Problème : Transposition d’un endomorphisme KdésigneRou C.
E désigne un espace vectoriel de dimension finie nsurK.
On rappelle queL(E) désigne l’ensemble des endomorphismes deE,GL(E)l’ensemble des automor- phismes deE etE? l’ensemble des formes linéaires de E.
Pour tout f ∈ L(E) et toutϕ∈E?, on note tf(ϕ) =ϕ◦f.
L’application f 7→tf est appelée transposition deL(E).
1. (a) Montrer que la transposition est une application de L(E) dansL(E?).
(b) Montrer que cette application est linéaire.
(c) Montrer que cette application est un isomorphisme.
2. Montrer que pour tousf, g∈ L(E),t(f◦g) =tg◦tf.
3. (a) Identifier l’application tIdE. (b) Soitf ∈GL(E).
Montrer quetf ∈GL(E?) et que tf−1
=t f−1 . (c) Réciproquement, soitf ∈ L(E)tel que tf ∈GL(E?).
Montrer quef ∈GL(E).
4. SoitB= (e1,· · ·, en)une base de E.
(a) Pour tout 16i6n, montrer qu’il existe une unique application e?i ∈E? tel que
∀16j6n, e?i(ej) =δi,j.
(b) Montrer queB?= (e?1,· · · , e?n) est une base deE?. B? s’appelle la base duale deB.
(c) Montrer que, pour tout ϕ∈E?,
ϕ=
n
X
i=1
ϕ(ei)e?i.
(d) Soit f un endomorphisme de E, de matriceA dans une baseBde E.
Montrer que la matrice detf dans la baseB? esttA.
5. Soitf ∈ L(E). Montrer que rg(f) = rg(tf).
6. Soitf ∈ L(E). Montrer que tr(f) = tr(tf).
7. SoitB?= (e?1,· · ·, e?n) une base deE?.
(a) En considérant l’application ϕ : E → Rn définie par ϕ(x) = (e?1(x),· · ·, e?n(x)), montrer qu’il existe(e1,· · ·, en)une base de E vérifiant
∀16i, j6n, e?i(ej) =δi,j.
B s’appelle la base antéduale deB?.
(b) Soit f un endomorphisme de E tel que la matrice detf dans la base B? soit A.
Montrer que la matrice def dans la base Best tA.
* * * FIN DU SUJET * * *
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