Applications linéaires
Cours de É. Bouchet ECS1 6 avril 2020
Table des matières
1 Applications linéaires 2
1.1 Dénitions et premières propriétés . . . 2 1.2 Composition des applications linéaires . . . 3 1.3 Noyau et image . . . 4
2 Cas particuliers 6
2.1 Isomorphismes . . . 6 2.2 Endomorphismes . . . 7 2.3 Projecteurs . . . 7
Dans tout le chapitre,K désigneraR ou C.
1 Applications linéaires
1.1 Dénitions et premières propriétés
Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et f une application de E dans F. On dit que f est une application linéaire deE dansF si elle vérie :
∀(x, y)∈E2, f(x+y) =f(x) +f(y) et ∀x∈E,∀λ∈K, f(λx) =λf(x).
Dénition (Application linéaire).
Soit E etF deux espaces vectoriels surK, etf une application linéaire de E dansF. Alorsf(0E) = 0F. Proposition (Valeur en 0).
Démonstration. La linéarité de f donne :
f(0E) =f(0E + 0E) =f(0E) +f(0E).
En retranchantf(0E) aux deux membres de cette égalité, on obtient quef(0E) = 0F.
Soit E et F deux espaces vectoriels sur K. La fonction f est une application linéaire de E dans F si et seulement si∀(x, y)∈E2,∀λ∈K,
f(λx+y) =λf(x) +f(y).
Proposition (Caractérisation d'une application linéaire).
Démonstration.
Supposons que f est une application linéaire. Alors,∀(x, y)∈E2,∀λ∈K, f(λx+y) =f(λx) +f(y) =λf(x) +f(y), d'où le résultat.
Réciproquement, supposons que la condition est vériée. Soit (x, y)∈E2,
f(x+y) =f(1x+y) = 1f(x) +f(y) =f(x) +f(y), on en déduit donc en particulier que f(0E) = 0F. De plus, six∈E etλ∈K,
f(λx) =f(λx+ 0E) =λf(x) + 0F =λf(x).
D'où le résultat.
Exemple 1. Montrer que l'applicationP →P0 est une application linéaire de R[X]dansR[X]. En eet, soitP etQ deux polynômes, etλun réel,
(λP +Q)0(X) =λP0(X) +Q0(X).
Exemple 2. Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ? 1. La fonctionf dénie deR2 dansR par : f((x, y)) =x+y+ 1. 2. La fonctiong dénie deR2 dansR par : g((x, y)) =x+y. 3. La fonctionh dénie deR2 dansR par : h((x, y)) =x×y.
1. f((0,0)) = 16= 0, donc f n'est pas une application linéaire.
2. Soit(x, y) et(x0, y0) deux éléments de R2, etλun réel.
g λ(x, y) + (x0, y0)
=g (λx+x0, λy+y0)
=λx+x0+λy+y0 =λg((x, y)) +g (x0, y0) . Donc gest une application linéaire.
3. h((0,1) + (1,0)) =h((1,1)) = 16= 0 + 0 =h((0,1)) +h((1,0)). Donch n'est pas une application linéaire.
Exemple 3. Montrer que l'applicationf dénie deMn(C)dansMn(C), parf(M) = tM est une application linéaire.
SoitM etN deux matrices de Mn(C), etλun complexe. On a :
f(λM+N) = t(λM +N) =λtM+ tN =λf(M) +f(N).
Doncf est bien une application linéaire.
L'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est un espace vectoriel. On le noteL(E, F).
Proposition (Espace vectoriel des applications linéaires).
Démonstration. On va montrer que c'est un sous-espace vectoriel de FE (dont on admet que c'est un espace vectoriel carE etF en sont, même s'il ne gure pas explicitement dans les espaces vectoriels de référence).
L'application nulle est linéaire, doncL(E, F) n'est pas vide.
Soit (f, g)∈ L(E, F)2 etλ∈K. Soit(x, y)∈E2, etµ∈K. On a :
(λf+g)(µx+y) =λf(µx+y) +g(µx+y)
=λµf(x) +λf(y) +µg(x) +g(y)
=µ(λf(x) +g(x)) +λf(y) +g(y)
=µ(λf+g)(x) + (λf+g)(y)
Donc (λf+g)∈ L(E, F), etL(E, F) est stable par combinaison linéaire.
Donc c'est un sous-espace vectoriel deFE. Donc c'est un espace vectoriel.
1.2 Composition des applications linéaires
Soit E,F etG trois espaces vectoriels surK. Si f est une application linéaire de E dansF, et g est une application linéaire de F dansG, alors g◦f est une application linéaire de E dansG.
Proposition (Composée de deux applications linéaires).
Démonstration. Soit (x, y)∈E2 etλ∈K. On a :
g◦f(λx+y) =g(λf(x) +f(y)) =λg◦f(x) +g◦f(y).
D'où la linéarité deg◦f.
Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K. Si f et g sont des applications de E dansF, et h est une application linéaire de F dansG, alors h◦(f +g) =h◦f +h◦g.
Proposition (Distributivité de la composition).
Démonstration. ∀x∈E,h◦(f+g)(x) =h(f(x) +g(x)) =h◦f(x) +h◦g(x). D'où le résultat.
Remarque. On savait déjà que sif est une application deE dans F, et g et h sont des applications de F dansG, alors(g+h)◦f =g◦f+h◦f, sans condition de linéarité.
1.3 Noyau et image
Soit E etF deux espaces vectoriels surK, et f une application linéaire de E dansF. On appelle noyau de f, et on noteKer(f), le sous-ensemble de E déni par :
Ker(f) ={x∈E|f(x) = 0F}.
Dénition (Noyau d'une application linéaire).
Exemple 4. Soitgl'application linéaire dénie de R2 dansR parg((x, y)) =x+y. Déterminer son noyau.
Soit(x, y)∈R2,
(x, y)∈Ker(g)⇐⇒g((x, y)) = 0⇐⇒x+y= 0⇐⇒(x, y) =x(1,−1)⇐⇒(x, y)∈Vect((1,−1)).
On a doncKer(g) = Vect((1,−1)) ={(x, y)∈R2|x+y = 0}.
SoitE etF deux espaces vectoriels surK, et f une application linéaire deE dansF. Le noyauKer(f) est un sous-espace vectoriel de E.
Proposition.
Démonstration.
f(0E) = 0F puisquef est une application linéaire, donc 0E ∈Ker(f), et cet ensemble est non vide.
Soit (x, y)∈Ker(f)2, etλ∈K. La linéarité def donne :
f(λx+y) =λf(x) +f(y) =λ0F + 0F = 0F.
Donc λx+y∈Ker(f), d'où le résultat.
Soit E etF deux espaces vectoriels sur K, et f une application linéaire de E dans F. La fonction f est injective si et seulement siKer(f) ={0E}.
Proposition (Noyau et injectivité).
Démonstration. (démonstration à connaître)
Supposons quef est injective. Alors 0F a au plus un antécédent par f, donc Ker(f) a au plus un élément. Or 0E ∈Ker(f) puisquef est linéaire. DoncKer(f) ={0E}.
Réciproquement, supposons que Ker(f) = {0E}. Soit (x, y) ∈ E2, supposons que f(x) = f(y). Alors par linéarité, f(x−y) = 0F, etx−y ∈Ker(f), donc x−y= 0E etx=y. Doncf est injective.
Remarque. On peut également noter queKer(f) =E si et seulement sif est l'application nulle.
Soit E etF deux espaces vectoriels surK, et f une application linéaire de E dansF. On appelle image de f, et on noteIm(f), le sous-ensemble de F déni par :
Im(f) ={y∈F|∃x∈E tel quey =f(x)}. Dénition (Image d'une application linéaire).
Exemple 5. Soitgl'application linéaire dénie de R2 dansR parg((x, y)) =x+y. Déterminer son image.
Il est immédiat que Im(g) ⊂ R. Réciproquement, soit x ∈ R, x = g((x,0)) ∈ Im(g). On a donc montré par double inclusion que :
Im(g) =R.
Soit E etF deux espaces vectoriels sur K, et f une application linéaire de E dans F. L'image Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.
Proposition.
Démonstration. (démonstration à connaître)
f(0E) = 0F puisquef est une application linéaire, donc 0F ∈Im(f) et cet ensemble est non vide.
Soit (x, y)∈Im(f)2, etλ∈K. Alors il existeaetb dansE tels quef(a) =x etf(b) =y. On a donc : f(λa+b) =λf(a) +f(b) =λx+y.
Donc λx+y∈Im(f), d'où le résultat.
Soit E etF deux espaces vectoriels sur K, et f une application linéaire de E dans F. La fonction f est surjective si et seulement siIm(f) =F.
Proposition (Image et surjectivité).
Démonstration.
Supposons que f est surjective. Alors tout élément de F a un antécédent par f, doncF ⊂Im(f). L'inclusion réciproque étant immédiate, on a Im(f) =F.
Réciproquement, supposons queIm(f) =F. Soit x ∈F. Alors, x ∈Im(f), et donc x a un antécédent par f. Donc f est surjective.
Remarque. On peut également noter queIm(f) ={0F} si et seulement sif est l'application nulle.
Exemple 6. On considère l'application linéaire f : P → P0 dénie de R[X] dans R[X]. Trouver son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ?
On commence par chercher le noyau. SoitP ∈R[X],
P ∈Ker(f)⇐⇒P0 = 0⇐⇒deg(P) = 0 ou − ∞ ⇐⇒P ∈R0[X].
Donc Ker(f) =R0[X]. CommeKer(f)6={0}, l'applicationf n'est pas injective.
Cherchons à présent l'image. Il est direct queIm(f)⊂R[X]. Réciproquement, soitQ(X) =Pn
k=0αkXk∈R[X]. On pose P(X) =Pn
k=0 αk
k+1Xk+1, alors f(P) =Q, et Q∈ Im(f). Donc Im(f) = R[X], et l'application f est surjective.
2 Cas particuliers
2.1 Isomorphismes
SoitE etF deux espaces vectoriels surK, etf une application linéaire deE dansF. On dit quef est un isomorphisme deE dansF lorsqu'elle est bijective deE dansF.
Dénition (Isomorphisme).
Exemple 7. L'application identité deE, notéeIdE et dénie par x→xest un isomorphisme deE.
SoitE,F etGtrois espaces vectoriels surK. Sifest un isomorphisme deEdansF, etgest un isomorphisme de F dansG, alors g◦f est un isomorphisme deE dansG, et on a(g◦f)−1=f−1◦g−1.
Proposition (Composée d'isomorphismes).
Démonstration. On commence par remarquer que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire. Soitz∈Getx∈E. Puisque g etf sont des bijections,
g◦f(x) =z⇐⇒g(f(x)) =z⇐⇒f(x) =g−1(z)⇐⇒x=f−1(g−1(z))⇐⇒x=f−1◦g−1(z).
Donc tout élémentz∈Gadmet un unique antécédent x∈E parg◦f, qui est donc une bijection. Donc g◦f est un isomorphisme deE dansG. La relation précédente nous donne de plus que (g◦f)−1=f−1◦g−1.
SoitEetF deux espaces vectoriels surK. On dit queEetF sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de E dansF.
Dénition (Espaces vectoriels isomorphes).
2.2 Endomorphismes
Soit E un espace vectoriel. On appelle endomorphisme deE toute application linéaire deE dansE.
Dénition (Endomorphisme).
L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectorielE est un espace vectoriel. On le noteL(E). Proposition (Espace vectoriel des endomorphismes).
Démonstration. L(E) =L(E, E), c'est donc un cas particulier d'un résultat déjà rencontré.
Soit E un espace vectoriel etf ∈ L(E). On pose f0=IdE, et pour tout p∈N,fp+1 =fp◦f =f◦fp. Dénition (Puissances d'un endomorphisme).
Exemple 8. L'application f :P → P0 est un endomorphisme de R[X]. On peut donc dénir ses puissances : pour toutP ∈R[X],fp(P(X)) =P(p)(X).
Soit E un espace vectoriel etf etgdeux endomorphismes de E tels quef ◦g=g◦f. Alors∀n∈N,
(f+g)n=
n
X
k=0
n k
fk◦gn−k. Proposition (Formule du binôme de Newton).
Démonstration. Cette formule se montre par récurrence, de la même façon que la formule du binôme de Newton pour les matrices.
2.3 Projecteurs
Dans toute cette partie, on notera E un espace vectoriel, et F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansE. Pour tout vecteurx∈E, on note(x1, x2) l'unique couple deF1×F2 tel quex=x1+x2.
On appelle projecteur de E sur F1 parallèlement àF2 l'applicationp dénie pour toutx deE par p(x) =x1.
On appelle projecteur de E surF2 parallèlement à F1 l'applicationq dénie pour tout xde E par q(x) =x2.
Les projecteurs p etq sont appelés projecteurs associés.
Dénition (Projecteur, projecteurs associés).
Exemple 9. On sait déjà queR3= Vect ((1,0,0),(0,1,0))⊕Vect ((0,0,1)), ce qui correspond pour tout(x, y, z)∈R3 à la décomposition(x, y, z) = (x, y,0) + (0,0, z). Soit f etg les applications dénies deR3 dansR3 par
f((x, y, z)) = (x, y,0) et g((x, y, z)) = (0,0, z).
Alorsf etg sont deux projecteurs associés. Plus exactement,
f est le projecteur deR3 sur Vect ((1,0,0),(0,1,0)) parallèlement à Vect ((0,0,1)). g est le projecteur de R3 sur Vect ((0,0,1)) parallèlement à Vect ((1,0,0),(0,1,0)) .
Exemple 10. On sait déjà queR3= Vect ((1,0,0),(0,1,0))⊕Vect ((1,0,1)), ce qui correspond pour tout(x, y, z)∈R3 à la décomposition(x, y, z) =(x−z, y,0) + (z,0, z). Soitf etg les applications dénies de R3 dansR3 par
f((x, y, z)) =(x−z, y,0) et g((x, y, z)) =(z,0, z).
Alorsf etg sont deux projecteurs associés. Plus exactement,
f est le projecteur deR3 surVect ((1,0,0),(0,1,0))parallèlement àVect ((1,0,1)).
g est le projecteur de R3 surVect ((1,0,1))parallèlement à Vect ((1,0,0),(0,1,0)).
Tout projecteur deE est un endomorphisme deE. Proposition.
Démonstration. Soit p le projecteur sur F1 parallèlement à F2, où E =F1⊕F2. Il est immédiat que p est à valeurs dans E, il sut donc de montrer que c'est une application linéaire. Soit (x, y) ∈ E2, et λ ∈ K. On suppose que les décompositions de x et y s'écrivent x = x1 +x2 et y = y1 +y2 avec (x1, y1) ∈ F12 et (x2, y2) ∈ F22. Alors, λx+y = (λx1+y1) + (λx2+y2), avecλx1+y1 ∈F1,λx2+y2 ∈F2 et on a :
p(λx+y) =λx1+y1=λp(x) +p(y).
D'où le résultat.
Soit ple projecteur deE surF1 parallèlement àF2. On a : F1= Im(p) = Ker(p−IdE),
F2= Ker(p).
Proposition (Noyau et image d'un projecteur).
Démonstration. (démonstration à connaître)
Soit x ∈ F1, alors x = x + 0E, où (x,0E) ∈ F1 ×F2. Donc p(x) = x. On en déduit que x ∈ Im(p) et F1 ⊂Im(p). Réciproquement, si x ∈Im(p), il existe z ∈E tel quex=p(z). On décompose z commez1+z2, avec (z1, z2)∈F1×F2. Alorsx=z1 ∈F1 etIm(p)⊂F1. D'oùF1= Im(p).
Soit x∈F1, on obtient comme dans le raisonnement précédent quep(x) =x et donc (p−IdE)(x) = 0E. Donc F1 ⊂ Ker(p−IdE). Réciproquement, soit x ∈ Ker(p−IdE). Alors, p(x)−x = 0E et donc p(x) = x. Donc x∈Im(p) =F1 etKer(p−IdE)⊂F1. D'oùF1= Ker(p−IdE).
Soitx∈F2, alorsx= 0E+x, où(0E, x)∈F1×F2. Doncp(x) = 0E,x∈Ker(p)etF2 ⊂Ker(p). Réciproquement, si x ∈ Ker(p), p(x) = 0E. On décompose x comme x1+x2, avec (x1, x2) ∈ F1 ×F2. La relation précédente donne alors x1= 0E, on en déduit x=x2∈F2. D'oùKer(p)⊂F2 et par double inclusion F2 = Ker(p).
Soit petq deux projecteurs deE. Ce sont des projecteurs associés si et seulement si ils vérient : p+q =IdE et p◦q =q◦p= 0.
Proposition (Caractérisation des projecteurs associés).
Soit f un endomorphisme de E. La fonctionf est un projecteur si et seulement si f◦f =f. Proposition (Caractérisation des projecteurs).
Démonstration.
Supposons quef est un projecteur (surF1parallèlement àF2, avecE=F1⊕F2). Soit x∈E, qu'on décompose en x=x1+x2 avec x1 ∈F1 etx2 ∈F2. Alorsf(x) =x1, et commex1 =x1+ 0E avec x1 ∈F1 et0E ∈F2 cela donne :
f ◦f(x) =f(x1) =x1 =f(x).
Cela étant vrai pour tout x∈E, on a bienf◦f =f.
Réciproquement, supposons quef◦f =f. Montrons quef est le projecteur sur Im(f) parallèlement àKer(f). Pour cela, il faut commencer par montrer que ces deux espaces vectoriels sont bien supplémentaires : soitx∈E, on va montrer qu'il existe un unique couple (x1, x2)∈Im(f)×Ker(f) tel que x=x1+x2.
Analyse : supposons qu'un tel couple existe. Comme x1 ∈Im(f), on peut trouvery ∈E tel quef(y) =x1, et donc x=f(y) +x2. En appliquant f de nouveau, on trouve par linéarité :
f(x) =f◦f(y) +f(x2) =f◦f(y) =f(y) =x1.
Donc nécessairement, x1 =f(x) etx2 =x−f(x).
Synthèse : soitx∈E. On pose x1 =f(x) etx2=x−f(x). Il est immédiat quex1∈Im(f), par ailleurs : f(x2) =f(x−f(x)) =f(x)−f◦f(x) =f(x)−f(x) = 0E,
donc x2 ∈Ker(f). Comme de plus x=f(x) + (x−f(x)) =x1+x2, cette décomposition convient bien.
Donc Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E. Soit x ∈ E, qu'on décompose en x = x1 +x2 avec x1∈Im(f)etx2∈Ker(f). Alorsf(x2) = 0E et∃y∈E tel que f(y) =x1, on a donc puisquef ◦f =f :
f(x) =f(x1) +f(x2) =f◦f(y) + 0E =f(y) =x1.
Donc f est bien le projecteur de E surIm(f) parallèlement àKer(f).
Exemple 11. Soit f l'application linéaire dénie de R2 dans R2 par : ∀(x, y) ∈ R2, f((x, y)) = (4x−6y,2x−3y).
Montrer quef est un projecteur, en précisant ses caractéristiques.
Soit(x, y)∈R2. On a :
f◦f((x, y)) =f((4x−6y,2x−3y)) = (16x−24y−12x+ 18y,8x−12y−6x+ 9y) = (4x−6y,2x−3y) =f((x, y)).
Doncf◦f =f, etf est un projecteur. On va maintenant chercher son noyau et son image :
Soit (x, y)∈R2,
(x, y)∈Ker(f)⇐⇒f((x, y)) = (0,0)
⇐⇒(4x−6y,2x−3y) = (0,0)
⇐⇒2x−3y= 0
⇐⇒(x, y) = x 3(3,2)
⇐⇒(x, y)∈Vect((3,2)),
Ce qui nous donne par double inclusion Ker(f) = Vect((3,2)). Soit u∈Im(f). Alors il existe(x, y)∈R2 tels que :
u=f((x, y)) = (4x−6y,2x−3y) =x(4,2) +y(−6,−3).
Or(4,2) =f((1,0))∈Im(f)et(−6,−3) =f((0,1))∈Im(f). Donc((4,2),(−6,−3))est une famille génératrice de Im(f) etIm(f) = Vect((4,2),(−6,−3)).
On cherche maintenant à simplier au maximum cette expression. On remarque que(−6,−3) =−32(4,2), donc Im(f) = Vect((4,2)).
Doncf est le projecteur surVect((4,2))parallèlement à Vect((3,2)).
Rmq : pour l'image, comme il s'agit d'un projecteur, on pouvait aussi chercherKer(f −Id).
