1) Montrer que Z⊆A

Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2014-2015

Devoir Maison 1

Exercice 1 – Soit A un sous-anneau deQ (vérifiant1∈A).

1) Montrer que Z⊆A.

2) Soit I 6= {0} un idéal de A. Montrer que I ∩Z est un idéal de Z et que I∩Z6={0}.

3) En déduire qu’il existe d∈Z\ {0} tel que I∩Z=dZ.

4) Soit b ∈I \ {0}. Écrivons b=m/noùm, n∈Z sont premiers entre eux.

a) Montrer qu’il existe k∈Z tel que b =kd/n.

b) En utilisant le fait quemetn sont premiers entre eux, prouver que1/n∈A.

c) En déduire que b ∈dA.

5) L’anneau A est-il principal ?

6) Soit S une partie de Z contenant 1 et stable par multiplication. On pose S⁻¹Z=

a/s; a∈Z, s∈S\ {0} . Montrer que S⁻¹Z est un sous-anneau deQ. 7) Que vaut S⁻¹Z quand S ={1}? Quand S =Z?

8) Soitp un nombre premier. On poseB ={a/b; a, b∈Z etp-b}. Montrer que B est un sous-anneau de Q. Est-il principal ?

9) DéterminerB^×.

10) Quels sont les idéaux maximaux de B?

Exercice 2 – On rappelle qu’un anneau euclidien est un anneau commutatif A muni d’un stathme euclidien, c’est-à-dire d’une application f : A→ N telle que pour tout (a, b) ∈ A×A\ {0}, il existe (q, r) ∈ A×A vérifiant a = bq+r et f(r) < f(b). Un anneau euclidien est principal. On se propose ici d’exhiber un anneau principal non euclidien.

1)Soit A un anneau euclidien. On veut montrer qu’il existe x∈A\A^× tel que la restriction à A^×∪ {0} de la projection canonique deA sur A/(x) soit surjective.

a) Vérifier que cette proposition est vraie si A est un corps.

b) On suppose dorénavant queA n’est pas un corps. On prend parmi lesy6= 0 de A \A^× (il en existe) un élément x de stathme minimal. Montrer que ce x convient.

2)Soientα= 1 +i√ 19

2 etA=Z[α] ={a+bα; a, b∈Z}. Vérifier queAmuni des lois induites par celles deCest un anneau intègre isomorphe àZ[T]/(T²−T+ 5).

3) Soit N l’application de C dans R définie par N(z) = zz. Montrer qu’elle est¯ multiplicative et que N(A)⊆N.

4) Montrer que A^× ={−1,1}.

5)À l’aide de la question 1) montrer que A n’est pas euclidien. On pourra consi- dérer l’image de α par la projection canonique de A surA/(x).

6)Montrer qu’il y a dansAune pseudo-division euclidienne : si(a, b)∈A×A\{0}

il existe q, r ∈A tels que (i) N(r)< N(b);

(ii) a=bq+r ou2a=bq+r.

Indication. Poser x = a/b = u+vα où u, v ∈ Q. Soit n la partie entière de v.

Montrer que siv 6∈]n+ 1/3, n+ 2/3[on peut trouvers, t∈Ztels que siq=s+tα, N(x−q)<1. Si v ∈]n+ 1/3, n+ 2/3[, raisonner de même avec 2x.

7) Montrer que A/(2) est isomorphe à Z/2Z[T]/(T² +T + 1)et en déduire que dans A, l’idéal (2) est maximal.

8) Soit I un idéal non nul de A. Soit a ∈ I \ {0} tel que N(a) soit minimal.

Supposons que I 6= (a) et soit x∈I\(a).

a) En effectuant la pseudo-division de x par a et en utilisant la question 7), montrer que soit (cas x = aq+r) on aboutit directement à une contradiction, soit (cas 2x =aq+r) il existe a⁰ ∈A tel quea = 2a⁰ et a⁰ ∈I, ce qui constitue une autre contradiction.

b) En déduire queAest principal. On a donc ici un exemple d’anneau principal non euclidien.