MPSI B Énonce du DS 8 29 juin 2019
Problème
Soit V un espace vectoriel réel
1et L(V ) l'espace vectoriel de ses endomorphismes.
Lorsque f ∈ L(V ) et k ∈ N, on note
f
0= Id
V, f
k= f ◦ · · · ◦ f
| {z }
kfois
On désigne par E l'espace des polynômes à coecients réels et, pour un entier n , par E
nl'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n . E = R [X ], E
n= R
n[X]
Soit D l'endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q
0et D
nla restriction de D à E
nqui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q
0.
L'objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels
∃g ∈ L(E) tel que λ Id
E+D = g
2et de préciser éventuellement cet endomorphisme g . On se pose la même question pour l'endomorphisme λ Id
En+D
n.
Préliminaires : noyaux itérés
Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V .
1. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f
kpour k = 1, 2, · · · est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :
ker f
0⊂ ker f
1⊂ · · · ⊂ ker f
k⊂ ker f
k+1⊂ · · ·
2. Montrer que s'il existe un entier p tel que ker f
p= ker f
p+1, alors :
∀k ≥ p, ker f
k= ker f
p3. Montrer que lorsque V est de dimension nie n , la suite des dimensions des ker f
kest constante à partir d'un rang p ≤ n . En déduire en particulier ker f
n= ker f
n+1. 4. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension nie n pour lequel
il existe un entier q ≥ 1 tel que u
qsoit l'endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u
nest l'endomorphisme nul.
1Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 2001 PC.
Partie I.
Dans cette partie, on se donne un λ ∈ R pour lequel il existe g satisfaisant à la relation étudiée et on établit des propriétés de g . On donne aussi un exemple.
1. Restrictions et commutations.
a. Soit n ∈ N et g
n∈ L(E
n) (on rappelle que E
n= R
n[X ] ) tel que g
n2= λId
En+D
n. Montrer que g
ncommute avec D
nc'est à dire g
n◦ D
n= D
n◦ g
n.
Montrer que, pour tout p ∈ J 0, n K, le sous-espace E
pest stable par g
n. On note g
pla restriction de g
nà E
p, montrer que :
g
2p= λId
Ep+ D
pb. Soit g ∈ L(E) (on rappelle que E = R [X ] ) tel que g
2= λId
E+ D . Montrer que g commute avec D c'est à dire g ◦ D = D ◦ g .
Montrer que, pour tout n ∈ N, le sous-espace E
nest stable par g . On note g
nla restriction de g à E
n, montrer que :
g
n2= λId
En+ D
n2. Caractérisation des sous-espaces stables.
Soit g ∈ L(E) tel que g
2= λId
E+ D et n ∈ N.
a. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n + 1 de E et stable par D . On note D
F∈ L(F ) la restriction de D à F .
Montrer que D
Fest nilpotent. En déduire que F = E
n= R
n[X] .
Déterminer les sous-espaces vectoriels (de dimension nie ou non) de E stables par D .
b. Montrer qu'un sous-espace vectoriel G de E est stable par g si et seulement si il est stable par D .
3. Une application immédiate : le cas λ < 0 .
a. Préciser une condition nécessaire sur λ ∈ R pour qu'il existe g
0∈ L(E
0) (on rappelle que E
0= R
0[X] ) tel que g
20= λId
E0+ D
0.
b. Soit λ < 0 et n ∈ N, déduire des questions précédentes les propriétés suivantes.
Il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g
2= λId
E+ D .
Pour tout n ∈ N, il n'existe pas de g
n∈ L(E
n) tel que g
2n= λId
En+ D
n. 4. Base adaptée à un endomorphisme nilpotent.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0108EMPSI B Énonce du DS 8 29 juin 2019
a. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n + 1 et f ∈ L(V ) tel que f
n+1soit l'endomorphisme nul sans que f
nle soit.
Montrer qu'il existe un vecteur y ∈ V tel que
B = (y, f (y), f
2(y), · · · , f
n(y)) soit une base de V .
b. Lorsque V = E
net f = D
n, comment peut-on choisir Y ∈ R
n[X ] = E
npour que B
n= (Y, D
n(Y ), D
n2(Y ), · · · , D
nn(Y ))
soit une base de V ? 5. Un exemple avec n = 2 et λ > 0 .
a. Montrer que, pour tout h ∈ L(E
2) ,
h commute avec D
2⇔ ∃(a, b, c) ∈ R
3tels que h = aId
E2+ bD
2+ cD
22b. Montrer que Id
E2, D
2, D
22est une famille libre. Dans quel espace vectoriel ?
c. En déduire qu'il existe exactement deux g ∈ L(E
2) que l'on précisera vériant g
2= λId
E2+ D
2Partie II.
On étudie ici le cas λ = 0 puis on considére une relation plus générale.
1. Soit n ∈ N.
a. Montrer que, s'il existe g
n∈ L(E
n) tel que g
n2= D
n, alors g
nest nilpotent et dim(ker g
n2) ≥ 2.
b. En déduire qu'il n'existe pas de g
n∈ L(E
n) tel que g
n2= D
n. Montrer qu'il n'existe pas de g ∈ L(E) tel que g
2= D .
2. Soit m et k entiers avec m ≥ 1 et k ≥ 2 , soit g ∈ L(E) tel que g
k= D
ma. Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.
b. Pour q ∈ J 0, k K, montrer que ker g
qest de dimension nie.
c. Soit p ∈ J 2, k K. et Φ l'application dénie dans ker g
ppar :
∀P ∈ ker g
p: Φ(P ) = g(P )
Montrer que Φ est linéaire de ker g
pet à valeurs dans ker g
p−1. Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions de ker g
pet de ker g
p−1. Quelle est la dimension de ker g
pen fonction de ker g ?
3. Établir une condition nécessaire et susante sur m et k pour qu'il existe g ∈ L(E) tel que g
k= D
m.
Partie III.
Dans cette partie, on utilise des coecients d'un développement limité pour exprimer des solutions du problème étudié.
1. On considère la fonction à valeurs réelles ϕ dénie dans [−1, +∞[ :
∀x ∈ [−1, +∞[, ϕ(x) = √ 1 + x
a. Montrer que ϕ admet en 0 des développements limités à tous les ordres. Pour k ∈ N, on note b
kle coecient de x
kdans ces développements limités en 0 .
∀n ∈ N , ϕ(x) = b
0+ b
1x + · · · + b
nx
n+ o(x
n) b. Préciser b
0, b
1, b
2, b
3. Montrer que
∀k ≥ 1, b
k= (−1)
k−1(2k − 1)2
2k−12k − 1 k
c. Montrer que
∀m ∈ N ,
m
X
k=0
b
kb
m−k=
( 1 si m ≤ 1 0 si m ≥ 2 2. Soit n ∈ N
∗, on dénit g
n∈ L(E
n) (on rappelle que E
n= R
n[X] ) par :
g
n=
n
X
k=0
b
kD
nkavec la convention D
n0= Id
EnMontrer que g
2n= Id
En+D
n.
3. Soit λ > 0 et n ∈ N
∗, montrer qu'il existe un g
n∈∈ L(E
n) (à préciser) tel que g
2n= λ Id
En+D
nJustier l'expression d'un g ∈ L(E) tel que g
2= λ Id
E+D
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0108EMPSI B Énonce du DS 8 29 juin 2019
Exercice
Soit a , b , c , m , n , p des nombres réels. On suppose c non nul.
1. Discuter et résoudre le système
bz − cy = 1 cx − az = m
ay − bx = n 2. Soit A et C les matrices suivantes :
A =
0 −c b a
c 0 −a b
−b a 0 c
a b c 0
, C =
1 m
n p
Calculer
tAA puis résoudre le système AX = C d'inconnue X =
x y z t
3. Exprimer les solutions du système de la question 1. à l'aide de la question 2. en consi- dérant p comme un paramètre. On posera
p = α
2µ, α = p
a
2+ b
2+ c
2Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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