Soit V un espace vectoriel réel

MPSI B Énonce du DS 8 29 juin 2019

Problème

Soit V un espace vectoriel réel

et L(V ) l'espace vectoriel de ses endomorphismes.

Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on note

f

= Id

, f

= f ◦ · · · ◦ f

| {z }

kfois

On désigne par E l'espace des polynômes à coecients réels et, pour un entier n , par E

l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n . E = R [X ], E

= R

[X]

Soit D l'endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q

et D

la restriction de D à E

qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q

.

L'objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels

∃g ∈ L(E) tel que λ Id

+D = g

et de préciser éventuellement cet endomorphisme g . On se pose la même question pour l'endomorphisme λ Id

+D

.

Préliminaires : noyaux itérés

Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V .

1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f

pour k = 1, 2, · · · est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :

ker f

⊂ ker f

⊂ · · · ⊂ ker f

⊂ ker f

⊂ · · ·

2. Montrer que s'il existe un entier p tel que ker f

= ker f

, alors :

∀k ≥ p, ker f

= ker f

3. Montrer que lorsque V est de dimension nie n , la suite des dimensions des ker f

est constante à partir d'un rang p ≤ n . En déduire en particulier ker f

= ker f

. 4. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension nie n pour lequel

il existe un entier q ≥ 1 tel que u

soit l'endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u

est l'endomorphisme nul.

1Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 2001 PC.

Partie I.

Dans cette partie, on se donne un λ ∈ R pour lequel il existe g satisfaisant à la relation étudiée et on établit des propriétés de g . On donne aussi un exemple.

1. Restrictions et commutations.

a. Soit n ∈ N et g

∈ L(E

) (on rappelle que E

= R

[X ] ) tel que g

= λId

+D

. Montrer que g

commute avec D

c'est à dire g

◦ D

= D

◦ g

.

Montrer que, pour tout p ∈ J 0, n K, le sous-espace E

est stable par g

. On note g

la restriction de g

à E

, montrer que :

g

= λId

+ D

b. Soit g ∈ L(E) (on rappelle que E = R [X ] ) tel que g

= λId

+ D . Montrer que g commute avec D c'est à dire g ◦ D = D ◦ g .

Montrer que, pour tout n ∈ N, le sous-espace E

est stable par g . On note g

la restriction de g à E

, montrer que :

g

= λId

+ D

2. Caractérisation des sous-espaces stables.

Soit g ∈ L(E) tel que g

= λId

+ D et n ∈ N.

a. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de E et stable par D . On note D

∈ L(F ) la restriction de D à F .

Montrer que D

est nilpotent. En déduire que F = E

= R

[X] .

Déterminer les sous-espaces vectoriels (de dimension nie ou non) de E stables par D .

b. Montrer qu'un sous-espace vectoriel G de E est stable par g si et seulement si il est stable par D .

3. Une application immédiate : le cas λ < 0 .

a. Préciser une condition nécessaire sur λ ∈ R pour qu'il existe g

∈ L(E

) (on rappelle que E

= R

[X] ) tel que g

= λId

+ D

.

b. Soit λ < 0 et n ∈ N, déduire des questions précédentes les propriétés suivantes.

Il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g

= λId

+ D .

Pour tout n ∈ N, il n'existe pas de g

∈ L(E

) tel que g

= λId

+ D

. 4. Base adaptée à un endomorphisme nilpotent.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n + 1 et f ∈ L(V ) tel que f

soit l'endomorphisme nul sans que f

le soit.

Montrer qu'il existe un vecteur y ∈ V tel que

B = (y, f (y), f

(y), · · · , f

(y)) soit une base de V .

b. Lorsque V = E

et f = D

, comment peut-on choisir Y ∈ R

[X ] = E

pour que B

= (Y, D

(Y ), D

(Y ), · · · , D

(Y ))

soit une base de V ? 5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .

a. Montrer que, pour tout h ∈ L(E

) ,

h commute avec D

⇔ ∃(a, b, c) ∈ R

tels que h = aId

+ bD

+ cD

b. Montrer que Id

, D

, D

est une famille libre. Dans quel espace vectoriel ?

c. En déduire qu'il existe exactement deux g ∈ L(E

) que l'on précisera vériant g

= λId

+ D

Partie II.

On étudie ici le cas λ = 0 puis on considére une relation plus générale.

1. Soit n ∈ N.

a. Montrer que, s'il existe g

∈ L(E

) tel que g

= D

, alors g

est nilpotent et dim(ker g

) ≥ 2.

b. En déduire qu'il n'existe pas de g

∈ L(E

) tel que g

= D

. Montrer qu'il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g

= D .

2. Soit m et k entiers avec m ≥ 1 et k ≥ 2 , soit g ∈ L(E) tel que g

= D

a. Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.

b. Pour q ∈ J 0, k K, montrer que ker g

est de dimension nie.

c. Soit p ∈ J 2, k K. et Φ l'application dénie dans ker g

par :

∀P ∈ ker g

: Φ(P ) = g(P )

Montrer que Φ est linéaire de ker g

et à valeurs dans ker g

. Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions de ker g

et de ker g

. Quelle est la dimension de ker g

en fonction de ker g ?

3. Établir une condition nécessaire et susante sur m et k pour qu'il existe g ∈ L(E) tel que g

= D

.

Partie III.

Dans cette partie, on utilise des coecients d'un développement limité pour exprimer des solutions du problème étudié.

1. On considère la fonction à valeurs réelles ϕ dénie dans [−1, +∞[ :

∀x ∈ [−1, +∞[, ϕ(x) = √ 1 + x

a. Montrer que ϕ admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Pour k ∈ N, on note b

le coecient de x

dans ces développements limités en 0 .

∀n ∈ N , ϕ(x) = b

+ b

x + · · · + b

x

+ o(x

) b. Préciser b

, b

, b

, b

. Montrer que

∀k ≥ 1, b

= (−1)

(2k − 1)2

2k − 1 k

c. Montrer que

∀m ∈ N ,

m

X

k=0

b

b

=

( 1 si m ≤ 1 0 si m ≥ 2 2. Soit n ∈ N

, on dénit g

∈ L(E

) (on rappelle que E

= R

[X] ) par :

g

=

n

X

k=0

b

D

avec la convention D

= Id

Montrer que g

= Id

+D

.

3. Soit λ > 0 et n ∈ N

, montrer qu'il existe un g

∈∈ L(E

) (à préciser) tel que g

= λ Id

+D

Justier l'expression d'un g ∈ L(E) tel que g

= λ Id

+D

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Exercice

Soit a , b , c , m , n , p des nombres réels. On suppose c non nul.

1. Discuter et résoudre le système







bz − cy = 1 cx − az = m

ay − bx = n 2. Soit A et C les matrices suivantes :

A =









0 −c b a

c 0 −a b

−b a 0 c

a b c 0









, C =







 1 m

n p









Calculer

AA puis résoudre le système AX = C d'inconnue X =







 x y z t









3. Exprimer les solutions du système de la question 1. à l'aide de la question 2. en consi- dérant p comme un paramètre. On posera

p = α

µ, α = p

a

+ b

+ c

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