Soit V un espace vectoriel réel

Énoncé

Soit V un espace vectoriel réel

et L(V ) l'espace vectoriel de ses endomorphismes.

Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on note

f ⁰ = Id V , f ^k = f ◦ · · · ◦ f

| {z }

k

On désigne par E l'espace des polynômes à coecients réels et, pour un entier n , par E n

l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n . E = R [X ], E _n = R n [X]

Soit D l'endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q

et D _n la restriction de D à E _n qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q

.

L'objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels

∃g ∈ L(E) tel que λ Id _E +D = g ²

et de préciser éventuellement cet endomorphisme g . On se pose la même question pour l'endomorphisme λ Id E

+D n .

Préliminaires : noyaux itérés

Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V .

1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f ^k pour k = 1, 2, · · · est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :

ker f ⁰ ⊂ ker f ¹ ⊂ · · · ⊂ ker f ^k ⊂ ker f ^k+1 ⊂ · · · 2. Montrer que s'il existe un entier p tel que ker f ^p = ker f ^p+1 , alors :

∀k ≥ p, ker f ^k = ker f ^p

3. Montrer que lorsque V est de dimension nie n , la suite des dimensions des ker f ^k est constante à partir d'un rang p ≤ n . En déduire en particulier ker f ⁿ = ker f ⁿ⁺¹ . 4. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension nie n pour lequel

il existe un entier q ≥ 1 tel que u ^q soit l'endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u ⁿ est l'endomorphisme nul.

1

Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 2001 PC.

Partie I.

Dans cette partie, on se donne un λ ∈ R pour lequel il existe g satisfaisant à la relation étudiée et on établit des propriétés de g . On donne aussi un exemple.

1. Restrictions et commutations.

a. Soit n ∈ N et g n ∈ L(E n ) (on rappelle que E n = R n [X ] ) tel que g _n ² = λId E

+D n . Montrer que g n commute avec D n c'est à dire g n ◦ D n = D n ◦ g n .

Montrer que, pour tout p ∈ J 0, n K, le sous-espace E p est stable par g n . On note g p la restriction de g n à E p , montrer que :

g ² _p = λId E

+ D p

b. Soit g ∈ L(E) (on rappelle que E = R [X ] ) tel que g ² = λId E + D . Montrer que g commute avec D c'est à dire g ◦ D = D ◦ g .

Montrer que, pour tout n ∈ N, le sous-espace E n est stable par g . On note g n la restriction de g à E n , montrer que :

g _n ² = λId E

+ D n

2. Caractérisation des sous-espaces stables.

Soit g ∈ L(E) tel que g ² = λId E + D et n ∈ N.

a. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de E et stable par D . On note D F ∈ L(F ) la restriction de D à F .

Montrer que D F est nilpotent. En déduire que F = E n = R n [X] .

Déterminer les sous-espaces vectoriels (de dimension nie ou non) de E stables par D .

b. Montrer qu'un sous-espace vectoriel G de E est stable par g si et seulement si il est stable par D .

3. Une application immédiate : le cas λ < 0 .

a. Préciser une condition nécessaire sur λ ∈ R pour qu'il existe g ₀ ∈ L(E ₀ ) (on rappelle que E ₀ = R 0 [X] ) tel que g ² ₀ = λId _E

+ D ₀ .

b. Soit λ < 0 et n ∈ N, déduire des questions précédentes les propriétés suivantes.

Il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g ² = λId _E + D .

Pour tout n ∈ N, il n'existe pas de g _n ∈ L(E _n ) tel que g ² _n = λId _E

+ D _n .

4. Base adaptée à un endomorphisme nilpotent.

a. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n + 1 et f ∈ L(V ) tel que f ⁿ⁺¹ soit l'endomorphisme nul sans que f ⁿ le soit.

Montrer qu'il existe un vecteur y ∈ V tel que

B = (y, f (y), f ² (y), · · · , f ⁿ (y))

soit une base de V .

b. Lorsque V = E _n et f = D _n , comment peut-on choisir Y ∈ R n [X ] = E _n pour que B n = (Y, D n (Y ), D _n ² (Y ), · · · , D _n ⁿ (Y ))

soit une base de V ? 5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Montrer que, pour tout h ∈ L(E 2 ) ,

h commute avec D 2 ⇔ ∃(a, b, c) ∈ R ³ tels que h = aId E

+ bD 2 + cD ² ₂ b. Montrer que Id _E

, D ₂ , D ₂ ² est une famille libre. Dans quel espace vectoriel ?

c. En déduire qu'il existe exactement deux g ∈ L(E ₂ ) que l'on précisera vériant g ² = λId E

+ D 2

Partie II.

On étudie ici le cas λ = 0 puis on considére une relation plus générale.

1. Soit n ∈ N.

a. Montrer que, s'il existe g n ∈ L(E n ) tel que g _n ² = D n , alors g n est nilpotent et dim(ker g _n ² ) ≥ 2.

b. En déduire qu'il n'existe pas de g n ∈ L(E n ) tel que g _n ² = D n . Montrer qu'il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g ² = D .

2. Soit m et k entiers avec m ≥ 1 et k ≥ 2 , soit g ∈ L(E) tel que g ^k = D ^m

a. Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.

b. Pour q ∈ J 0, k K, montrer que ker g ^q est de dimension nie.

c. Soit p ∈ J 2, k K. et Φ l'application dénie dans ker g ^p par :

∀P ∈ ker g ^p : Φ(P ) = g(P )

Montrer que Φ est linéaire de ker g ^p et à valeurs dans ker g ^p−1 . Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions de ker g ^p et de ker g ^p−1 . Quelle est la dimension de ker g ^p en fonction de ker g ?

3. Établir une condition nécessaire et susante sur m et k pour qu'il existe g ∈ L(E) tel que g ^k = D ^m .

Partie III.

Dans cette partie, on utilise des coecients d'un développement limité pour exprimer des solutions du problème étudié.

1. On considère la fonction à valeurs réelles ϕ dénie dans [−1, +∞[ :

∀x ∈ [−1, +∞[, ϕ(x) = √ 1 + x

a. Montrer que ϕ admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Pour k ∈ N, on note b k le coecient de x ^k dans ces développements limités en 0 .

∀n ∈ N , ϕ(x) = b 0 + b 1 x + · · · + b n x ⁿ + o(x ⁿ ) b. Préciser b 0 , b 1 , b 2 , b 3 . Montrer que

∀k ≥ 1, b k = (−1) ^k−1 (2k − 1)2 ^2k−1

2k − 1 k

c. Montrer que

∀m ∈ N ,

m

X

k=0

b _k b _m−k =

( 1 si m ≤ 1 0 si m ≥ 2 2. Soit n ∈ N

, on dénit g n ∈ L(E n ) (on rappelle que E n = R n [X] ) par :

g n =

n

X

k=0

b k D _n ^k avec la convention D _n ⁰ = Id E

Montrer que g ² _n = Id E

+D n .

3. Soit λ > 0 et n ∈ N

, montrer qu'il existe un g n ∈∈ L(E n ) (à préciser) tel que g ² _n = λ Id E

+D n

Justier l'expression d'un g ∈ L(E) tel que g ² = λ Id E +D

Corrigé

Préliminaires

1. Comme f ⁰ est l'identité, son noyau {0 V } est inclus dans ker f . Pour k ∈ N

,

∀x ∈ V, x ∈ ker f ^k ⇒ f ^k (x) = 0 _V ⇒ f f ^k (x)

= f (0 _V ) = 0 _V ⇒ x ∈ ker f ^k+1 Ce qui montre la chaîne d'inclusions demandée.

2. Soit p un entier tel que ker f ^p = ker f ^p+1 , nous allons montrer que ker f ^p+2 ⊂ ker f ^p+1

Cela entrainera que ker f ^p = ker f ^p+1 = ker f ^p+2 à cause de l'inclusion toujours valide ker f ^p+1 ⊂ ker f ^p+2 . On peut alors déduire par récurrence l'égalité de tous les noyaux suivants.

Il s'agit donc de montrer que ker f ^p+2 ⊂ ker f ^p+1 . Cela résulte de

∀x ∈ V, x ∈ ker f ^p+2 : f ^p+1 (f (x)) = 0 V ⇒ f (x) ∈ ker f ^p+1 = ker f ^p

⇒ f ^p+1 (x) = f ^p ( f (x

|{z}

∈ker

f

)) = 0 V ⇒ x ∈ ker f ^p+1

3. On suppose que V est de dimension nie, tous les sous-espace de V sont alors de dimension nie. La suite dim ker f ^k

k∈

dénit une fonction croissante de N dans l'ensemble ni J 0, dim V K. Une telle suite ne peut pas être strictement croissante car elle serait injective. Il existe donc des entiers k tels que dim f ^k < dim f ^k+1 soit faux ce qui entraine dim f ^k = dim f ^k+1 car dim f ^k ≤ dim f ^k+1 . Soit p le plus petit de ces k . Il vérie

0 = dim(ker f ⁰ ) < dim(ker f ¹ ) < · · · < dim(ker f ^p ) = dim(ker f ^p+1 ) ≤ dim V = n Comme les premières inégalités sont strictes et qu'il y en a p , on obtient

p ≤ dim(ker f ^p ) ≤ n

D'après un résultat de cours sur les sous-espaces en dimension nie : dim(ker f ^p ) = dim(ker f ^p+1 )

ker f ^p ⊂ ker f ^p+1 )

⇒ ker f ^p = ker f ^p+1

L'égalité se propage alors (d'après 2.) à tous les k ≥ p parmi lesquels gure n ce qui entraine ker f ⁿ = ker f ⁿ⁺¹ .

4. Dans cette question, l'endomorphisme u est nilpotent. D'après la question précédente, la suite croissante des ker u ^k se stabilise avant n à sa valeur nale qui est V tout entier. On en déduit qu'il existe un p ≤ n tel que V = ker u ^p .

On en tire que V = ker u ⁿ c'est à dire que u ⁿ est l'endomorphisme nul.

Partie I.

1. a. La relation g _n ² = λId E

+ D n (entre des éléments de L(E n ) ) permet d'exprimer D n en fonction de g n :

D _n = −λId E

+ g ² _n

Sous cette forme, il est évident que D _n commute avec g _n .

Pour montrer qu'un sous-espace E _p (avec 0 ≤ p ≤ n ) est stable par g , on remarque que c'est un noyau. En eet :

E p = R p [X ] = ker D ^p+1 _n

Comme g n commute avec D n , il commute aussi avec les puissance de D n . En particulier

x ∈ E _p = ker D _n ^p+1 ⇒ D _n ^p+1 (g _n (x)) = g _n (D ^p+1 _n (x)) = g _n (0 _E

) = 0 _E

⇒ g n (x) ∈ ker D ^p+1 _n = E p

Une fois prouvée la stabilité de E _p par g _n , on peut considérer la restriction g _p de g n à E p . Elle vérie évidemment la même relation que g n .

b. Le raisonnement est le même que pour la question précédente. Le fait que E ne soit pas de dimension nie ne change rien. Si g vérie la relation, il commute donc avec l'opérateur de dérivation.

Comme plus haut, E n est stable par g car c'est un noyau d'une puissance de D n

et la restriction g _n de g vérie la même relation avec la restriction D _n de D . 2. a. L'opérateur D F est la restriction à F de l'opérateur de dérivation. Comme F est

de dimension nie, il existe un entier k qui est le degré maximal d'un polynôme quelconque de F . Alors D ^k+1 _F est nul.

D'après la partie préliminaire, comme D F est nilpotent dans un espace de dimen- sion n + 1 , l'endomorphisme D ⁿ⁺¹ _F est nul. Ceci montre que F ⊂ R n [X ] . Comme les deux espaces sont de même dimension, ils sont égaux.

On peut en conclure que les seuls sous-espaces de dimension nie stables par D sont les R n [X ] .

Un seul sous-espace de dimension innie est stable par D , il s'agit de R [X ] lui

même. En eet, un tel espace doit contenir des polynômes de degré arbitrairement grand (sinon il serait de dimension nie) et tous leurs polynômes dérivés.

b. Soit G un sous-espace de E . Supposons G stable par g et exploitons la relation fondamentale pour montrer que G est stable par D .

∀P ∈ G, D(P ) = g ² (P )

| {z }

∈G

− λP

|{z}

∈G

∈ G

Réciproquement, supposons G stable par D . D'après la question précédente (I.1.b) G = R [X ] ou il existe n ∈ N tel que G = E n .

Si G = R [X] , il est évidemment stable par g .

Si G = E n , on a montré en I.1.b que E n = ker D ⁿ⁺¹ est stable par g . 3. Cas λ < 0 .

a. Dans E 0 = R qui est un espace de dimension 1, les seules applications linéaires sont les multiplications par un scalaire et D 0 est l'application nulle. S'il existe un g 0 (la multiplication par un µ ∈ R) vériant la relation, on peut écrire

g ² ₀ = λId E

+ D 0 ⇔ µ ² = λ ⇒ λ ≥ 0

La condition nécessaire à l'existence d'un g ₀ vériant la relation est donc λ ≥ 0 . b. D'après 1.a., lorsqu'il existe un entier n et un g n ∈ L(E n ) vériant la relation,

tous les sous-espaces E p avec p ∈ J 0, n K sont stables par g n . D'après 1.b., lorsqu'il existe un g dans L(E) vériant la condition, tous les sous-espaces E p avec p entier sont stables par g .

Dans les deux cas, E 0 est stable donc λ ≥ 0 . Ainsi, lorsque λ < 0 , il n'existe pas d'application g vériant la condition étudiée, ni dans L(E) , ni dans un L(E n ) . 4. a. Soit f linéaire de V dans V telle que f ⁿ⁺¹ soit nulle mais pas f ⁿ . Il existe alors

un y ∈ V tel que

f ⁿ (y) 6= 0 Montrons que B = (y, f(y), · · · , f ⁿ (y)) est libre.

Si (λ ₀ , λ ₁ , · · · λ _n ) sont des réels tels que

λ 0 y + λ 1 f (y) + · · · + λ n f ⁿ (y) = 0

en composant par f ⁿ , on obtient λ 0 f ⁿ (y) = 0 avec f ⁿ (y) 6= 0 d'où λ 0 = 0 et ainsi de suite. En composant successivement par f ⁿ⁻¹ , f ⁿ⁻² , · · · on obtient la nullité de tous les coecients. La famille est donc libre.

Cette famille est une base car elle contient autant de vecteurs que la dimension de l'espace.

b. Dans le cas où l'endorphisme nilpotent est la dérivation restreinte à un espace E n = R n [X] ,

Y = X ⁿ ⇒ (Y, D _n (Y ), · · · , D _n ⁿ (Y ))

est une base de E _n . En fait n'importe quel polynôme de degré n aurait fait l'aaire.

5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Il est bien évident que les endomorphismes h de la forme h = a Id E

+bD 2 + cD ² ₂

commutent avec D ₂ . On va montrer que ce sont les seuls.

Considérons X ² ∈ R ² [X ] , la famille (X ² , D(X ² ), D ² (X ² )) = (X ² , 2X, 2) est une base de E 2 d'après la question 4.b ou simplement car il s'agit d'une famille de 3 polynômes de degrés échelonnés dans R 2 [X ] . Comme f (X ² ) ∈ E 2 ,

∃(a, b, c) ∈ R ³ tel que f (X ² ) = aX ² + bD(X ² ) + cD ² (X ² )

Dénissons F ∈ L(E 2 ) par F = a Id E

+bD 2 +cD ² ₂ et comparons le à f . Pour cela, il sut de les comparer sur les vecteurs d'une base (théorème du prolongement linéaire).

Par dénition de F :

f (X ² ) =F (X ² )

f (D(X ² )) =D(f (X ² )) = aD(X ² ) + bD ² (X ² ) = F (D(X ² )) car D ³ (X ² ) = 0 f (D ² (X ² )) =D ² (f (X ² )) = aD ² (X ² ) = F (D ² (X ² ))

Les deux fonctions coïncident sur une base, elles sont donc égales.

b. Montrons que Id E

, D 2 , D ₂ ² est une famille libre dans L(E 2 ) . Considérons des réels α , β , γ tels que

α Id E

+βD 2 + γD ₂ ² = 0

₎

et prenons la valeur de cette expression (endomorphis nul) successivement aux polynômes 1 , X et X ² . On en tire dans l'ordre α = 0 , β = 0 , γ = 0 . La famille est donc bien libre.

c. On doit chercher les g 2 telles que g ² ₂ = λ Id E

+D 2 parmi les applications qui commutent avec D 2 . Cherchons donc des conditions sur a, b, c assurant que

g ₂ = a Id _E

+bD ₂ + cD ₂ ²

vérie g ₂ ² = λ Id E

+D 2 . Calculons g ² :

g ² = a ² Id _E

+2abD ² ₂ + (b ² + 2ac)D ₂ ² = λ Id _E

+D ₂

Comme Id E

, D 2 , D ² ₂ est une famille libre, on peut identier les coecients. On trouve donc exactement deux endomorphismes répondant à la question, l'un étant déterminé par

a = √

λ, b = 1 2 √

λ , c = − 1 8λ √

λ L'autre étant son opposée.

Partie II.

1. a. On suppose ici g ² _n = D _n . Comme D _n est nilpotent g _n l'est aussi. Si un endomor- phisme f est injectif, alors tous les f ^k le sont également, par conséquent g _n ² et g _n ne sont pas injectifs (une de leurs puissance est l'endomorphisme nul). Mais pourquoi ker g _n ² est-il de dimension au moins 2 ?

Si ce n'était pas le cas, on aurait, avec ker g n ⊂ ker g _n ² ,

0 < dim(ker g n ) ≤ dim(ker g ² _n ) < 2 ⇒ dim(ker g n ) = dim(ker g ² _n ) = 1 La suite des noyaux de g _n ^k est alors constante dès le premier rang. Mais d'après la partie préliminaire, sa valeur nale est E _n autrement dit g _n est nulle ce qui est absurde.

b. Il n'existe pas de g n tel que g ² _n = D n car le noyau de D n est de dimension 1 (polynômes constants) alors que celui de g _n ² devrait être au moins 2.

D'après la partie I, si g ² = D , les espaces E _n sont stables par g et les restrictions g _n vérient g ² _n = D _n ce qui est impossible.

2. a. Tout polynôme admet plusieurs polynômes primitifs (c'est à dire dont le polynôme dérivé est égal au polynôme donné) qui dièrent d'une constante. L'application D et les applications D ^m sont donc surjectives.

La surjectivité de g ^k entraîne celle de g car Im g ^k ⊂ Im g .

b. Pour q ≤ k , ker g ^q ⊂ ker g ^k = ker D ^m = E m−1 qui est de dimension nie m . On conclut avec le résultat de cours : tout sous-espace d'un espace de dimension nie est de dimension nie.

c. L'application Φ est linéaire car c'est la restriction de g à ker g ^p . Elle prend ses valeurs dans ker g ^q−1 car

∀x ∈ E, x ∈ ker g ^p ⇒ 0 _E = g ^p (x) = g ^p−1 (g(x)) ⇒ g(x) ∈ ker g ^p−1

Montrons la surjectivité de Φ .

Soit x ∈ ker g ^p−1 . Comme g est surjective, il existe un y ∈ E tel que x = g(y) et 0 _E = g ^p−1 (x) = g ^p−1 (g(y)) = g ^p (y)

donc y ∈ ker g ^p et y est un antécédent par Φ de x .

Ainsi Φ est surjective de ker g ^p vers ker g ^p−1 de noyau ker g . Le théorème du rang donne alors

dim(ker g ^p ) = dim(ker g ^p−1 ) + dim(ker g) La suite des dimensions est arithmétique d'où

dim(ker g ^p ) = p dim(ker g)

3. D'après la question précédente, comme dim(ker D ^m ) = m ,

g ^k = D ^m ⇒ dim(ker g ^k ) = dim(ker D ^m ) ⇒ k dim(ker g) = m ⇒ k divise m Réciproquement, si k divise m , il existe q ∈ N tel que m = qk . En posant g = D ^q , on vérie

g ^k = D ^qk = D ^m La condition nécessaire et susante demandée est donc

k divise m

Partie III.

1. a. La fonction ϕ est C

dans ] − 1, +∞[ , elle admet donc, d'après la formule de Taylor avec reste de Young, des développements limités à tous les ordres.

b. À l'ordre 3 , le développement est usuel : ϕ(x) = (1+x)

= 1+ 1

2 x− 1 8 x ² + 1

16 x ³ +o(x ³ ) ⇒ b 0 = 1, b 1 = 1

2 , b 2 = − 1

8 , b 3 = 1 16 Pour b k , on utilise l'expression venant de la formule de Taylor

b k = ϕ ^(k) (0) k! = 1

k! ( 1 2 )( 1

2 − 1)( 1

2 − 2) · · ·

| {z }

k

= (−1) ^k−1 2 ^k k!

k−1

Y

i=1

(2i − 1)

Le produit étant constitué des impairs entre 1 et 2k − 3 . On le transforme

k−1

Y

i=1

(2i − 1) = (2k − 2)!

pdt des pairs entre 2 et 2k − 2 = (2k − 2)!

2 ^k−1 (k − 1)!

On en déduit

b k = (−1) ^k−1 (2k − 2)!

2 ^2k−1 k! (k − 1)! = (−1) ^k−1 (2k − 1)!

2 ^2k−1 (2k − 1)k! (k − 1)! = (−1) ^k−1 2 ^2k−1 (2k − 1)

2k − 1 k

c. Pour montrer la formule demandée, il ne faut surtout pas chercher à combiner les coecients du binôme mais utiliser le produit du développement limité par lui même. Pour tout n entier, notons

a m =

m

X

k=0

b k b _m−k

En fait a m est le coecient de x ^m dans le développement limité de ϕ(x) ² = 1 +x . On en déduit que a m = 1 pour m = 1 ou 2 et a n = 0 pour les autres valeurs.

2. On calcule g ² _n en utilisant le fait que Id E

et D n commutent et que D _n ⁿ⁺¹ est l'endo- morphisme nul :

g _n ² = X

(k,k

)∈

0,n

b k b

_k D ^k+k _n

Pour m entre 0 et 2n , on regroupe les (k, k

) tels que k + k

= m . En fait, seuls les m ≤ n contribuent signicativement car D _n ⁿ⁺¹ est l'endomorphisme nul.

Pour m entre 0 et n , on retrouve les sommes a m de la question précédente g ² _n =

n

X

m=0

a m D ^m _n = D ⁰ _m + D m = Id E

+D m

3. On cherche à se rapprocher du cas précédent en factorisant par λ lorsqu'il est non nul : λ Id E

+D n = λ

Id E

+ 1 λ D n

En remplaçant D n par ¹ _λ D n , un calcul analogue au précédent montre que

n

X

k=0

b _k λ ^k D _n ^k

! ²

= Id _E

+ 1 λ D _n

Si λ > 0 , on peut poser

g _n = √ λ

n

X

k=0

b k

λ ^k D ^k _n

!

qui vérie g _n ² = λ Id _E

+D _m .

L'expression suivant d'un endomorphisme de E semble n'avoir aucun sens car elle fait intervenir une somme innie

g = √ λ

+∞

X

k=0

b k

λ ^k D ^k _n

!

En fait elle dénit bien un endomorphisme car, pour chaque polynôme P , le calcul de g(P ) ne fait intervenir que les k inférieurs ou égaux au degré de P . Si n = deg(P ) , tout se passe dans E _n et g(P ) = g _n (P ) d'où

g ² (P ) = g ² _n (P) = λP + D(P )

Ceci étant valable pour tous les P , on a bien g ² = λ Id E +D .