Les Aumettes, le 24.6.1991 Cher Monsieur,

Les Aumettes, le 24.6.1991 Cher Monsieur,

Excusez-moi d’avoir mis si longtemps ` a r´ eagir ` a votre longue et sympathique lettre (du 25 mai), ayant ´ et´ e tr` es accapar´ e par des tˆ aches et pr´ eoccupations extra-scientifiques. Cela n’a pas empˆ ech´ e que j’ai ´ et´ e sensible au souffle d’un enthousiasme et ` a la facult´ e d’´ emerveillement qui transparaissait derri` ere les explications ± techniques. Je dois vous avouer que vu ma tr` es grande ignorance en physique, ces explications m’ont pass´ e totalement par dessus la tˆ ete. Aussi j’ai bien peur que ma r´ eponse vous laissera sur votre faim. Visiblement, il faut des yeux totalement neufs, et un flair consomm´ e pour l’“invention” (en fait, la d´ ecouverte) de structures math´ ematiques (au service d’intuitions ` a la fois physiques et philosophiques) pour d´ egager les notions de base et forger les outils conceptuels d’une physique nouvelle. Avez-vous ces grands dons, et la foi en votre

“voix int´ erieure”, pour d´ emarrer ` a neuf, ` a contre-courant de toutes les id´ ees re¸ cues, pour une œuvre de r´ enovation plus radicale encore, peut-ˆ etre, que celles qui furent accomplies par Einstein et par Schr¨ odinger?

Avez-vous le courage pour faire un tel pari – voil` a la question! Sans autre guide que votre bon sens d’enfant, et votre flair, pour un long voyage sans perspective de compagnons de route... Pour que je puisse ˆ etre d’un r´ eel secours pour un tel voyage dans l’inconnu, il y faudrait d’une part un investissement que je ne suis plus dispos´ e ` a fournir – ne serait-ce que pour me mettre au courant dans les grandes lignes au moins des bases conceptuelles de la physique th´ eorique actuelle, de ses coh´ erences et de ses incoh´ erences. Malheureusement, je ne connais non plus aucun math´ ematicien que me paraˆıtrait apte au rˆ ole de co´ equipier dans un tandem physico-math´ ematique pour le genre de travail qu’il y aurait ` a faire (et auquel j’ai rˆ ev´ e plus d’une fois!)

Il est vrai qu’au cours des dix derni` eres ann´ ees, j’ai r´ efl´ echi ici et l` a ` a diverses extensions de la notion d’espace, en gardant ` a l’esprit la remarque p´ en´ etrante de Riemann. J’en parle dans quelques lettres ` a des amis physiciens ou “relativistes”. Il ne doit pas ˆ etre tr` es difficile p. ex. de d´ evelopper une sorte de calcul diff´ erentiel sur des “vari´ et´ es” qui seraient des ensembles finis (mais ` a cardinal “tr` es grand”), ou plus g´ en´ eralement discrets, visualis´ es comme formant une sorte de “r´ eseau” tr` es serr´ e de points dans une vari´ et´ e C

(p. ex. une vari´ et´ e riemannienne) – une sorte de g´ eom´ etrie diff´ erentielle “floue”, o` u toutes les notions num´ eriques sont d´ efinies seulement “` a pr` es”, pour un ordre d’approximation donn´ e. Comme pr´ edit par Riemann, une telle g´ eom´ etrie diff´ erentielle floue, par la force des choses, serait nettement plus d´ elicate et compliqu´ ee que la g´ eom´ etrie diff´ erentielle ordinaire. Mais peut-ˆ etre pas tellement plus compliqu´ ee! Dans cette approche, le point faible ` a pr´ esent, c’est qu’il ne semble pas que la physique nous fournisse quelque id´ ee de “quanta” d’espace-temps, qui seraient les “points” d’une telle vari´ et´ e discr` ete. (Il est vrai que lorsque fut formul´ ee et progressivement admise au si` ecle dernier, “l’hypoth` ese atomiste”, on n’en savait gu` ere plus sur ces fameux atomes que qu’ils pourraient peut-ˆ etre exister...) Je suspecte que les nouvelles structures

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a d´ egager seront beaucoup plus subtiles qu’un simple paraphrase de mod` eles continus connus en termes discrets*. Et surtout, qu’avant toute tentative de d´ egager des nouveaux mod` eles, pr´ esm´ es meilleurs que les anciens, il s’impose de poursuivre une r´ eflexion philosophico-math´ ematique tr` es servie sur la notion mˆ eme de “mod` ele math´ ematique” de quelque aspect de la r´ ealit´ e – sur son rˆ ole, son utilit´ e, et ses limites.

Je crains que je ne puisse gu` ere vous en dire plus que ces commentaires g´ en´ eraux. S’ils pouvaient pourtant vous ˆ etre utiles de quelque fa¸ con – ne serait-ce que pour vous encourager dans votre aventure solitaire – j’en serais tr` es heureux. Avec mes meilleurs souhaits

Alexandre Grothendieck

* Il n’est pas exclu pourtant que ce qui pouvait sembler initialement un simple exercie de “paraphrase” de notions bien connues dans un contexte conceptuel nouveau, am` ene, par la logique int´ erieure de la recherche,

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a des concepts totalement nouveaux et inattendus. (C’est l` a une chose qui n’est pas rare dans le travail de d´ ecouverte des structures math´ ematiques.) Il faut des ann´ ees de tˆ atonnement, sans doute, avant que des intuitions ´ eparses finissent par s’assembler en une vision d’ensemble

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