Montrer que P n’a que des racines simples si et seulement siP et P0 sont premiers entre eux

Licence 3 Alg`ebre Universit´e Paris Diderot 2016-2017

Feuille de TD 9 – polynˆomes

Exercice 1. Effectuer les divisions euclidiennes de 3X⁵+4X²+1 parX²+2X+3, de 3X⁵+2X⁴−X²+1 parX³+X+ 2, et deX⁴+X³+X−2 parX²−2X+ 4.

Exercice 2. SoitP ∈C[X] un polynˆome non-constant. Montrer que P n’a que des racines simples si et seulement siP et P⁰ sont premiers entre eux. Trouver tous les polynˆomes P ∈C[X] v´erifiantP⁰ |P. Exercice 3. Trouver les polynˆomesP ∈R[X] tels que (X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).

Exercice 4. SoitK un corps commutatif.

1. D´eterminer tous les couples (U, V)∈K[X]² tel queXⁿU+ (1−X)V = 1, o`un≥1.

2. D´emontrer queA(X) = X^3p+2+X^3q+1+X^3r ∈ R[X] est divisible par X²+X + 1 pour tout (p, q, r)∈N³.

3. Soit m ∈ N^∗. `A quelle condition portant sur (p, q) ∈ C², le polynˆome X⁸+X⁴+ 1 divise-t-il X^8m+pX^4m+q?

Exercice 5. Soientaetbdeux entiers positifs etdleur pgcd. Montrer que le pgcd deX^a−1 etX^b−1 dansZ[X] est X^d−1.

Exercice 6. SoitP ∈C[X] qui v´erifieP(X²) = P(X)P(X + 1). Montrer que les racines deP sont toutes ´egales `a 0 ou 1. Montrer queP est nul ou une puissance deX(X−1).

Exercice 7.

1. Soit g ∈ R[X]. Montrer qu’il existe un unique polynˆomef ∈R[X] tel que f(0) = 0 etf(X)− f(X−1) =g(X). (On pourra raisonner par r´ecurrence sur le degr´e du polynˆomeg.)

2. Soit k un entier ≥1. On d´esigne par f =Bk le polynˆome obtenu pour g =X^k. C’est le k-`eme polynˆome de Bernoulli. Prouver que pour tout k ≥ 1 le polynˆome Bk est divisible par X+ 1.

Etablir que, pour toutn∈N, on a

B_k(n) = 1^k+ 2^k+. . .+n^k.

3. V´erifier qu’on aB_k⁰(X) =kB_k−1(X) +B_k⁰(0) o`u B_k⁰ est le polynˆome d´eriv´e deB_k. 4. Soith_k le polynˆome qui a pour d´eriv´eB_k et qui s’annule en x= 0. v´erifier que

Bk+1(X) = (k+ 1)(hk(X) +hk(−1)X).

Calculer explicitementBk(X) pourp= 1,2,3 et 4. En d´eduire les sommes 1^k+ 2^k+. . . n^k pour k= 1,2,3 et 4.

Exercice 8. Soit K un corps commutatif. On se donnem+ 1 ´el´ements distincts deK: q0, q1, . . . , qm. Expliciter pour tout 0≤j≤mle polynˆomeLj∈Km[X] satisfaisant

Lj(qi) =

(1 sii=j 0 sii6=j.

1

Montrer que la famille des polynˆomesLjforme une base de l’espace vectorielKm[X]. Pour tout polynˆome P deKm[X] exprimerP dans la base (Lj)0≤j≤men fonction des ´el´ementsP(qj)0≤j≤m. On noteP(Q,Q) l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels prenant des valeurs rationnelles sur les rationnels. Montrer queP(Q,Q) =Q[X].

Exercice 9. Soitn∈N. Montrer qu’il existe un unique polynˆomeP ∈R[X] tel queP(X+1)+P(X) = 2Xⁿ. On note ce polynˆomeE_n. Montrer queE_n⁰ =nE_n−1.

Exercice 10. SoientK un corps commutatif, E unK-espace vectoriel et uun endomorphisme de E.

On noteuⁿ la compos´een-i`eme deu. Montrer que l’application

K[X] → End(E)

P(X) =a_nXⁿ+. . .+a₁X+a₀ 7→ P(u) =a_nuⁿ+. . .+a₁u+a₀Id est un morphisme d’anneaux, qui de plus estK-lin´eaire.

Montrer que pour toutn, il existe un unique triplet (Q, an, bn)∈R[X]×R² tel queXⁿ = (X²+X− 2)Q(X) +anX+bn.Expliciteran etbn. Application: soituun endomorphisme d’unR-espace vectoriel E tel queu²= 2 Id−u. Exprimeruⁿ en fonction deuet Id.

Exercice 11. SoitAun anneau principal. Soit P ∈A[X]. Montrer que pour tout a∈A, le polynˆome P est irr´eductible si et seulement si le polynˆome P(X +a) l’est. Soit p un nombre premier. Soit P =a₀+a₁X+...+a_nXⁿ ∈Z[X], avecp|ai (0≤i ≤n−1), pne divise pasa_n, p² ne divise par a₀. Montrer que P est irr´eductible dans Z[X]. Posons Φ_p(X) = 1 +X +X²+...+X^p−1. Montrer que Φ_p(X+ 1) est irr´eductible dansZ[X], puis que Φ_p(X) est irr´eductible dansZ[X].

Exercice 12. Montrer que Z/2Z[X]/(X²+X+ 1) est un corps. Combien ce corps a-t-il d’´el´ements ? Montrer que, en tant que groupe ab´elien, il est isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z. En consid´erant la table de multiplication, montrer qu’en tant qu’anneau il n’est pas isomorphe `a Z/2Z×Z/2Z.

Exercice 13. On consid`ere dans l’anneau A = Z[X] l’id´eal I engendr´e par 2 et X. Quels sont les irr´eductibles de A? L’id´eal I est-il engendr´e par un unique ´el´ement? Que peut-on en d´eduire? Les id´eaux (2) et (X) sont-ils premiers? Maximaux? Montrer que l’identit´e de Bezout n’est pas valable dans A.

Exercice 14. D´ecomposer en ´el´ements simples les fractions rationnelles suivantes deR(X) :X/(X²−4), (X³−3X²+X−4)/(X−1), (2X³+X²−X+ 1)/(X²−2X+ 1), (X+ 1)/(X⁴+ 1).

Exercice 15. Existe-t-il une fraction rationnelleF∈C(X) telle queF(X)²= (X²+ 1)³ ?

Exercice 16. On rappelle la division euclidienne dans un anneau int`egre: soit A un anneau int`egre et P₀ ∈ A[X] un polynˆome unitaire. Pour tout P ∈ A[X], il existe un unique couple (Q, R) avec Q, R∈A[X] et deg(R)<deg(P₀) tel queP =QP₀+R.

On consid`ere l’application φ : C[X, Y] → C[T] qui `a un polynˆome P(X, Y) associe le polynˆome P(T², T³).

1. Indiquer bri`evement pourquoiφest un morphisme d’anneaux.

2. Montrer que pour toutP ∈C[X, Y], il existeQ, R2, R1, R0∈C[Y] tel que P(X, Y) =Q(Y)(X³−Y²) +R2(Y)X²+R1(Y)X+R0. En d´eduire que Ker(φ) est l’id´eal engendr´e par le polynˆomeX³−Y².

3. Montrer que Im(φ) ={P ∈ C[T], P =T²Q, Q ∈C[T]}, et que T² et T³ sont irr´eductibles dans Imφ.

4. En d´eduire que l’anneau quotient C[X, Y]/kerφn’est pas factoriel.

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