration en s’appuyant sur la structure logique de la propriété à démontrer : prouverAùñB, prouverA_B ùñB, prouverAðñB, prouverA^B, prouverA_B, prouver @xA, prouverDxA.
Il est indispensable de savoir s’appuyer sur la structure logique du résultat à montrer pour construire rigoureusement sa démonstration (savoir quoi poser, quoi supposer...)
‚ Modus ponens et utilisation de la transitivité deùñ
‚ Contraposée, absurde.
‚ Disjonction de cas
‚ Analyse / Synthèse
‚ Récurrence simple
‚ Récurrence d’ordrek
‚ Récurrence forte.
‚ Équivalence entre les 3 principes de récurrence.
‚ (HP) Principe de la descente infinie
Chapitre 2 : Ensembles
1. Théorie intuitive des ensembles
‚ Notion intuitive d’ensemble
‚ Définition par énumération, par compréhension.
‚ Principe de double-inclusion.
‚ Sous-ensembles, ensemble vide, singleton.
‚ Notion intuitive de cardinal d’un ensemble fini (pas de formalisation pour le moment)
‚ EnsemblePpEqdes parties deE.
‚ Constructions ensemblistes (union, intersection, complémentation, différence symétrique) et propriétés as- sociées (associativité, commutativité, distributivité, lois de De Morgan...).
‚ Unions et intersections d’un nombre quelconque d’ensembles. Notationď
iPI
Ai,č
iPI
Ai. Propriétés.
‚ Partition d’un ensemble
‚ Produit cartésien
‚ Fonctions indicatrices, propriétés (intersection, union...).
‚ (HP) Associativité de la différence symétrique.
2. Axiomatisation
‚ Paradoxe de Russell et autres.
‚ (HP) Un aperçu très rapide des axiomes de Zermelo-Fraenkel (ils ne sont pas à connaître)
‚ (HP) Axiome du choix.
Chapitre 3 : Applications
1. Qu’est-ce qu’une application
‚ Définition intuitive, définition par le graphe. EnsembleFE.
‚ Exemples importants : familles, suites.
‚ Composition.
‚ Restriction, corestriction, prolongement.
2. Images directes, images réciproques
‚ Images directes, images réciproques. Notion d’antécédent. Application image directe, application image réciproque.
‚ Images directes et réciproques d’unions et intersections.
3. Injectivité, surjectivité, bijectivité
‚ Définitions.
‚ Permutations d’un ensemble. NotationSpEq, cas deSn.
‚ Partition deEassociée à une surjectionf :E ÑF.
‚ Composées d’injection, bijection, surjection
‚ Propriétés def etg lorsqueg˝f est injective ou surjective.
‚ Caractérisation de la bijectivité par existence d’une réciproque. Notationf´1.
‚ (HP) Caractérisation de l’injectivité et la surjectivité par inversibilité à gauche ou à droite
4. Cardinalité
‚ Notion général de cardinal (ensembles de même cardinal)
‚ Notion d’ensemble fini. Cardinal d’un ensemble fini.
‚ Un sous-ensemble d’un ensemble fini est fini.
‚ Pour les ensembles finis : cardinal d’une union disjointe, d’un complémentaire, d’un sous-ensemble (avec cas d’égalité), d’une union quelconqueAYB, d’un produit cartésien, de l’ensemble des applications deAdans B, dePpAq.
‚ Pour les ensembles finis : Inégalités entre les cardinaux de E dans F en cas d’existence d’une injection, surjection ou bijection entre les 2.
‚ Pour les ensembles finis : caractérisation de la bijectivité par l’injectivité ou la surjectivité en cas d’égalité des cardinaux.
‚ (HP) Formule du crible (démontrée par récurrence).
‚ (HP) Notion de dénombrabilité (= infinie dénombrabilité suivant les auteurs). Ensembles au plus dénom- brables. Dénombrabilité deNˆN.
‚ (HP) Tout sous-ensemble deNest fini ou dénombrable.
‚ (HP) Caractérisation de l’au plus dénombrabilité par l’existence d’une injectionEÑN, ou d’une surjection NÑE, ou d’une bijection sur une partie deN.
‚ (HP) Union dénombrable d’ensembles dénombrables, produit cartésien.
‚ (HP) Exemples : Q,ZrXs, nombres algébriques.Rn’est pas dénombrable. Existence de nombres transcen- dants.
‚ (HP) Théorème de Cantor (comparaison des cardinaux deX etPpXq).
