b. Montrer que

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1.

Projecteurs. On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel que p ◦ p = p . Dans tout l'exercice p et q sont deux projecteurs.

a. Montrer que u ∈ L(E) commute avec p si et seule- ment si Im(p) et ker(p) sont stables par u .

b. Montrer que

p ◦ q + q ◦ p = 0 _L(E) ⇒ p ◦ q = q ◦ p = 0 _L(E) c. Exprimer une condition nécessaire et susante

pour que p + q soit un projecteur. Préciser alors Im(p + q) et ker(p + q) à l'aide de Im(p) , ker(p) , Im(q) , ker(q) .

d. Montrer que p ◦ q = q ◦ p entraîne que p ◦ q est un projecteur. Préciser alors son noyau et son image.

2.

Soit α une forme linéaire non nulle sur un R espace vectoriel E (c'est à dire un élément de L(E, R ) ), soit u un élément non nul de E . On dénit une application f de E dans E en posant f (x) = α(x)u pour tout élément x de E .

a. Montrer que f est linéaire, montrer qu'il existe un unique réel λ tel que f ◦ f = λf .

b. Dans quel cas λ est-il non nul ? Montrer que _λ ¹ f est un projecteur dans ce cas. Préciser le noyau et l'image.

3.

Soit f un endomorphisme de E . Montrer que ker f = ker f ² ⇔ Imf ∩ ker f = {0 E }

Imf = Imf ² ⇔ Imf + ker f = E

4.

Soit E , F , G K -espaces vectoriels, f ∈ L(E, F ) , g ∈ L(F, G) . Montrer que

ker g ◦ f = ker f ⇔ Imf ∩ ker g = {0 F } . Im g ◦ f = Im g ⇔ Im f + ker g = F.

5.

a. Soit g et h dans L(E) tels que g ◦ h = h ◦ g = 0 _L(E) et que g −h = Id E . Montrer que ker g et ker h sont supplémentaires.

b. Soit f un endomorphisme de E tel que f ² − 5f + 6Id _E = 0 _L(E)

Montrer que ker(f − 2Id E ) et ker(f − 3Id E ) sont supplémentaires.

6.

Soit E = R 2 [X ] et a un nombre réel. On dénit des formes linéaires s et α _a par :

s(P ) = Z 1

0

P(t) ˜ dt α a (P) = ˜ P (a) Exprimer s comme combinaison linéaire de α −1 , α 0 , α 1

7.

Multiplicateurs de Lagrange.

Soit E un K espace vectoriel xé. Sauf précision, toutes les formes linéaires sont relatives à cet espace.

a. Soit α une forme linéaire non nulle et a ∈ E tel que α(a) 6= 0 . Montrer que α est surjective et que les sous-espaces Vect(a) et ker(α) sont supplémen- taires.

b. Soient α, β des formes linéaires non nulles. Montrer que

ker α ⊂ ker β ⇒ ker α = ker β

c. Montrer qu'il existe une relation linéaire entre deux formes non nulles si et seulement si elles ont le même hyperplan noyau.

d. Soient α, β, γ des formes linéaires non nulles dont les noyaux sont deux à deux distincts mais tels que

ker α ∩ ker β ⊂ ker γ

En considérant la restriction notée α ⁰ de α à ker β et la restriction notée γ ⁰ de γ à ker β , montrer qu'il existe une relation linéaire entre α , β , γ .

8.

Soient A et B deux sous-espaces supplémentaires dans un K espace vectoriel E . Soit f ∈ L(A, B) , on dénit g f par :

( A →E

a →g f (a) = a + f(a)

Montrer que g f est linéaire et injective puis que g f (A) et B sont supplémentaires. Montrer que

∀a ∈ A, f (a) = −p B,g

(A) (a)

Soit S(B) l'ensemble des supplémentaires de B . Montrer que l'application

( L(A, B) →S(B) f →g f (A) est bijective. (D'après alglin20)

9.

Soit p et q des projecteurs dans un K -espace vec- toriel E . On suppose p ◦ q = 0 _L(E) et on note

r = p + q − q ◦ p

Montrer que r est un projecteur. Préciser le noyau et l'image de r à l'aide de ceux de p et q .

10.

Soit E , un K -espace vectoriel, u ∈ L(E) et p un projecteur de E tels que ker p soit stable par u . Montrer qu'il existe un unique v ∈ L(Im p) tel que p ◦ u = v ◦ p . 11.

Soient P et Q dans K[X ] deux polynômes pre-

miers entre eux. Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que

P (f) ◦ Q(f ) = 0 _L(E)

Montrer que ker P (f ) et ker Q(f ) sont supplémentaires.

12.

Soit f ∈ L(E) et a 0 , a 1 , · · · , a p ∈ K tels que a 0 Id

E +a 1 f + a 2 f ² + · · · + a p f ^p = 0 _L(E) Montrer que a ₀ 6= 0 K entraîne f bijective.

Soit f ∈ L(E) nilpotente : il existe p ∈ N ^∗ tel que f ^p = 0 _L(E) . Montrer que Id _E −f est un automorphisme.

13.

Un endomorphisme f de E est dit nilpotent si et seulement si il existe n ∈ N ^∗ tel que f ⁿ = 0 _L(E) . Soit f un endomorphisme nilpotent de E , x ∈ E , p ∈ N ^∗ tels que f ^p (x) 6= 0 .

Montrer que p < n et (x, f (x), · · · , f ^p (x)) libre.

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14.

Soit E un K espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que :

∀x ∈ E : ∃λ(x) ∈ K tq f (x) = λ(x)x

Soit x et y deux vecteurs non nuls dans E . Montrer que λ(x) = λ(y) en séparant les cas (x, y) libre ou lié.

15.

Représentation linéaire d'un groupe ni.

Soit G un groupe ni et K un corps. On note E le K - espace vectoriel de toutes les fonctions de G dans K . Pour tout g ∈ G , on note g ∈ E dénie par :

∀h ∈ G, g(h) =

( 0 si h 6= g 1 si h = g

Pour tout g ∈ G , on dénit une fonction A _g de E dans E par :

∀ϕ ∈ E, A g (ϕ) = G → K x 7→ ϕ(hg)

!

a. Montrer que l'ensemble des g pour g ∈ G forme une base de E .

b. Montrer que A _g ∈ L(E) . Vérier que

∀(g, h) ∈ G ² , A g ◦ A h = A gh

c. Montrer que, pour g et h dans G , A g (h) est un k pour un k ∈ G à préciser.

16.

Soit E un R-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f ◦ f = − Id

E

Montrer que f est un automorphisme et que, pour tout x non nul de E , la famille (x, f (x)) est libre.

17.

Lemme des cinq.

On se donne des espaces vectoriels et des applications linéaires suivant le diagramme

E 1

− → α E 2

− → β E 3

− → γ E 4

− δ

→ E 5

↓ f 1 ↓ f 2 ↓ f 3 ↓ f 4 ↓ f 5

E ₁ ^{0 α}

0

−→ E ₂ ^{0 β}

0

−→ E ₃ ^{0 γ}

0

−→ E ₄ ^{0 δ}

0

− → E ₅ ⁰ On suppose de plus :

Im α = ker β Im β = ker γ Im γ = ker δ Im α ⁰ = ker β ⁰ Im β ⁰ = ker γ ⁰ Im γ ⁰ = ker δ ⁰ f 2 ◦ α = α ⁰ ◦ f 1 f 3 ◦ β = β ⁰ ◦ f 2 f 4 ◦ γ = γ ⁰ ◦ f 3

f ₅ ◦ δ = δ ⁰ ◦ f ₄ et enn f ₁ , f ₂ f ₄ , f ₅ bijectives.

Montrer que f ₃ est bijective.

18.

Soit E un K -espace vectoriel, soit (u, v) une fa- mille libre de vecteurs de E et (α, β) une famille libre de formes linéaires.

a. Montrer que

ker α ∩ ker β et Vect(u, v) supplémentaires

⇔ α(u)β (v) − β(u)α(v) 6= 0

b. On suppose qu'il existe (a, b) ∈ E ² tel que α(a) = 1, β(a) = 0, α(b) = 0, β(b) = 1 Exprimer, en fonction de α , β , a , b , la projection p sur ker α ∩ ker β parallèlement à Vect(a, b) . c. On suppose

α(u)β(v) − β(u)α(v) 6= 0

Montrer qu'il existe un unique (a, b) ∈ Vect(u, v) ² vériant les conditions de la question précédente.

En déduire une expression de la projection p . 19.

Soient E , F , G des K -espaces vectoriels et f ∈

L(E, F ) , g ∈ L(F, G) . Montrer que

ker(g ◦ f ) = f ⁻¹ (ker(g) ∩ Im(f )) = f ⁻¹ (ker(g)) 20.

Soit f ∈ L(E) tel que ker(f ) ∩ Im(f) = {0 E } et

x / ∈ ker(f ) . Montrer que

∀n ∈ N , f ⁿ (x) 6= 0 E

21.

Soit f ∈ L(E) . Montrer que

ker(f ) ∩ Im(f ) = f ker(f ² )

22.

Soit E un K -espace vectoriel, soit a et b dans E et α , β dans E ^∗ = L(E, K) . On dénit f et g par :

∀x ∈ E,

( f (x) = α(x) a g(x) = β(x) b

Montrer que f et g sont des endomorphismes de E et que (f, g) libre dans L(E) si et seulement si (a, b) libre dans E ou (α, β) libre dans E ^∗ .

23.

On dénit trois formes linéaires sur R ³ par : ϕ 1 ((x, y, z)) = −x + y + z

ϕ ₂ ((x, y, z)) = 2x − y − z ϕ 3 ((x, y, z)) = x + 2y + z

Les exprimer comme combinaison linéaire des formes co- ordonnées dans la base canonique.

La famille (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est-elle libre dans ( R ³ ) ^∗ ? 24.

Soit E un C-espace vectoriel, f ∈ L(E) tel que

f ³ = Id _E et a ∈ C. On pose g = Id

E −af Montrer que

a / ∈ U 3 ⇒ g bijective.

Exprimer alors g ⁻¹ à l'aide de Id E , f, f ² . 25.

Encore des projecteurs ?

Soit f et g dans L(E) tels que

f + g ∈ Gl(E) f ◦ g = g ◦ f = 0 _L(E) Montrer que

Im f et Im g sont supplémentaires,

ker f et ker g sont supplémentaires,

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (sans dimension)

Im f = ker g et Im g = ker f .

Soit ϕ = f + g , les endomorphismes f ◦ ϕ ⁻¹ et g ◦ ϕ ⁻¹ sont-ils des projecteurs ?

26.

Soit E , F , G des K -espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) , g ∈ L(F, G) , h ∈ L(G, F ) , k ∈ L(F, E) . Mon- trer que

f = h ◦ g ◦ f g = g ◦ f ◦ k

)

⇒ ker g ⊕ Im f = F.

27.

Soit E un K -espace vectoriel, p un projecteur et q = Id _E −p ,

F = {f ∈ L(E) tq ∃u ∈ L(E) tq f = u ◦ p}

G = {f ∈ L(E) tq ∃u ∈ L(E) tq f = u ◦ q} .

Montrer que F et G sont supplémentaires dans L(E) .

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1. pas de correction pour Eml01.tex 2. pas de correction pour Eml02.tex 3. pas de correction pour Eml03.tex 4. pas de correction pour Eml04.tex 5. pas de correction pour Eml05.tex 6. pas de correction pour Eml06.tex 7. pas de correction pour Eml07.tex

8.

La vérication de la linéarité de g f est immédiate.

Montrons que son noyau est réduit au vecteur nul.

a ∈ ker g f ⇒ a = −f (a) ∈ A ∩ B = {0 E } Montrons que g _f (A) et B sont supplémentaires.

Soit b ∈ g _f (A) ∩ B . Il existe a ∈ A tel que b = a + f(a) donc a = b −f (a) ∈ A ∩B . Il est donc nul ce qui entraine b = 0 _E .

Soit x ∈ E . Il existe a ∈ A et b ∈ B tels que x = a + b . Alors

x = a + f (a) + b − f (a) = g f (a) + b − f (a)

| {z }

∈B

Ce qui montre que B et g f (A) sont supplémentaires.

Pour tout a ∈ A , on peut écrire a = g f (a) − f (a) . C'est une décomposition de a dans les espaces supplémentaires g f (A) et B . On en déduit que −f (a) est le projeté de a sur B dans la direction de g f (A) .

Notons γ l'application f → g f (A) . Soit C un supplémentaire de B .

S'il existe un f ∈ L(A, B) tel que γ(f ) = C , d'après la question précédente, il doit vérier f = −p _B,C . Ce qui assure l'injectivité.

Posons f = −p _B,C . Alors, pour tout a ∈ A , g f (a) = a − p B,C (a) = p C,B (a) ⊂ C

Réciproquement, pour tout c ∈ C , notons a = p A,B (c) et calculons g f (a) :

g f (a) = a − p B,C (a) = p C,B (a) = p C,B (p A,B (c))

= p _C,B (c − p _B,A (c)) = p _C,B (c) = c 9.

Après diverses simplications résultant des rela-

tions p ◦ q = 0 , p ◦ p = p et q ◦ q = q , on obtient r ◦ r = r

On en déduit que r est un projecteur. Il est clair que ker p ∩ ker q ⊂ ker r . Montrons l'inclusion réciproque.

Soit x ∈ ker r . En composant prenant l'image par p de r(x) = 0 , on obtient p(x) = 0 , on en déduit q(x) = 0 . On a donc

ker r = ker p ∩ ker q

D'après l'expression de r , il est clair que Im r ⊂ Im p + Im q . Montrons l'inclusion réciproque.

Soit x ∈ Im p + Im q , il existe a et b tels que x = p(a) + q(b) . Comme on sait que r est un projecteur, pour montrer que x est dans l'image de r , il est naturel

de chercher à montrer qu'il est sa propre image. Calcu- lons donc :

r(x) = p(p(a)) + p(q(b)) + q(p(a)) + q(q(b))

− q ◦ p(p(a)) − q ◦ p(q(b))

= p(a) + q ◦ p(a) + q(b) − q ◦ p(a)

= p(a) + q(b) = x On a donc bien

Im r = Im p + Im q 10. pas de correction pour Eml10.tex 11. pas de correction pour Eml11.tex

12.

On fait passer l'identité de l'autre côté. Comme

−a 0 Id _E est bijective, f ◦

a 1 Id

E + · · · + a p f ^p−1

= −a 0 Id

E

entraîne f surjective et

a ₁ Id

E + · · · + a _p f ^p−1

◦ f = −a ₀ Id

E

entraîne f injective.

13.

Soit m le plus petit entier k tel que f ^k (x) = 0 . (Il en existe : au moins n ). On considère une combinaison linéaire nulle. Alors f ^m−1 (x) 6= 0 E .

λ 0 x + · · · + λ p f ^p (x) = 0 E

On compose par f ^m−1 . On en déduit λ ₀ = 0 et ainsi de suite en composant par f ^m−2 , · · · .

14.

Dans le cas où (x, y) est libre, considérons x + y et exploitons la linéarité de f

f (x + y) = f (x) + f (y)

⇒ λ(x + y)(x + y) = λ(x)x + λ(y)y

⇒ (λ(x + y) − λ(x)) x + (λ(x + y) − λ(y)) y = 0 E

⇒ λ(x) = λ(x + y) = λ(y) car la famille (x, y) est libre.

Dans le cas où la famille est liée ; comme x 6= 0 E , il existe µ ∈ K tel que y = µx avec µ 6= 0 K car y 6= 0 E :

f (y) = µf (x) ⇒ λ(y)y = µλ(x)x

⇒ λ(y)µx = µλ(x)x ⇒ λ(y) = λ(x) car µ 6= 0 K et x 6= 0 E .

15.

a. base à rédiger

b. linéarité et compo à rédiger c. On trouve

A g (h) = g ⁻¹ h

16.

De f ◦ f = − Id E , on tire que f est bijective de bijection réciproque −f .

Soit x non nul et λ , µ réels tels que

λx + µf (x) = 0 _E

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (sans dimension) : corrigés

On compose par f :

−µx + λf (x) = 0 _E

Si λ 6= 0 , on peut multiplier la deuxième relation par

− ^µ _λ et ajouter à la première. On en tire λ ² + µ ²

λ x = 0 _E

Ce qui est impossible dans R lorsque x 6= 0 E . On doit donc avoir λ = 0 . Comme f est bijective, x 6= 0 E en- traîne f (x) 6= 0 E donc µ = 0 .

17. pas de correction pour Eml17.tex 18.

a. On note

D = α(u)β(v) − β(u)α(v)

Supposons D 6= 0 et montrons que les sous-espaces sont supplémentaires .

Analyse-unicité. Soit x un vecteur quelconque, sup- posons qu'il se décompose. Il existe alors h ∈ ker α ∩ ker β et des scalaires λ et µ tels que

x = h + λu + µv

En calculant α(x) et β(x) , on forme un système ( α(u)λ + α(v)µ = α(x)

β(u)λ + β(v)µ = β(x)

Comme D 6= 0 , le système est de Cramer. Les seules valeurs possibles pour λ et µ sont données par les formules de Cramer, le h est alors déterminé par dé- composition idiote. Ceci assure l'unicité d'une éven- tuelle décomposition.

Synthèse-existence. Pour tout vecteur x , dénis- sons des scalaires λ et µ par :

λ = 1

D (α(x)β (v) − β (x)α(v)) µ = 1

D (α(u)β (x) − β(u)α(x)) On peut écrire

x = (x − λu − µv) + λu + µv

et vérier que (x − λu − µv) est dans l'intersection des deux noyaux.

Réciproquement, on va montrer la contraposée.

D = 0 ⇒ α(u)β(v) − β(u)α(v) = 0

⇒ α (β(v)u − β (u)v) = 0

⇒ β(v)u − β(u)v ∈ ker α Or

β (β(v)u − β (u)v) = β (v)β(u) − β(u)β(v) = 0 donc w = β(v)u − β(u)v est un vecteur dans l'in- tersection des deux sous-espaces.

Si w 6= 0 , ils ne sont pas supplémentaires car leur intersection ne se réduit pas au vecteur nul.

Si w = 0 , comme (u, v) est libre, β(u) = β(v) = 0 donc Vect(u, v) ⊂ ker β et la somme est incluse dans ker β . Ils ne sont donc pas supplémentaires.

b. Dans les conditions de cette question, l'analyse d'une décomposition montre que

p(x) = x − α(x)a − β(x)b

c. Chacun des vecteurs a et b doit être une combinai- son de u et v . Les conditions se traduisent par un système de Cramer pour les coecients. On trouve

a = β(v)

D u − β(u) D v b = − α(v)

D u + α(u) D v On en déduit

p(x) = x −

α(x) α(v) β(x) β (v)

D u −

α(u) α(x) β(u) β (x)

D v

Voir l'exercice ?? (ev26) pour une approche plus concrète.

19. pas de correction pour Eml19.tex 20. pas de correction pour Eml20.tex 21. pas de correction pour Eml21.tex 22. pas de correction pour Eml22.tex 23. pas de correction pour Eml23.tex 24. pas de correction pour Eml24.tex

25.

début du corrigé à compléter. Notons p = f ◦ ϕ ⁻¹ q = g ◦ ϕ ⁻¹ Ce sont bien des projecteurs car

p + q = (f + g) ◦ ϕ ⁻¹ = Id

E

⇒ ∀x ∈ E, x = p(x)

|{z}

∈Im f

+ q(x)

|{z}

∈Im g

avec Im f et Im g supplémentaires donc p est la projec- tion sur Im f parallélement à Im g et q est la projection sur Im g parallélement à Im f .

26. pas de correction pour Eml26.tex

27. pas de correction pour Eml27.tex