A2839. Commutations à la chaîne MB
Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x) dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x2 – 1.
Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que P2(x) = x2 – a et P3(x) sont commutables.
Q2 Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x² – a.
Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).
Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables, 2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j .
Q1) P3(P2) est pair, donc les exposants de P3 sont tous de même parité : P3 est impair.
P3(x)= x3 – bx
(x² - a )3 – b(x² - a) = x6 – 3ax4 + (3a² - b) x² + (ab – a3) (x3 – bx)² - a = x6 – 2bx4 + b²x² - a Donc b = 3a/2 et (3a² - 3a/2) = (3a/2)² (a,b) = (0,0) est sans intérêt, (a,b) = (2,3) est bon.
P3(x) = x3 – 3x, P3(P2(x)) = P2(P3(x)) = x6 – 6x4 + 9 x² – 2 = (x² - 2)(x4 – 4x² + 1) Q2) Tous les polynômes de cette famille vérifient [P(x)]² – P(x² – 2) = 2, cela implique que
Pn(x)= xn – nxn-2 + axn-4 + bxn-6+ cxn-8 +… les coefficients a, b, c sont trouvés de façon unique dans cet ordre en annulant le terme qui reste au plus haut degré dans [P(x)]² – P(x² – 2)
L’unicité est établie.
L’aspect particulier des représentations graphiques des fonctions polynômes P3, P4, P5, P6, suggère que pour – 2 ≤ x ≤ 2 Pn (x) = 2 cos[ n*acos (x/2) ] et, pour les autres valeurs de x,
Pn (x) = 2 cosh [ n*argcosh (x/2) ]
Ces fonctions vérifient Pm(P2(x)) = P2(Pm(x)) = P2m(x)) donc Pm commute avec P2 et d’après l’unicité, ce sont bien les mêmes fonctions que celles de l’énoncé.
Elles sont apparentées aux polynômes de Tchebychev.
La récurrence Pn+1 = xP n – P n-1 fournit les coefficients successifs.
Dans le tableau suivant on trouve les coefficients des 4 premiers monômes de P6, P7, P8, P9, P10, P11,
1 -6 9 -2
1 -7 14 -7
1 -8 20 -16
1 -9 27 -30
1 -10 35 -50
1 -11 44 -77
En poursuivant grâce à Excel, on peut obtenir les coefficients des 4 premiers monômes de P2018, P2019, P2020, P2021,
1 -2018 2033135
- 1363556546
1 -2019 2035152
- 1365587665
1 -2020 2037170
- 1367620800
1 -2021 2039189
- 1369655952
P
2021= x
2021– 2021x
2019+ 2039189x
2017+ 1369655952x
2015.+ …. – 2021x
Q3) On constate aussi que Pi(Pj(x)) = Pj(Pi(x)) = Pij(x))
Car 2 cos[ j*acos ( 2 cos[ i*acos (x/2) ] ) /2) ] = = 2 cos[ ji*acos (x/2) ] si – 2 ≤ x ≤ 2 (idem avec les cos hyperboliques si x < – 2 ou x> 2