Université de Cergy-Pontoise 2015/2016 L1 - MIPI
Examen d’Algèbre Linéaire (Lundi 11 janvier 2016 – durée 3 heures)
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Questions de Cours.SoitEun espace vectoriel réel de dimensionn ∈N∗ . 1. SoitF ={v1, v2, . . . , vk}une famille de vecteurs deE.
(a) Rappeler la définition de "F est une famille génératrice deE".
(b) Si possible, donner une famille génératrice deR3 comprenant quatre vecteurs.
2. SoitF un (autre) espace vectoriel réel etf :E →F une application linéaire.
(a) Compléter :f injective ⇔ker(f) =...
(b) Définir le rang def. Quel lien y a-t-il entre le rang def et la dimension deKerf ? 3. On donne trois matrices réelles :
A=
−1 2 3 5
, B =
2 0 −1
−1 1 2
, C =
1 0 3 2 1 2 0 2 3
.
CalculerA2, A×B, detA et detC
Exercice 1.On note(D)la droite de l’espace passant par les pointsAetBde coordonnées respectives (2,5,−3)et(3,4,−2).
(a) Donner les équations paramétriques de la droite(D).
(b) En déduire les équations cartésiennes de la droite(D).
(c) Trouver une équation cartésienne d’un plan(P)passant par l’origine et contenant(D).
Exercice 2.Dans l’espace vectoriel réelR3considérons les trois vecteurs :
V1 =
2
−1 1
, V2 =
1
−3
−2
, et V3 =
1 7 8
.
La famille{V1, V2, V3}forme-t-elle une base deR3? Justifiez votre réponse.
Exercice 3.Dans l’espace vectoriel réelR3, on considère le sous-ensemble P ={(x, y, z)∈R3 tels que2x−y+ 2z = 0}.
1. Montrer queP est un sous-espace vectoriel deR3 .
2. Donner une base deP en justifiant qu’il s’agit bien d’une base.
1 Tournez la page S.V.P.−→
Exercice 4.Soitf l’application deR3 dansR3 définie par
f(x, y, z) = (2x+z, z−y,2x+y).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Donner la matrice def dans la base canonique deR3. 3. Déterminer une base deker(f).
4. L’applicationf est-elle bijective ?
5. Appliquer le théorème de rang pour trouver la dimension deIm(f).
6. Trouvez une base deIm(f)en justifiant votre méthode.
Exercice 5.On munitR2 de la base canoniqueB={e1, e2}avece1 = 1
0
ete2 = 0
1
. Soitf :R2 −→R2une application linéaire dont la matrice relativement à la baseBest :
A=MB,B(f) =
2 3 4 1
.
1. Soit un vecteuru∈R2 admettant x
y
pour coordonnées dans la baseB. Déterminerf(u).
2. On change la baseBen la baseB0 ={v, w}oùv =−3e1+ 4e2 etw=e1+e2. Donner la matrice de passageP deBàB0 .
3. Déterminer la matriceA0 = MB0,B0(f) def relativement à la base B0 et vérifier que A0 est une matrice diagonale.
4. (a) Calculer(A0)nen fonction den.
(b) ExprimerAen fonction deA0 et deP. (c) En déduireAnen fonction den.
5. On considère la matrice
G=
2 3 0 4 1 0 0 0 7
.
En utilisant le résultat de (c) de la question précédente, calculerGnen fonction den.
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