Applications Linéaires. I.Généralités

Applications Linéaires.

I. Généralités

Soient E et F deux espaces vectoriels sur ℝ Définition

:

Un application f de E dans F est une application linéaire si l'image d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs est la combinaison linéaire des images de ces vecteurs.

Autrement dit :

∀x_1,..., x_p∈E ∀ λ_1,...,λ_p∈ℝ f(λ₁x₁+...+λ_px_p)=λ₁ f(x₁)+...+λ_p f(x_p) En particulier : ∀x , y∈E ∀ λ,μ∈ℝ f (λx+μy)=λ f(x)+μ f (y)

On note l'ensemble des applications linéaire de E dans F L(E , F) . Proposition

:

f est une application linéaire si et seulement si :

∀x , y∈E ∀ λ ∈ℝ f(λx+y)=λ f(x)+f(y) Exemple :

-L'application Id_E définie par ∀x∈E Id_E(x)=x est une application linéaire qu'on appelle l'identité de E ou l'application identité de E.

-Les applications linéaires de R dans R sont exactement les applications de la forme f(x)=ax où a∈ℝ en effet :

si f est de la forme f (x)=ax , alors f est linéaire, car :

∀x , y∈E ∀ λ ∈ℝ f (λx+y)=a(λx+y)=λax+ay=λ f (x)+f (y) Réciproquement , soit ^{f ∈L(ℝ,ℝ)} .

Alors, pour tout _∀x∈ℝ , f (x×1)=x×f(1)

Ainsi, avec a=f (1) , on a bien ∀x∈ℝ f(x)=ax

II. Application du calcul matriciel aux applications linéaires

Soit une application linéaire f définie de ℝ^p vers ℝⁿ .

On désigne par ₍e_1, . . . ,e_p) les vecteurs de la base canonique de _ℝ^p . Soit un vecteur quelconque v de

v=

(

)

Calculons f (v) :

f (v) = f(x₁e₁+x₂e₂+...+x_pe_p) = x₁ f(e₁)+x₂ f (e₂)+...+x_p f(e_p)

En désignant par ₍e_1, . . . ,e_n) les vecteurs de la base canonique de _ℝⁿ on aura :

f(e₁)=

(

)

⁽

⁾

(

)

on peut alors poser A= [f (e₁), . . . , f (e_p)] ∈ M_{n , p}(ℝ) et finalement on a :

f (v)=[f (e₁), . . . , f(e_p)]v=Av ∈ ℝⁿ

Le résultat du produit matriciel Av représente alors l’image par f du vecteur v dans la base canonique de ℝⁿ et A ∈ M_{n , p}(ℝ) représente l’application linéaire f ∈L(E , F) par rapport aux base canoniques de ℝ^p et de ℝⁿ .

Réciproquement, toute matrice A de n lignes et p colonnes peut s’interpréter comme une application linéaire de ℝ^p vers ℝⁿ relativement à deux bases fixées.

Notation :

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F. On note Mat_{B , B '}(f) la matrice de f relativement à B et à B'.

Remarques

:

Comme _ℝ^p et _ℝⁿ ont une infinité de bases, une application linéaire a une infinité de représentations matricielle, mais il existe une unique représentation de f par rapport à deux bases fixées.

L’équation matricielle Av = b est équivalente à l'équation f (v) = b où b est l’image de v par f ce qui revient à dire que v est un antécédent de b par f.

Attention cependant, on ne peut identifier une application linéaire a une matrice que dans le cadre des espaces vectoriels de dimensions finis.

Exemple :

Détermination pratique de la matrice d'une application linéaire. (TODO:)

III. Image et noyau d'une application linéaire

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F.

Définition

:

On appelle image de l'application linéaire f et on note ℑm( f) l'ensemble des images de E par f , f (E) , c'est un sous-ensemble de F défini par :

ℑm( f)={v∈F tel que∃u , f(u)=v}

Exemple : Définition:

On appelle noyau de l'application linéaire f et on note ker(f) l'ensemble définit par : ker(f )={u∈E tel que f (u)=0}

Remarque :

Soit A= Mat_{B , B '}(f ) . Av=0 signifie que v∈ker(f) . On peut donc parler du noyau de A qui correspond au noyau de l’application linéaire représentée par A.

Proposition :

a) f (E)=ℑm(f ) est un sous-espace vectoriel de F.

b) ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration :

a) i) _ℑm(f)⊂E et 0∈ ℑm( f) car f (0)=0 .

ii) Soient x , x '∈ℑm(E) et λ ∈ℝ . ∃y , y '∈E tels que y=f(x), y '=f (x ') . Alors λy+y '=λ f (x)+f (x ')=f (λx+x ') . Donc λx+x '∈ℑm(E) .

b) i) ker(f)⊂E , donc 0∈ker(f ) .

ii) Soient x , y∈E et λ ∈ℝ . On a : f(λx+y)=λ f (x)+f (y)=λ0+0=0 Définition:

La dimension de ℑm( f) est appelé le rang de l'application linéaire f et on le note rg(f) , on a donc : rg( f) =dim( _ℑm( f) ).

Remarque

:

Soit A= Mat_{B , B '}(f ) . Av=b signifie que b∈ℑm( f) . On peut donc parler de l'image et du rang de la matrice A qui correspondent à l'image et au rang de f.

Théorème du rang :

dim(E)=dim(ℑm(f ))+dim(ker(f ))=rg(f)+dim(ker(f)) .

IV. Injectivité, surjectivité et bijectivité

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , et f une application linéaire de E dans F.

Définition

:

Une application g:E→F est dite injective si des éléments distinct de E on des images distinctes c'est à dire : soient u , v∈E :

u≠v⇒g(u)≠g(v) ou par contraposition g(u)=g(v)⇒u=v

Proposition

:

f est injective si et seulement si ker(f)={0}

Définition

:

Une application g:E→F est dite surjective si tout vecteur v de F possède au moins un antécédent u par f dans E autrement dit : ∀v∈F ∃u∈E tel que g(u)=v

Proposition

:

f est surjective si et seulement si f (E)=ℑm(f)=F

Définition

:

Une application g:E→F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Proposition

:

si f est bijective alors dim E=dim F

Définition

:

Une application f∈L(E , F) est aussi appelée un morphisme.

Une application f∈L(E , E) est appelée un endomorphisme.

Une application bijective f ∈L(E , F) est appelée un isomorphisme.

Une application bijective f ∈L(E , E) est appelée un automorphisme.

V. Opérations sur les applications linéaires.

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur ℝ , B une base de E, B' une base de F et f une application linéaire de E dans F.

a. Addition de deux applications linéaires

Définition

:

Soient f , g∈L(E , F) l'addition de f et de g , qu'on note f+g , est l'application définie par : ∀x∈E (f+g)(x)=f (x)+g(x)

Proposition:

L(E , F) muni de la loi d'addition définie précédemment est un groupe commutatif.

Démonstration

:

b. Multiplication par un scalaire

Définition

:

Soit f ∈L(E , F) et λ ∈ℝ la multiplication f par par le scalaire λ , qu'on note λ f , est l'application définie par : ∀x∈E (λ f)(x)=λ f (x)

Proposition:

L(E , F) muni de la lois additive et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel.

Démonstration

:

TODO : Remarque

:

L(E , F) et M_{n , p}(ℝ) sont deux espaces vectoriels de même dimension. Ils sont « équivalant ».

c. Composition de deux applications linéaires

Définition

:

Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f ∈L(E , F) et g∈L(F , G) . On définit la loi de composition de deux applications linéaires f et g , et on note g∘f l'application :

h∈L(E , G) définie par : ∀x∈E g∘f(x)=g(f(x))

Proposition:

Soient E, F et G trois espaces vectoriels :

i) Si g∈L(F ,G) et f_1,f₂∈L(E , F) alors g∘(f₁+f₂)=g∘f₁+g∘f₂ ii) Si, g_1,g₂∈L(F ,G) et h∈L(E , F) alors (g₁+g₂)∘h=g₁∘h+g₂∘h

iii) Si λ ∈ℝ et f ∈L(E , F) g∈L(F , G) alors λ (g∘ f)=(λg)∘ f =g∘(λ f )

d. Application réciproque d'une application linéaire

Définition

:

Soit f∈L(E , F) une application linéaire bijective, on appelle application réciproque f et on note f⁻¹ l'application f⁻¹∈L(F , E) qui à y=f(x) associe x.

Proposition :

Soit f∈L(E , F) alors f ∘f⁻¹=Id_F et f⁻¹∘f=Id_E Remarque

:

Inverse matrices...