Unicit´e des facteurs invariants d’une matrice ` a coefficients dans un anneau principal
Richard Leroy
richard.leroy@univ-rennes1.fr
http ://perso.univ-rennes1.fr/richard.leroy/
Pr´eparation `a l’agr´egation de Math´ematiques 2008 Universit´e de Rennes 1
Il s’agit de montrer que si une matrice M est ´equivalente `a une matrice de la forme
D=
d1
. ..
dr
(0)
(0) (0)
,
alors les id´eaux (d1), . . . ,(dr) sont d´efinis de mani`ere unique.
On trouve des preuves de ce r´esultat dans Goblot, Alg`ebre commutative (p. 31), et dans Serre, Les matrices (p. 67). Voici une preuve courte, qui est une r´e´ecriture des arguments utilis´es dans les r´ef´erences ci-dessus.
Preuve :
On peut d´ej`a remarquer que le nombre r ne d´epend que de M (c’est son rang).
Consid´erons les ´el´ements suivants :
∀k∈ {1, . . . , r}, δk := pgcd(mineurs d’ordrek) deM.
SoientM etN deux matrices ´equivalentes, et montrons que
∀k, δk(M)|δk(N).
Il suffit de le montrer dans le cas o`u N = P M, le cas o`u N Q = M ´etant similaire.
Consid´erons un mineur d’ordrekdeP M, par exemple le premier. En notant Lki les lignes deM tronqu´ees de taillek, ce mineur vaut
det h
p1,1Lk1 +· · ·+p1,mLkp, . . . , pk,1Lk1 +· · ·+pk,mLkp i
. 1
La multilin´earit´e du d´eterminant permet de d´evelopper l’expression pr´ec´e- dente, et de voir qu’il s’agit en fait d’une combinaison lin´eaire des mineurs d’ordre k extraits des k premi`eres colonnes de M. Il est donc divisible par δk(M).
On en d´eduit alors que δk(M) = δk(D) = d1. . . dk, ce qui suffit pour conclure.
2
