Ch.2 : Applications linéaires
Mouanis HakimaFaculté des sciences Dhar Mahraz Fés hmouanis@yahoo.fr www.mouanis.wordpress.com
1. Applications linéaires : Définitions et propriétés
1.1 Définitions et notations 1.2 Propriétés des applications
linéaires
1.3 Image directe, Image réciproque et noyau d’une application linéaire 1.4 Opérations sur les
applications linéaires
2. Théorèmes d’isomorphisme
2.1 Quotient d’une application
3. Produit-Somme directe (externe)
3.1 Applications linéaires et familles particulières
4. Applications linéaires en dimension finie
4.1 Rang d’une application linéaire,d’une famille de vecteurs
4.2 Théorème du rang 4.3 Dimension de L (E, F)
Définition 1.1
Soient E et F deux K− espaces vectoriels et f une application de E dans F. f est dite K-linéaire ou linéaire (s’il n y a pas de confusion) ou homomorphisme d’espaces vectoriels si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1 ∀ (x, y) ∈ E2, f (x + y) = f (x) + f (y) ;
2 ∀x ∈ E et ∀λ ∈ K, f (λx) = λf (x) .
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté
Propriété 1.1
f est K−linéaire de E dans F si, et seulement si,
∀ (x, y) ∈ E2et
∀λ ∈ K, f (x + λy) = f (x) + λf (y) .
Propriété 1.2
Soient u une application K-linéaire de E dans F, H un sous espace
vectoriel de E et uHLa restriction de u sur H.
Définition 1.2
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un Corps K.
1 Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire
bijective de E dans F. L’ensemble de tous les isomorphismes de
Edans F est noté IsomK(E, F)
2 Un endomorphisme de E, est une application linéaire de E dans
E.L’ensemble de tous les endomorphismes de E est noté EndK(E)
3 Un automorphisme de E, est une application linéaire bijective de
Edans lui même, c’est à dire un endomorphisme bijectif.
Exemples 1.1
1. Soit E un K− espace vectoriel, alors pour tout λ ∈ K fixé,
l’application :
hλ: E −→ E
x7−→ λx est une application lin´eaire,
applée homothétie de rapport λ.
2. La symétrie :
Exemples 1.2
3. Dans K[X], l’application :
D: K[X] −→ K[X]
P7−→ D (P) = P0
est une application linéaire, applée dérivation.
4. Soient E un K− espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel
de E, alors l’application :
p: E −→ E/F
x7−→ x + F = p (x) est une application lin´eaire,
Propriétés 1.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire, alors : 1 f(0E) = 0F; 2 (∀ (v1, v2, ..., vn) ∈ En) et (∀ (α1, α2, ..., αn) ∈ Kn)on a : f n X i=1 αivi ! = n X i=1 αif(vi) ;
3 Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels sur K. Si f : E → F et
Preuve.
1 On f (0E) = f (0K0E) = 0Kf(0E) = 0Fcar f est linéaire et F est un
espace vectoriel.
2 D’après la définition d’une application linéaire.
3 Soient λ ∈ K et x, y ∈ E alors
g◦ f (λx + y) = g(λf (x) + f (y))
= λg(f (x)) + g(f (y)) = λg ◦ f (x) + g ◦ f (y) ce qui montre que g ◦ f est K-linéaire.
Définitions 1.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ LK(E, F) .
1 On appelle image de f et on note Im (f ) l’ensemble :
Im(f ) = {y ∈ F/ (∃x ∈ E) : f (x) = y}.
2 On appelle noyau de l’application linéaire f et on note Ker (f )
Proposition 1.1
Soient f une application linéaire d’un K−espace vectoriel E vers un K−espace vectoriel F et H un sous-espace vectoriel de E, alors f(H) est un sous espace vectoriel de F.
Preuve.
Soit H un sous-espace vectoriel de E, montrons que f (H) est un sous-espace de F.
Soient y, y0 ∈ f (H) et λ ∈ K alors il existe x, x0 ∈ H tels que y = f (x) et
y0 = f (x0), donc λy + y0 = λf (x) + f (x0) = f (λx + x0). Or, H est
sous-espace vectoriel de E donc λx + x0 ∈ H et par suite
Corollaire 1.1
Soit f une application linéaire d’un K−espace vectoriel E vers un K−espace vectoriel F, alors Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.
Proposition 1.2
Soient f une application linéaire d’un K−espace vectoriel E vers un K−espace vectoriel F et G un sous-espace vectoriel de F, alors
f−1(G)est un sous- espace vectoriel de E.
Preuve.
Soit G un sous-espace vectoriel de F, x, x0 ∈ f−1(G)
et λ ∈ K.
Montrons que λx + x0 ∈ f−1(G). On a f (x), f (x0
) ∈ Gqui est un
sous-espace vectoriel de F, donc λf (x) + f (x0) ∈ G. or
Corollaire 1.2
Soit f une application linéaire d’un K−espace vectoriel E vers un K−espace vectoriel F, alors Ker(f) est un sous espace vectoriel de E.
Proposition 1.3
Soient E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F).
f est injective si, et seulement, si Ker (f ) = {0}.
Preuve. Supposons que f est injective, alors si x ∈ Ker (f ) ,
f(x) = 0 = f (0) car f est linéaire et par suite x = 0.
Réciproquement si Ker (f ) = {0}, alors pour tout (x, y) ∈ E2:
f(x) = f (y) =⇒ f (x) − f (y) = 0
=⇒ f (x − y) = 0 =⇒ x − y ∈ Ker (f ) =⇒ x − y = 0 =⇒ x = y ce qui montre que f est alors injective .
Définition 1.3
Soient E et F deux K−espaces vectoriels ; on munit l’ensemble L (E, F) des deux opérations suivantes :
Une addition définie par : (∀f ∈ L (E, F)) et (∀g ∈ L (E, F)) ,
f+ g ∈ L (E, F) avec (∀x ∈ E) (f + g) (x) = f (x) + g (x) ;
Une multiplication externe définie par : (∀f ∈ L (E, F) ∀α ∈ K) , αf ∈ L (E, F) avec (∀x ∈ E) (αf ) (x) = α · f (x) .
L’ensemble L (E, F) mini des deux lois précédentes est un K-espace vectoriel.
Preuve. Il suffit de montrer que L (E, F) est un sous-espace
vectoriel de l’espace vectoriel FE des applications de E dans F.
1) D’abord, le zéro de FE c’est l’application nulle, noté par ϕ0, qui est
une application linéaire : En effet, ∀x, y ∈ E ∀α ∈ K, ϕ0(αx + y) = 0 et
αϕ0(x) + ϕ0(y) = α0 + 0 = 0. Donc, ϕ0appartient à L (E, F).
2) Soient f , g ∈ L(E, F) et α ∈ K. Montrons que αf + g ∈ L(E, F). ∀x, y ∈ E et ∀β ∈ K on a
(αf + g)(βx + y) = αf (βx + y) + g(βx + y)
= αβf (x) + αf (y) + βg(x) + g = β(αf (x) + g(x)) + αf (y) + g(y) = β(αf + g)(x) + (αf + g)(y)
Proposition 2.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F) et E0 un
sous-espace vectoriel de E, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1 E0 ⊂ Ker (f ) ;
2 il existe une application linéaire unique ¯f ∈ L
E/E0, Ftelle que
f = ¯f◦ p où p est la surjection canonique de E dans E/E0.
¯f est appelé le quotient de f par E0
Preuve. E −→f F p & E/E0 ¯f % (1) ⇒ (2) E0 ⊂ Ker (f ) , ∀x ∈ E, on a x + E0 ⊂ x + Ker (f ) .
posons ¯f : E/E0 −→F tel que pour x + E0 ∈ E/E0, ¯fx+ E0= f (x) .
♣ On montre d’abord que ¯f est bien définie, c’es à dire , ne dépend pas du représentant choisi, en effet :
Si x + E0 = y + E0,alors x − y ∈ E0, d’où x − y ∈ Ker (f ), et par suite
f(x − y) = 0 donc f (x) = f (y), donc ¯fx+ E0= ¯fy+ E0. ♣ ¯f est linéaire, en effet :
Soient X ∈ E/E0, Y ∈ E/E0 et α ∈ K, alors : Si X = x + E0 et Y= y + E0
¯ f(X + αY) = ¯f x+ αy + E0 = f (x + αy) = f (x) + αf (y) = ¯f(X) + α¯f(Y). et par construction de ¯f, on a bien f = ¯f ◦ p.
Unicité : Supposons qu’il existe une autre application g : E/E0 → F telle que f = g ◦ p, alors ¯f ◦ p = g ◦ p = f , alors ¯f = g, car p est surjective.
Théorème 2.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F) , alors le quotient ¯f de f par Ker (f ) est un isomorphisme de E/Ker (f ) sur Im (f ) et on a Im (f ) est isomorphe à E/Ker (f ) .
Preuve. ∀x ∈ E on a ¯f(x + Ker(f )) = f (x) ∈ Im(f ) donc on peut écrire ¯f : E/Ker(f ) −→ Im(f )
E −→f Im(f )
p
& E/Ker (f ) ¯f %
Soit y ∈ Imf alors ∃x ∈ E tel que f (x) = y, ¯f (x + Ker (f )) = f (x) = y. ¯f est donc surjective.
¯f est injective, en effet ; pour tout x ∈ E on a :
¯
Soient E un espace vectoriel, E1et E2 deux sous-espaces
supplémentaires de E. Alors l’espace quotient E/E2 est isomorphe à
E1.
Par conséquence :
tous les supplémentaires d’un sous-espace vectoriel sont isomorphes.
Preuve. Pour tout x ∈ E, ∃!x1 ∈ E1, ∃!x2∈ E2tel que : x = x1+ x2. L’application :
f : E −→ E1
Définition et propriété 3.1
Soit (Ei)i∈Iune famille de K− espaces vectoriels. Soit E =Y
i∈I
Eile
produit cartésien des espaces vectoriels (Ei) .Sur E, on définit les
lois de composition suivantes :
(xi)i∈I∈ E, (yi)i∈I∈ E (xi)i∈I+ (yi)i∈I= (xi+ yi)i∈I. ∀λ ∈ K, λ (xi)i∈I= (λxi)i∈I.
Emuni de ces deux opérations est un K− espace vectoriel, appelé
Définition et propriété 3.2
Pour tout j ∈ I, l’application Pj:
Y
i∈I
Ei−→ Ej,
(xi)i∈I7−→ Pj (xi)i∈I = xj
Proposition 3.1
Dans E =Y
i∈I
Ei,on considére le sous-ensemble E0 défini par :
E0 =(xi)i∈I∈ E/xi= 0 sauf pour un nombre fini d’indices
autrement dit :
E0 =(xi)i∈I∈ E/ (∃J ⊂ I) : Jfini et (∀i ∈ I \ J) xi= 0 .
E0 est un sous-espace vectoriel de E, appelésomme directe
(externe) des espaces Eiet on note
M
i∈I
Ei.
En particulier, si I est fini,Y
i∈I
Ei=M
i∈I Ei.
Preuve. Soient (xi)i∈I∈ E
0
et (yi)i∈I∈ E
0
, alors : (∃J1⊂ I) (∃J2⊂ I) :
J1et J2fini et (∀i ∈ I \ J1) xi= 0 et (∀i ∈ I \ J2) yi= 0. Pour tout i∈ I \ (J1∪ J2) , on a xi= 0 et yi= 0 et parsuite xi+ yi= 0,
donc (xi) + (yi) ∈ E
0
cas particulier
Si I est un ensemble, on note K(I)l’espaceM
i∈I
Ei,avec
(∀i ∈ I) Ei= K.
Alors, α ∈ K(I)si, et seulement si, α = (αi)
i∈I,avec αi= 0 sauf pour
Proposition 3.2
Soient I un ensemble, E un K− espace vectoriel et (xi)i∈Iune famille
d’éléments de E. On considère l’application f définie sur K(I)à
valeurs dans E par :
K(I)−→ E
(αi)i∈I7−→ f (αi)i∈I = X
i∈I αixi,
f est une application linéaire de K(I) dans E.
f est injective si, et seulement si, la famille (xi)i∈Iest libre ;
f est surjective si, et seulement si, (xi)i∈Iest un système
Propriétés 3.1
1 Soient E et F deux K− espace vectoriels, u ∈ L (E, F) , alors :
Si la famille (xi)i∈Iest liée dans E, la famille (u (xi))i∈Iest liée
dans F.
2 Si u estsurjectif et (x
i)i∈Iest un système générateur de E alors
(u (xi))i∈Iest un système générateur de F.
3 Si u estinjectif et famille (x
i)i∈Iest libre dans E, alors la famille
(u (xi))i∈Iest libre dans F.
4 Si u estun isomorphisme de E dans F, et la famille (x
i)i∈Iest
système lié.
2 Si u est surjectif alors F = u(E) et on a E = vect(xi)i∈I. Donc il
suffit d’utiliser la définition d’une application linéaire.
3 Si u est un injectif et (xi)
i∈Iest libre dans E. Soient (αi)i∈I∈ K(I)
tels que X {i∈J⊆I /Jfini} αiu(xi) = 0 alors u( X {i∈J⊆I /Jfini} αixi) = 0
Soient E et F deux K− espace vectoriels, (ei)i∈Iune base de E et
(yi)i∈Iune famille de F, il existe une application linéaire unique u de E
dans F telle que
(∀i ∈ I) u (ei) = yi.
Si x ∈ E, alors x = X
{i∈J⊆I /Jfini}
λieiou bien on écrit tout simplement
x=X
i∈I
λieioù λi= 0 sauf pour un nombre fini d’indices.
On pose u (x) =X
i∈I
λiyi,alors u est linéaire par construction et en
plus (∀i ∈ I) u (ei) = yi.Si v ∈ L (E, F) est telle que
(∀i ∈ I) v (ei) = yi,alors :
(∀x ∈ E) x =X i∈I λiei=⇒ v (x) =X i∈I λiv(ei) =X i∈I λiyi= u (x) .
Conséquence
Une application linéaire est entièrement déterminée par ses images en une base de E.
Lemme 4.1
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application
K-linéaire de E dans F et (e1, ..., en)une famille de vecteurs de E.
Alors
f(vect(e1, .., en)) = vect(f (e1), .., f (en))
Proposition 4.1
Soient E un K− espace vectoriel de dimension finie n, n ∈ N∗, Fun
autre K− espace vectoriel, f ∈ L (E, F) et B = (e1, ..., en)une base de
E,
Définition 4.1
Soient E un K− espace vectoriel de dimension finie, F un K− espace
vectoriel quelconque et f ∈ L (E, F) . On appellerang de f , et on note
rg(f ) ,la dimension sur K de Im (f ) .
rg(f ) = dimK(Im(f ))
Proposition 4.2
Le rang de f est le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants extraits de la famille (f (e1) , ..., f (en)) .
Théorème 4.1
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel de dimension quelconque sur le même corps K et
f ∈ L (E, F) , alors :
dim(E) = dim (f (E)) + dim (Ker (f )) = rg(f ) + dim(Ker(f )).
Preuve. D’après le premier théorème d’isomorphisme f (E) est isomorphe à E/Ker (f ) , donc
dim(f (E)) = dim (E/Ker (f )) = dim(E) − dim(Ker(f ))
Corollaire 4.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels de dimension finie et soit
f ∈ L (E, F) . Alors :
1 rg(f ) 6 dim (E) ;
rg(f ) = dim (E)si, et seulement si, f est injective.
2 rg(f ) 6 dim (F) ;
Preuve.
1 D’après le théorème du rang rg (f ) = dim (E) − dim (Ker (f )) donc
rg(f ) 6 dim (E) (ou bien tous simplement d’aprés la proposition
4.2).
rg(f ) = dim (E)si et seulement si dim (Ker (f )) = 0 si et
seulement si Ker (f ) = {0} si et seulement si f est injective.
2 rg(f ) = dim (f (E)) ;et f (E) est un sous-espace de l’espace de
dimension finie F donc rg (f ) 6 dim (F) .
rg(f ) = dim (F)si et seulement si dim (f (E)) = dim (F) si et
Corollaire 4.2
Soient E et F deux K− espace vectoriels de même dimension finie n et f ∈ L (E, F) , alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
1 f est un isomorphisme de E dans F.
2 f est injective .
3 f est surjective ;
4 f est de rang n.
2. ⇒ 3.si f est injective, alors rg (f ) = dim (E) ce qui entraine que
dim(f (E)) = dim (F)et par suite f (E) = F (car f (E) est un sous
espace vectoriel de F) et donc f est surjective.
3. ⇒ 4.est immédiat.
4. ⇒ 5.Soit B = (e1, ..., en)une base de E, alors : n= rg (f )
= dim (Im (f )) = dim (f (E))
= dim (vect (f (e1) , ..., f (en)))
Donc vect (f (e1) , ..., f (en)) = Fdonc f (B) est un système générateur
de F de cardinal égale à la dimension de F, donc c’est une base de F.
5. ⇒ 1.B= (e1, ..., en)étant une base de E alors
f(E) = f (vect (B)) = vect(f (e1), .., f (en)) = F,donc f est surjective. Par
ailleurs par le théorème du rang rg (f ) = dim (E) − dim (Ker (f )) donc :
Dans l’exemple suivant on montre que le résultat du corollaire précedent n’est pas vrais si E et F sont de dimensions infinis.
D: K[X] −→ K[X]
P7−→ D (P) = P0
D est surjective
Théorème 4.2
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un
même corps K. Alors LK(E, F)est de dimension finie et on a :
dimK(L (E, F)) = dimK(E) .dimK(F) .
Pour démontrer ce théorème nous allons utiliser le lemme suivant :
Lemme 4.2
Soient E et F deux K−espaces vectoriels tels que E est de dimension
finie n ∈ N∗,alors L (E, F) est isomorphe à Fn,où Fn=
n fois
z }| {
F× F × ... × F
ϕ :L (E, F) −→ F
u7−→ ϕ (u) = (u (e1) , u (e2) , ..., u (en))
Alors ϕ est un isomorphisme. En effet : Soit Y = (y1, y2, ..., yn)un
élément de Fn,on montre qu’il existe une unique application u de
L (E, F) tel que Y = ϕ(u)
Posons u l’apllication telle que : pour tout x = n X i=1 λiei∈ E u(x) = n X i=1
λiyi,alors u ∈ L (E, F) et ∀i ∈ I, u (ei) = yi;donc ϕ(u) = Y
Soitv ∈ L (E, F) est telle que (∀i ∈ I) v (ei) = yi,alors :
∀x = n X
i=1
Preuve.(du théorème) L (E, F) étant isomorphe à Fn,d’après le lemme, où n est la dimension de E et comme F est de dimension
finie, il en est de même de Fndonc aussi de L (E, F) et
dim(L (E, F)) = dim (Fn) ;or dim (Fn) = n.dim (F)donc
Corollaire 4.3
Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie n, n ∈ N∗.Alors
l’espace vectoriel L (E) des endomorphismes de E est de dimension finie n2.
Preuve.
