Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 2 (05/10 – 09/10)
Chapitre 3 : Applications
1. Qu’est-ce qu’une application
‚ Définition intuitive, définition par le graphe. EnsembleFE.
‚ Exemples importants : familles, suites.
‚ Composition.
‚ Restriction, corestriction, prolongement.
2. Images directes, images réciproques
‚ Images directes, images réciproques. Notion d’antécédent. Application image directe, application image réciproque.
‚ Images directes et réciproques d’unions et intersections.
3. Injectivité, surjectivité, bijectivité
‚ Définitions.
‚ Permutations d’un ensemble. NotationSpEq, cas deSn.
‚ Partition deEassociée à une surjectionf :E ÑF.
‚ Composées d’injection, bijection, surjection
‚ Propriétés def etg lorsqueg˝f est injective ou surjective.
‚ Caractérisation de la bijectivité par existence d’une réciproque. Notationf´1.
‚ (HP) Caractérisation de l’injectivité et la surjectivité par inversibilité à gauche ou à droite 4. Cardinalité
‚ Notion général de cardinal (ensembles de même cardinal)
‚ Notion d’ensemble fini. Cardinal d’un ensemble fini.
‚ Un sous-ensemble d’un ensemble fini est fini.
‚ Pour les ensembles finis : cardinal d’une union disjointe, d’un complémentaire, d’un sous-ensemble (avec cas d’égalité), d’une union quelconqueAYB, d’un produit cartésien, de l’ensemble des applications deAdans B, dePpAq.
‚ Pour les ensembles finis : Inégalités entre les cardinaux de E dans F en cas d’existence d’une injection, surjection ou bijection entre les 2.
‚ Pour les ensembles finis : caractérisation de la bijectivité par l’injectivité ou la surjectivité en cas d’égalité des cardinaux.
‚ (HP) Formule du crible (démontrée par récurrence).
‚ (HP) Notion de dénombrabilité (= infinie dénombrabilité suivant les auteurs). Ensembles au plus dénom- brables. Dénombrabilité deNˆN.
‚ (HP) Tout sous-ensemble deNest fini ou dénombrable.
‚ (HP) Caractérisation de l’au plus dénombrabilité par l’existence d’une injectionEÑN, ou d’une surjection NÑE, ou d’une bijection sur une partie deN.
‚ (HP) Union dénombrable d’ensembles dénombrables, produit cartésien.
‚ (HP) Exemples : Q,ZrXs, nombres algébriques.Rn’est pas dénombrable. Existence de nombres transcen- dants.
‚ (HP) Théorème de Cantor (comparaison des cardinaux deX etPpXq).
Chapitre 4 : Sommes
1. Manipulation des signesř etś
‚ Définition intuitive des signeř etś
sur un ensemble d’indices quelconque, lorsque la somme et le produit sont associatifs et commutatifs (l’associativité et la commutativité généralisées sont admises intuitivement pour l’instant, pour justifier l’indépendance vis-à-vis de l’ordre de sommation).
‚ Cas de la somme et du produit sur un ensemble d’entiers consécutifs ; notation.
‚ Somme vide, produit vide.
‚ Changement d’indice. Cas d’une translation sur des indices entiers.
‚ Additivité par rapport aux bornes.
‚ ÿ
iPI\J
ai“ÿ
iPI
ai`ÿ
iPJ
ai (I etJ disjoints)
‚ Sommation par groupements de termes (somme sur une partition à parts éventuellement vides)
‚ Linéarité du symboleř .
‚ Somme de termes constants
‚ Sommes télescopiques. Calcul d’une somme télescopique.
‚ Sommes multiples, coupes d’un sous-ensemble deIˆJ, interversion de signesř
sur un sous-ensemble de IˆJ
‚ Cas particuliers importants : somme sur un pavé, somme sur un triangle.
‚ Produit de deux sommes.
‚ Distibutivité généralisée 2. Sommes classiques
‚ Sommes de puissances d’entiersSppnq “
n
ÿ
i“0
ip. Formules pourp“0,1,2,3à connaître. Méthode de calcul de proche en proche à connaître. Illustration géométrique des casn“1 etn“3.
‚ Somme des entiers impairs consécutifs. Illustration géométrique.
‚ Sommes géométriques.
‚ Factorisations dean´bn etan`bn (Bernoulli).
‚ Coefficients binomiaux (aspect algébrique, pas de combinatoire). Symétrie, comité-président, Pascal. Triangle de Pascal.
‚ Formule du binôme de Newton.
