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(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre IV

Rappels sur le d´ enombrement

Table des mati` eres

1 Cardinal d’un ensemble fini 2

2 Produit cart´esien d’ensembles et k-uplets 3

3 Mod`ele d’urne de r´ef´erence menant `a des k-uplets 4

3.1 Description du mod`ele d’urne . . . 4

3.2 Exemple de disposition pourn= 6 etk= 8 . . . 4

3.3 Cas g´en´eral . . . 4

3.4 Autres mod`eles menant `a desk-uplets . . . 5

4 Arrangements 5 5 Mod`ele d’urne de r´ef´erence menant `a des arrangements 5 5.1 Description du mod`ele d’urne . . . 5

5.2 Exemple de disposition pourn= 6 etk= 4 . . . 6

5.3 Cas g´en´eral . . . 6

5.4 Autres mod`eles menant `a des arrangements . . . 6

6 Parties d’un ensemble et combinaisons 6 7 Mod`ele d’urne de r´ef´erence menant `a des combinaisons 8 7.1 Description du mod`ele d’urne . . . 8

7.2 Exemple de disposition pourn= 6 etk= 4 . . . 8

7.3 Cas g´en´eral . . . 8

7.4 Autres mod`eles menant `a des combinaisons . . . 9

(2)

1 Cardinal d’un ensemble fini

D´efinition (cardinal d’un ensemble fini) :SoitEun ensemble fini (i.e. poss´edant un nombre fini d’´el´ements).

Le cardinal deE, not´e Card(E), est le nombre d’´el´ements de E.

Exemple 1 :Card(∅) = 0, Card({2,6,7}) = 3, Card(J1,7K) = 7, Card({♣,♦,♥,♠}) = 4.

Remarque :Soient E etF deux ensembles finis.

il existe une bijection de E dansF ⇐⇒ Card(E) = Card(F).

Th´eor`eme 1 (cardinaux et sous-ensemble d’un ensemble fini) :SoitE un ensemble fini. SoitAest une partie deE. Alors :

1. l’ensembleAest fini et Card(A)≤Card(E) ; 2. A=E⇐⇒Card(A) = Card(E) ;

3. Card(A) = Card(E)−Card(A).

⋄ Exemple 2 :SoientEun ensemble de cardinal 10. SoientAetBdeux parties deE tels que Card(A∪B) = 9.

Montrer queAet B ont un exactement un ´el´ement en commun.

Th´eor`eme 2 (formule du crible (ou de Poincar´e)) :SoitE un ensemble fini.

• Formule du crible pour deux parties de E Soient AetB deux parties deE. Alors :

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)−Card(A∩B).

• Formule du crible pour un nombre fini de parties de E Soient A1, A2, . . . , An des parties deE. Alors :

Card [n

i=1

Ai

!

= Xn

k=1

(−1)k−1 X

1≤i1<i2<...<ikn

Card(Ai1∩Ai2∩. . .∩Aik)

.

Exemple 3 : La formule du crible, pour 4 parties A1, A2, A3, A4 d’un ensemble fini E, s’´ecrit sous forme d´evelopp´ee (i.e. sans symboleP

) comme suit.

Card(A1A2A3A4) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3) + Card(A4)

(Card(A1A2) + Card(A1A3) + Card(A1A4) + Card(A2A3) + Card(A2A4) + Card(A3A4)) + Card(A1A2A3) + Card(A1A2A4) + Card(A1A3A4) + Card(A2A3A4)

Card(A1A2A3A4)

⋄ Exemple 4 :SoitE un ensemble fini de cardinal 100. SoientAetBdeux parties deE de cardinaux respectifs Card(A) = 40 et Card(B) = 80. Montrer queAetBont au moins 20 ´el´ements en commun, i.e. que Card(A∩B)≥ 20.

Th´eor`eme 3 (cardinal et ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini)) : SoientE etF deux ensembles finis. L’ensemble des applications deE dansF, not´eFE, est fini et son cardinal est :

Card(FE) = Card(F)CardE.

⋄ Preuve du th´eor`eme 3

⋄ Exemple 5 : D´eterminer le cardinal de l’ensemble des applications de l’ensemble {a, b, c, d} vers l’ensemble {1,2,3}.

(3)

2 Produit cart´ esien d’ensembles et k -uplets

D´efinition (produit cart´esien d’un nombre fini d’ensembles)

• Produit cart´esien de deux ensembles Soient Eet F deux ensembles.

– Le produit cart´esien deEetF, not´eE×F, est l’ensemble des couples (suite ordonn´ee de deux ´el´ements) (e, f) o`ue∈E et f ∈F.

– Deux ´el´ements de E×F sont ´egaux si et seulement si leurs composantes sont ´egales. Autrement dit, pour tout (e, f)∈E×F, pour tout (e, f)∈E×F :

(e, f) = (e, f)⇐⇒

e=e f=f

• Produit cart´esien d’un nombre fini d’ensembles Soient E1, E2, . . . , En des ensembles.

– Le produit cart´esien deE1, E2, . . . , En, not´eE1×E2×. . .×En, est l’ensemble des suites ordonn´ees de n´el´ements (e1, e2, . . . , en) o`ue1∈E1,e2∈E2, . . .,en∈En.

– Deux ´el´ements de E1×E2×. . .×En sont ´egaux si et seulement si leurs composantes sont ´egales.

Autrement dit, pour tout (e1, e2, . . . , en)∈E1×E2×. . .×En, pour tout (e1, e2, . . . , en)∈E1×E2× . . .×En :

(e1, e2, . . . , en) = (e1, e2, . . . , en)⇐⇒









e1=e1 e2=e2

... en=en

• Puissance k-i`eme d’un ensemble Soient E un ensemble et soitk∈N.

– La puissance k-i`eme de l’ensembleE est l’ensembleEk d´efini par : Ek=E×E×. . .×E

| {z }

kfois

.

– L’ensembleEkest donc l’ensemble l’ensemble des suites ordonn´ees avec r´ep´etitions ´eventuelles (e1, e2, . . . , ek) dek´el´ements o`ue1, e2, . . . , ek ∈E. Un ´el´ement deEkest appel´ek-uplet d’´el´ements deE. Unk-uplet d’´el´ements deE est donc unesuite ordonn´ee avec r´ep´etitions ´eventuelles de k-´el´ements de E.

– Deux ´el´ements deEk sont ´egaux si et seulement si leurs composantes sont ´egales. Autrement dit, pour tout (e1, e2, . . . , ek)∈Ek, pour tout (e1, e2, . . . , ek)∈Ek :

(e1, e2, . . . , ek) = (e1, e2, . . . , ek)⇐⇒









e1=e1 e2=e2

... ek=ek

⋄ Exemple 6 :Repr´esenter les ´el´ements de{a, b, c} × {1,2}`a l’aide d’un tableau bidimensionnel et calculer, au moyen de ce tableau, Card({a, b, c} × {1,2}).

Exemple 7 :R3est l’ensemble des triplets de nombres r´eels. Apr`es avoir choisi un rep`ere de l’espace, l’ensemble R3s’identifie `a l’ensemble des points de l’espace.

Exemple 8 :(2,4,6,4,1,3,2) est un 7-uplet de l’ensemble J1,6K.

(4)

Th´eor`eme 4 (cardinal d’un produit cart´esien d’ensembles finis) 1. Soient Eet F deux ensembles finis. AlorsE×F est un ensemble fini et :

Card(E×F) = Card(E)×Card(F).

2. Plus g´en´eralement, siE1, . . . , En sontnensembles finis, alorsE1×. . .×En est un ensemble fini et : Card(E1×. . .×En) = Card(E1)×Card(E2)×. . .×Card(En).

3. En particulier, siE est un ensemble fini et sik∈N, alorsEk est un ensemble fini et : Card(Ek) = Card(E)×Card(E)×. . .×Card(E)

| {z }

kfois

= Card(E)k.

⋄ Exemple 9 :Calculer le cardinal de{7,8,9,10, V, D, R, A} × {♣,♦,♥,♠}.

Remarque : Soientn∈N et soit k∈N. `A chaquek-uplet d’´el´ements de J1, nK est associ´ee, bijectivement, une application de l’ensembleJ1, kKdans l’ensembleJ1, nK. Cette correspondance bijective est donn´ee par :

(x1, . . . , xk) 7→ f:J1, kK→J1, nK, i7→xi.

On peut ainsi voir de deux fa¸cons, en appliquant le th´eor`eme 3 ou le th´eor`eme 4, que le nombre dek-uplets d’´el´ements deJ1, nKestnk.

3 Mod` ele d’urne de r´ ef´ erence menant ` a des k -uplets

3.1 Description du mod` ele d’urne

On consid`ere :

• une boˆıte comportantncases ;

• k boules num´erot´ees de 1 `ak; et on suppose que :

• chaque case peut accueillir un nombre quelconque de boules.

3.2 Exemple de disposition pour n = 6 et k = 8

Case 1 Case 2 Case 3 Case 4 Case 5 Case 6

6 8

1 3 7

4 2 5

On repr´esente cette disposition par le 8-uplet (4,5,1,5,5,2,4,2) d’´el´ements deJ1,6K, i.e. : par la suite ordonn´ee avec r´ep´etitions ´eventuelles

(4,5,1,5,5,2,4,2)

de 8 entiers compris entre 1 et 6. Lai-`eme composante du 8-uplet correspond au num´ero de la case o`u se trouve la boule n˚i, pour tout entier i compris entre 1 et 8. Par exemple, la deuxi`eme composante est 5 car la boule num´ero 2 est dans la case n˚5.

3.3 Cas g´ en´ eral

Pournetk quelconques, une disposition est repr´esent´ee par unk-uplet d’´el´ements deJ1, nK, i.e. par une suite ordonn´ee, avec r´ep´etitions ´eventuelles

(x1, . . . , xk)

dekentiers compris entre 1 etn. Pour chaque entier i∈J1, kK,xi repr´esente le num´ero de la case o`u est plac´ee la boule n˚i.

Le nombre total de dispositions est :nk.

(5)

3.4 Autres mod` eles menant ` a des k -uplets

1. On envoie kfois de suite une boule dans un ensemble den cases et on d´enombre les diff´erents r´esultats possibles. Un r´esultat sera identifi´e `a la suite des num´eros de cases atteintes, dans l’ordre o`u elles ont ´et´e atteintes (nk possibilit´es).

2. On jettenfois successivementun d´e `a 6 faces (num´erot´ees de 1 `a 6). Un r´esultat sera repr´esent´e par un n-uplet (x1, . . . , xn) o`uxi est le chiffre obtenu aui-`eme lancer (6n r´esultats possibles).

3. Un cadenas `a secret est constitu´e de 4 tambours de 8 lettresa, b, c, d, e, f, g, h. Une code est un quadruplet (l1, l2, l3, l4) o`u pour chaquei∈J1,4K, li est l’une des 8 lettresa, b, c, d, e, f, g, h(84possibilit´es).

4. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `an. On effectuektiragessuccessifs, avec remise, d’une boule de l’urne. Un r´esultat est unk-uplet (x1, . . . , xk) d’entiers compris entre 1 etn(nk possibilit´es).

4 Arrangements

D´efinition (factoriellen) :Soitn∈N. On appelle factoriellenet on noten! le nombre d´efini par : n! =n×(n−1)×(n−2)×. . .×2×1

i.e.n! est le produit de tous les entiers naturels non nuls compris entre 1 etn. Par convention, on pose 0! = 1.

Propri´et´e (relation de r´ecurrence des factorielles) : Pour toutn∈N, on a la relation suivante.

n! =n×(n−1)!

D´efinition (arrangement de k´el´ements d’un ensemble fini) :SoitE un ensemble fini de cardinaln. Soit k∈J1, nK. Unek-uplet sans r´ep´etition dek´el´ements deE, i.e. unesuite ordonn´ee sans r´ep´etition dek´el´ements de E, est appel´e arrangement dek´el´ements deE.

⋄ Exemple 10 :SoitE l’ensemble{a, b, c, d, e, f}.

1. (a, f, e, b) est un arrangement de 4 ´el´ements deE.

2. (c, d, f, d) n’est pas un arrangement de 4 ´el´ements de E. En effetd apparaˆıt deux fois dans le 4-uplet et un arrangement ne peut contenir de r´ep´etition.

Th´eor`eme 5 (nombre d’arrangements de k ´el´ements d’un ensemble `a n ´el´ements) : Soit E un ensemble fini de cardinaln. Soitk∈J1, nK. Le nombre d’arrangements dek´el´ements deE est donn´e par :

n×(n−1)×. . .×(n−(k−1)) =n×(n−1)×. . .×(n−k+ 1) = n!

(n−k)!.

⋄ Preuve du th´eor`eme 5

D´efinition (Akn) :Soitn∈Net soitk∈J1, nK. On d´efinit un symbole pour repr´esenter le nombre d’arrange- ments dekparmin(cf. th´eor`eme 5) : On pose :

Akn = n!

(n−k)!. On ´etend cette d´efinition au cas o`uk= 0. On a doncA0n= n!

(n−0)! = 1.

5 Mod` ele d’urne de r´ ef´ erence menant ` a des arrangements

5.1 Description du mod` ele d’urne

On consid`ere :

• une boˆıte comportantncases ;

(6)

• k boules num´erot´ees de 1 `ak; et on suppose que :

• chaque case peut accueillir au plus une boule (donc k≤n).

5.2 Exemple de disposition pour n = 6 et k = 4

4 1 3 2

Case 1 Case 2 Case 3 Case 4 Case 5 Case 6

On repr´esente cette disposition par l’arrangement (3,6,4,1) de 4 ´el´ements de J1,6K, i.e. par lasuite ordonn´ee sans r´ep´etition

(3,6,4,1)

de 4 entiers compris entre 1 et 6.Lai-`eme composante du quadruplet repr´esente la place de la boule n˚i, pour tout entieri compris entre 1 et 4.

5.3 Cas g´ en´ eral

Pournetk quelconques, une disposition est repr´esent´ee par un arrangement dekd’´el´ements deJ1, nK, i.e. par unesuite ordonn´ee, sans r´ep´etition,

(x1, x2, . . . , xk)

de k entiers compris entre 1 etn. Pour chaque entier i∈J1, kK,xi repr´esente le num´ero de case o`u est plac´ee la boule n˚i.

Le nombre total de dispositions est :

|{z}n

nombre de choix de cases pour la boule n˚1

× (n−1)

| {z }

nombre de choix de cases pour la boule n˚2

×. . .× (n−(k−1))

| {z }

nombre de choix de cases pour la boule n˚k

= n!

(n−k)!=Akn.

5.4 Autres mod` eles menant ` a des arrangements

1. `A l’aide des 26 lettres de l’alphabet, on forme unmot de 10 lettres (suite ordonn´ee de 10 lettres ayant ou non un sens) dont les lettres sont deux `a deux diff´erentes. Un tel mot se r´epr´esente par un arrangement de 10 ´el´ements de l’ensemble

{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

(A1026 possibilit´es).

2. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `a net on fait ktiragessuccessifs, sans remised’une boule.

On note les num´eros des boules sorties dans l’ordre de leur sortie. Un r´esultat est repr´esent´e par un arrangement de k d’´el´ements deJ1, nK(Akn r´esultats possibles).C’est parce que le tirage est sans remise qu’il n’y a pas de r´ep´etition dans le k-uplet repr´esentant le r´esultat.

6 Parties d’un ensemble et combinaisons

D´efinition (combinaison de k ´el´ements d’un ensemble fini) : Soit E un ensemble fini de cardinal n.

Soitk∈J0, nK. Une combinaison dek´el´ements deE est une partie deE `ak´el´ements. On peut donc voir une combinaison dek´el´ements deE comme uneliste non ordonn´ee, sans r´ep´etition, de k´el´ements de E.

(7)

Th´eor`eme 6 (nombre de combinaisons de k ´el´ements d’un ensemble fini) : SoitE un ensemble fini de cardinaln. Soitk∈J0, nK. Le nombre de combinaisons dek´el´ements de E est donn´e par :

n×(n−1)×. . .×(n−(k−1))

k! =n×(n−1)×. . .×(n−k+ 1)

k! = n!

k! (n−k)!.

⋄ Preuve du th´eor`eme 6

D´efinition (Cnk) : Soit n ∈ N et soit k ∈ J0, nK. On d´efinit un symbole pour repr´esenter le nombre de combinaisons dekparmi n(cf. th´eor`eme 6) : On pose :

Cnk= n!

k! (n−k)!.

Propri´et´e (propri´et´es ´el´ementaires des coefficients Cnk) 1. Valeurs remarquables

Pour toutn∈N :

Cn0= 1 ; Cn1=n ; Cnn−1=n ; Cnn= 1.

2. Sym´etrie

Pour toutn∈N, pour toutk∈J0, nK:

Cnk =Cnn−k. 3. Relation de Pascal

Pour toutn∈N≥2, pour toutk∈J1, nK, on a :

Cn−1k−1+Cnk−1=Cnk.

Remarque (triangle de Pascal) : Grˆace `a la relation de Pascal, on peut calculer les coefficients binˆomiaux de proche en proche. On peut ainsi ligne apr`es lignecompl´eter le triangle de Pascal qui donne la valeurs des coefficientsCnk (n∈N,k∈J1, nK).

HH HH n H

k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

... ... . ..

... 1 1

... ... . ..

La relation de Pascal nous a permis, par exemple, de calculer le coefficientC41 = 4 `a l’intersection de la ligne n˚4 et de la colonne n˚1. On a sch´ematiquement :

colonne n˚0 colonne n˚1

ligne n˚3 1 −→+ 3

ligne n˚4 4

.

(8)

Th´eor`eme 7 (formule du binˆome de Newton) :Soientaetbdeux nombres complexes, soitn∈N. Alors : (a+b)n=

Xn

k=0

Cnk akbn−k = Xn

k=0

Cnk an−kbk.

⋄ Preuve du th´eor`eme 7 :Par voie combinatoire.

Th´eor`eme 8 (cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini) :SoitE un ensemble fini. Alors P(E), l’ensemble des parties deE, est un ensemble fini. Il a pour cardinal :

Card(P(E)) = 2Card(E).

⋄ Preuve du th´eor`eme 8 :A l’aide de la formule du binˆ` ome de Newton.

⋄ Exemple 11 :Calculer le cardinal de l’ensemble des parties de{7,8,9,10, V, D, R, A} × {♣,♦,♥,♠}.

7 Mod` ele d’urne de r´ ef´ erence menant ` a des combinaisons

7.1 Description du mod` ele d’urne

On consid`ere :

• une boˆıte comportantncases ;

• k boules semblables (non num´erot´ees donc) ; et on suppose que :

• chaque case peut accueillir au plus une boule (donc k≤n).

7.2 Exemple de disposition pour n = 6 et k = 4

Case 1 Case 2 Case 3 Case 4 Case 5 Case 6

On repr´esente cette disposition par la partie

{1,2,4,5}

`a 4 ´el´ements de l’ensemble J1,6K. Les ´el´ements de cette partie correspondent aux num´eros des cases qui contiennent une boule.

7.3 Cas g´ en´ eral

Pour n et k quelconques, une disposition est repr´esent´ee par une combinaison de k ´el´ements de l’ensemble J1, nK, i.e. par unepartieA `ak´el´ements de l’ensembleJ1, nK. Un entieri∈J1, nKappartient `a la partieAsi et seulement si la case num´erot´eei contient une boule.

Le nombre total de dispositions est le nombre de combinaisons dekobjets parmin: Cnk = n!

k!(n−k)!.

(9)

7.4 Autres mod` eles menant ` a des combinaisons

1. Avec un jeu de 52 cartes, on forme une main de 5 cartes sans figure. Un telle main s’identifie `a un 5-uplet (ou quintuplet) d’´el´ements de

J1,10K× {♣,♦,♥,♠}

(C405 possibilit´es).

2. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `anet on tiresimultan´ement kboules de l’urne. On note les num´eros des boules sorties. Un r´esultat est repr´esent´e par une partie de l’ensemble J1, nK (Cnk r´esultats possibles).

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