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Soit V un espace vectoriel réel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 13 pour le 08/03/18 29 juin 2019

Soit V un espace vectoriel réel

1

et L(V ) l'espace vectoriel de ses endomorphismes.

Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on note

f 0 = Id V , f k = f ◦ · · · ◦ f

| {z }

k

fois

On désigne par E l'espace des polynômes à coecients réels et, pour un entier n , par E n

l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n . E = R [X ], E n = R n [X]

Soit D l'endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q

0

et D n la restriction de D à E n qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q

0

.

L'objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels

∃g ∈ L(E) tel que λ Id E +D = g 2

et de préciser éventuellement cet endomorphisme g . On se pose la même question pour l'endomorphisme λ Id E

n

+D n .

Préliminaires : noyaux itérés

Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V .

1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k pour k = 1, 2, · · · est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :

ker f 0 ⊂ ker f 1 ⊂ · · · ⊂ ker f k ⊂ ker f k+1 ⊂ · · ·

2. Montrer que s'il existe un entier p tel que ker f p = ker f p+1 , alors :

∀k ≥ p, ker f k = ker f p

3. Montrer que lorsque V est de dimension nie n , la suite des dimensions des ker f k est constante à partir d'un rang p ≤ n . En déduire en particulier ker f n = ker f n+1 . 4. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension nie n pour lequel

il existe un entier q ≥ 1 tel que u q soit l'endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u n est l'endomorphisme nul.

1

Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 2001 PC.

Partie I.

Dans cette partie, on se donne un λ ∈ R pour lequel il existe g satisfaisant à la relation étudiée et on établit des propriétés de g . On donne aussi un exemple.

1. Restrictions et commutations.

a. Soit n ∈ N et g n ∈ L(E n ) (on rappelle que E n = R n [X ] ) tel que g n 2 = λId E

n

+D n . Montrer que g n commute avec D n c'est à dire g n ◦ D n = D n ◦ g n .

Montrer que, pour tout p ∈ J 0, n K, le sous-espace E p est stable par g n . On note g p la restriction de g n à E p , montrer que :

g 2 p = λId E

p

+ D p

b. Soit g ∈ L(E) (on rappelle que E = R [X ] ) tel que g 2 = λId E + D . Montrer que g commute avec D c'est à dire g ◦ D = D ◦ g .

Montrer que, pour tout n ∈ N, le sous-espace E n est stable par g . On note g n la restriction de g à E n , montrer que :

g n 2 = λId E

n

+ D n

2. Caractérisation des sous-espaces stables.

Soit g ∈ L(E) tel que g 2 = λId E + D et n ∈ N.

a. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de E et stable par D . On note D F ∈ L(F ) la restriction de D à F .

Montrer que D F est nilpotent. En déduire que F = E n = R n [X] .

Déterminer les sous-espaces vectoriels (de dimension nie ou non) de E stables par D .

b. Montrer qu'un sous-espace vectoriel G de E est stable par g si et seulement si il est stable par D .

3. Une application immédiate : le cas λ < 0 .

a. Préciser une condition nécessaire sur λ ∈ R pour qu'il existe g 0 ∈ L(E 0 ) (on rappelle que E 0 = R 0 [X] ) tel que g 2 0 = λId E

0

+ D 0 .

b. Soit λ < 0 et n ∈ N, déduire des questions précédentes les propriétés suivantes.

Il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g 2 = λId E + D .

Pour tout n ∈ N, il n'existe pas de g n ∈ L(E n ) tel que g 2 n = λId E

n

+ D n . 4. Base adaptée à un endomorphisme nilpotent.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1713E

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MPSI B Année 2017-2018. Énoncé DM 13 pour le 08/03/18 29 juin 2019

a. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n + 1 et f ∈ L(V ) tel que f n+1 soit l'endomorphisme nul sans que f n le soit.

Montrer qu'il existe un vecteur y ∈ V tel que

B = (y, f (y), f 2 (y), · · · , f n (y)) soit une base de V .

b. Lorsque V = E n et f = D n , comment peut-on choisir Y ∈ R n [X ] = E n pour que B n = (Y, D n (Y ), D n 2 (Y ), · · · , D n n (Y ))

soit une base de V ? 5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Montrer que, pour tout h ∈ L(E 2 ) ,

h commute avec D 2 ⇔ ∃(a, b, c) ∈ R 3 tels que h = aId E

2

+ bD 2 + cD 2 2 b. Montrer que Id E

2

, D 2 , D 2 2 est une famille libre. Dans quel espace vectoriel ?

c. En déduire qu'il existe exactement deux g ∈ L(E 2 ) que l'on précisera vériant g 2 = λId E

2

+ D 2

Partie II.

On étudie ici le cas λ = 0 puis on considére une relation plus générale.

1. Soit n ∈ N.

a. Montrer que, s'il existe g n ∈ L(E n ) tel que g n 2 = D n , alors g n est nilpotent et dim(ker g n 2 ) ≥ 2.

b. En déduire qu'il n'existe pas de g n ∈ L(E n ) tel que g n 2 = D n . Montrer qu'il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g 2 = D .

2. Soit m et k entiers avec m ≥ 1 et k ≥ 2 , soit g ∈ L(E) tel que g k = D m

a. Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.

b. Pour q ∈ J 0, k K, montrer que ker g q est de dimension nie.

c. Soit p ∈ J 2, k K. et Φ l'application dénie dans ker g p par :

∀P ∈ ker g p : Φ(P ) = g(P )

Montrer que Φ est linéaire de ker g p et à valeurs dans ker g p−1 . Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions de ker g p et de ker g p−1 . Quelle est la dimension de ker g p en fonction de ker g ?

3. Établir une condition nécessaire et susante sur m et k pour qu'il existe g ∈ L(E) tel que g k = D m .

Partie III.

Dans cette partie, on utilise des coecients d'un développement limité pour exprimer des solutions du problème étudié.

1. On considère la fonction à valeurs réelles ϕ dénie dans [−1, +∞[ :

∀x ∈ [−1, +∞[, ϕ(x) = √ 1 + x

a. Montrer que ϕ admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Pour k ∈ N, on note b k le coecient de x k dans ces développements limités en 0 .

∀n ∈ N , ϕ(x) = b 0 + b 1 x + · · · + b n x n + o(x n ) b. Préciser b 0 , b 1 , b 2 , b 3 . Montrer que

∀k ≥ 1, b k = (−1) k−1 (2k − 1)2 2k−1

2k − 1 k

c. Montrer que

∀m ∈ N ,

m

X

k=0

b k b m−k =

( 1 si m ≤ 1 0 si m ≥ 2 2. Soit n ∈ N

, on dénit g n ∈ L(E n ) (on rappelle que E n = R n [X] ) par :

g n =

n

X

k=0

b k D n k avec la convention D n 0 = Id E

n

Montrer que g 2 n = Id E

n

+D n .

3. Soit λ > 0 et n ∈ N

, montrer qu'il existe un g n ∈∈ L(E n ) (à préciser) tel que g 2 n = λ Id E

n

+D n

Justier l'expression d'un g ∈ L(E) tel que g 2 = λ Id E +D

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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