Æ Applications linéaires

(1)

Synthèse de cours (CPGE)

Æ Applications linéaires

Applications linéaires

Définition

Soit E et F deux K-espaces vectoriels et ϕ une application de E dans F.

On dit que ϕ est une « application linéaire » si on a :

( )

^{x y}^, ^{E F,}

(

^{α β}^,

)

²^,^f

(

^α^x ^β^y

)

^α^{f x}

( )

^β ^{f y}

( )

∀ ∈ × ∀ ∈K + = +

En d’autres termes, l’application ϕ est, dans ce cas, un morphisme de E dans F pour chacune des lois de E et F.

L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté :

L (

^{E, F}

)

ou, lorsque E et F sont confondus :

L ( )

^E ^.

Vocabulaire

Soit ϕ une application linéaire de E dans F.

Si F=E, on dit que ϕ est un « endomorphisme de E ».

Si F=K, on dit que ϕ est une « forme linéaire sur E ». L’ensemble

L (

^E,^K

)

des formes linéaires sur E est noté E* et est appelé « espace dual » de l’espace vectoriel E.

Si ϕ est bijective, on dit que ϕ est un « isomorphisme de E dans F ». Un endomorphisme bijectif est appelé « automorphisme ». L’ensemble des automorphismes de E est appelé

« groupe linéaire de E » et est noté :

GL ( )

^E ^.

(2)

Théorème

Soit E et F deux K-espaces vectoriels.

Si ϕ est un isomorphisme de E dans F (respectivement automorphisme de E) alors l’application réciproque ϕ⁻¹ est un isomorphisme de F dans E (respectivement automorphisme de E).

Théorème

Soit E et F deux K-espaces vectoriels.

L’ensemble

L (

^{E, F}

)

des applications linéaires de E dans F est un sous-espace vectoriel de l’ensemble F des applications de E dans F. ^E

On retiendra que toute combinaison linéaire (y compris la combinaison linéaire nulle) d’applications linéaires est une application linéaire.

Théorème

Soit E, F et G trois K-espaces vectoriels.

L’application Φ définie par :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E, F F, G E, G

: f g, f g, g fo

× →

Φ ⎨⎧⎪

Φ =

⎪⎩ 6

L L L

est bilinéaire ; c'est-à-dire :

(

f f1, 2

) ( (

E, F

) )

², g

(

F, G ,

) (

α β,

)

², og

(

α f1 β f2

)

αg fo1 βg fo 2

∀ ∈

L

∀ ∈

L

∀ ∈^K + = +

et :

(

g g1, 2

) ( (

F, G

) )

², f

(

E, F ,

) (

α β,

)

²,

(

αg1 βg2

)

of αg f1o βg f2o

∀ ∈

L

∀ ∈

L

∀ ∈^K + = +

(3)

Noyau et image d’une application linéaire

Définitions

Soit E et F deux K-espaces vectoriels et ϕ une application linéaire de E dans F.

On appelle « noyau de l’application linéaire ϕ », noté « kerϕ », l’ensemble des vecteurs de E dont l’image par ϕ est le vecteur nul de F (c'est-à-dire l’ensemble des antécédents du vecteur nul de F) :

{ ( )

F

}

¹

( { }

F

)

kerϕ= x∈E /ϕ x =0 =ϕ⁻ 0

On appelle « image de l’application linéaire ϕ », noté Imϕ, l’ensemble des vecteurs de F images par ϕ de vecteurs de E :

{ ( ) } ( )

Imϕ = y∈F /∃ ∈x E, Ey=ϕ x =ϕ

Remarque : ϕ⁻¹

( { }

0F

)

désigne l’image réciproque du singleton

{ }

0F , c'est-à-dire l’ensemble des antécédents par ϕ du vecteur nul de F.

Théorème

Le noyau de ϕ est un sous-espace vectoriel de E et l’image de ϕ est un sous-espace vectoriel de F.

Théorème

ϕ est injective ⇔kerϕ =

{ }

0E

ϕ est bijective ⇔Imϕ =F

(4)

Projecteurs et symétries

Définitions

Soit E un K-espaces vectoriel.

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Pour tout x de E, il existe un unique couple de vecteurs

(

x xF, G

)

de F G× tel que :

F G

x=x +x

Le vecteur x_F (respectivement x_G) est appelé « projeté de x sur F parallèlement à G » (respectivement sur G parallèlement à F) et l’application : pF:x6 pF

( )

x =xF

(respectivement pG:x6 pG

( )

x =xG) est appelée « projection sur F parallèlement à G » (respectivement « projection sur G parallèlement à F).

pF et p_G sont des endomorphismes de E appelés « projecteurs de E ».

On a :

ker pF=G et Imp_F =F

(respectivement : kerp_G=F et Imp_G =G)

Le vecteur xF−xG =

(

pF−pG

)( )

x (respectivement xG−xF =

(

pG−pF

)( )

x ) est appelé

« symétrique de x par rapport à F parallèlement à G » (respectivement par rapport à G parallèlement à F) et l’application sF:x6xF−xG =

(

pF−pG

)( )

x (respectivement

( )( )

G: G F G F

s x6x −x = p − p x ) est appelé « symétrie par rapport à F parallèlement à G » (respectivement « symétrie par rapport à G parallèlement à F »).

sF et s_G sont des endomorphismes de E appelés « symétries de E ».

Remarques :

• p_F+p_G =id_E ;

• A partir de s_F = p_F−p_G et p_F+ p_G=id_E, on obtient :

( )

F E F

1 id

p =2 +s et G

(

E F

)

1 id p = 2 −s Symétriquement :

( )

F E G

1 id

p = 2 −s et G

(

E G

)

1 id p = 2 +s

(5)

Théorème

Soit E un K-espaces vectoriel.

Soit ϕ un endomorphisme de E.

On a :

ϕ projecteur ⇔ϕ ϕ ϕo = ϕ symétrie ⇔ϕ ϕo =id_E

Applications linéaires en dimension finie

Image d’une base

Soit E et F deux K-espaces vectoriels, E de dimension finie p.

Soit

^B

⁼

(

^{e e}¹^, ²^,...,^e^p

)

une base de E.

L’application linéaire ϕ est complètement définie par la donnée des images

( )

e1

ϕ , ϕ

( )

e2 , …, ^ϕ

( )

^e^p des vecteurs de la base

B

^:

( ) ( ) ( )

(

¹ ²

)

Imϕ =Vect ϕ e ,ϕ e ,...,ϕ e_p

Rang d’une application linéaire

Définition

Soit E et F deux K-espaces vectoriels, E de dimension finie p.

Soit

^B

⁼

(

^{e e}¹^, ²^,...,^e^p

)

une base de E.

La dimension de ^Im^ϕ ⁼^Vect

(

^ϕ

( ) ( )

^e¹ ^,^ϕ ^e² ^,...,^ϕ

( )

^e^p

)

est appelé « rang de l’application

(6)

Théorème

Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, p et n respectivement.

Soit

^B

⁼

(

^{e e}¹^, ²^,...,^e^p

)

une base de E.

On a :

ϕ injective^⇔

(

^ϕ

( ) ( )

^e¹ ^,^ϕ ^e² ^,...,^ϕ

( )

^e^p

)

est libre dans F ⇔rgϕ= p ϕ surjective^⇔

(

^ϕ

( ) ( )

^e¹ ^,^ϕ ^e² ^,...,^ϕ

( )

^e^p

)

est génératrice de F ⇔rgϕ=n ϕ bijective^⇔

(

^ϕ

( ) ( )

^e¹ ^,^ϕ ^e² ^,...,^ϕ

( )

^e^p

)

est une base de F ⇔rgϕ= =p n

Remarques :

• Pour toute application linéaire ϕ : ^rg^ϕ^≤^inf

(

^{p n}^,

)

^;

• ^dim

L (

^{E, F}

)

⁼^np^.

Théorème du rang

Soit E et F deux K-espaces vectoriels, E de dimension finie.

Dans ces conditions, Im f est isomorphe à tout supplémentaire de ker f dans E et on a : dim ker f +rgf =dimE