1. Unicit´ e des coefficients de Fourier.

TD DU 31/01/2011 ET DU 7/02/2011

1. Unicit´ e des coefficients de Fourier.

On veut prouver que si c 0 , (a n ) n∈ N

^∗

et (b n ) n∈ N

^∗

sont des complexes tels que

(C) ∀x ∈ R , c ₀ +

+∞

X

n=1

a _n cos nx + b _n sin nx = 0

alors c ₀ = a _n = b _n = 0 pour tout n. On supposera la condition (C) r´ ealis´ ee pour toutes les questions qui suivent. On pose aussi u n (x) = a n cos nx + b n sin nx.

(1) Montrer que l’on peut d´ efinir F (x) = 1

2 c ₀ x ² −

+∞

P

n=1

u _n (x)

n ² fonction continue sur R . (2) Soit f une fonction d´ efinie sur R , on pose ∆ ₂ f (x, h) = f (x + h) + f(x − h) − 2f(x).

Montrer que ∆ ₂ F (x, 2h)

4h ² = c ₀ +

+∞

P

n=1

sin ² nh n ² h ² u _n (x).

(3) On pose ρ _n (h) =

+∞

P

k=n

sin ² kh

k ² h ² u _k (x) et r _n (x) =

+∞

P

k=n

u _k (x).

Montrer que ρ _N (h) = sin ² N h N ² h ² r _N −

+∞

P

n=N

sin ² nh

n ² h ² − sin ² (n + 1)h (n + 1) ² h ²

r _n+1 . En d´ eduire que ∆ ₂ F (x, 2h)

4h ² → 0 quand h → 0.

(4) a) Soit Φ(t) = F (t) − F (0) − t

2π (F (2π) − F (0)) et ψ _ε (t) = Φ(t) − ε

2 t(2π − t).

S’il existe t ⁰ ∈]0, 2π[ tel que Φ(t ⁰ ) > 0 montrer qu’il existe ε > 0 tel que Ψ ε (t ⁰ ) > 0.

b) Soit t ₀ tel que Ψ _ε (t ₀ ) = max

t∈[0,2π] Ψ _ε (t).

Montrer que ∆ ₂ Ψ _ε (t ₀ , h) h ² → ε.

c) D´ eduire du b une contradiction puis que F est affine.

d) Montrer alors que c ₀ = 0 puis que F est constante.

(5) Conclure.

Solution 1

(1) Comme la s´ erie de la condition (C) converge alors u _n (x) → 0, en particulier a _n = u _n (0) → 0 et b _n sin nx = u _n (x) − a _n cos nx → 0.

Si b _n ne tend pas vers 0 alors il existe (par exemple) α > 0 et ϕ telle que ∀n ∈ N , b _ϕ(n) >

α. On a ainsi f _n (x) = sin ϕ(n)x qui tend vers 0 (car b _ϕ(n) f _n (x) → 0), f _n ² est born´ ee (par 1), on utilise alors le th´ eor` eme de convergence domin´ ee d’o` u

Z 2π

0

| sin ² (ϕ(n)x)| dx → 0 or

Z 2π

0

| sin ² (ϕ(n)x)| dx = π d’o` u la contradiction.

On a ainsi |u _n (x)| ₆ |a _n | + |b _n | → 0 et la convergence de la s´ erie d´ efinissant F est normale ce qui assure ` a la fois l’existence de F ainsi que sa continuit´ e.

(2) Il suffit de faire les calculs !

(3) L’expression de ρ _N (h) demand´ ee est une simple utilisation de la transformation d’Abel (on ´ ecrit que u _k (x) = r _k (x) − r _k+1 (x)).

1

2 TD DU 31/01/2011 ET DU 7/02/2011

Comme r _n → 0 alors pour tout ε > 0 il existe N ∈ N tel que ∀n _> N , |r _n | ₆ ε. En outre

sin ² nh

n ² h ² − sin ² (n + 1)h (n + 1) ² h ²

⁶

Z (n+1)h

nh

sin ² t t ²

⁰

dt

et comme

sin ² t t ²

⁰

= sin 2t

t ² − 2 sin 2t t ³ alors

Z x

1

sin ² t t ²

⁰

dt admet une limite quand x → +∞. sin ² t

t ² admet un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere en 0 donc Z x

1

sin ² t t ²

⁰

dt admet une limite quand x → 0.

Finalement |ρ _N (h)| ₆ ε + ε

+∞

P

k=N

Z (n+1)h

nh

sin ² t t ²

⁰

dt ₆ ε 1 + Z +∞

0

sin ² t t ²

⁰

dt

! . On a ainsi

∆ ₂ F (x, 2h)

4h ² = c 0 +

+∞

X

n=1

sin ² nh

n ² h ² u n (x) =

+∞

X

n=1

sin ² nh n ² h ² − 1

u n (x) relation (C)

=

N−1

X

n=1

sin ² nh n ² h ² − 1

u _n (x) + ρ _N (h) − r _N .

Or pour ε > 0 on vient de voir qu’il existe N ∈ N tel que |ρ _N (h)| ₆ ε ind´ ependamment de h et

N −1

P

n=1

sin ² nh n ² h ² − 1

u _n (x) → 0, on peut conclure en cons´ equence que ∆ 2 F (x, 2h)

4h ² →

0 quand h → 0.

(4) a) Pour t ∈ [0, 2π], 0 ₆ t(2π − t) ₆ π ² donc Ψ _ε (t ⁰ ) _> Φ(t ⁰ ) − επ ²

2 > 0 si on prend ε assez petit.

b) On a ∆ ₂ Ψ _ε (t ₀ , h)

h ² = ∆ ₂ Φ(t ₀ , h)

h ² + ε = ∆ ₂ F (t ₀ , h)

h ² + ε → ε.

c) Pour h assez petit on a Ψ ε (t 0 + h) + Ψ ε (t 0 − h) > 2Ψ ε (t 0 ) or cela entraˆıne que l’un des deux termes du membre de gauche est > ` a Ψ ε (t 0 ) ce qui est contradictoire (t ₀ ∈]0, 2π[ donc on peut aussi s’arranger pour que t ₀ ±h ∈ [0, 2π]).

On d´ emontre de mˆ eme que Ψ _ε (t ⁰ ) < 0 est impossible donc Ψ _ε = 0 et ceci pour tout ε donc Φ = 0 ce qui signifie que F est affine et on peut g´ en´ eraliser le r´ esultat ` a tout R .

d) On a alors F (t) = at + F (0) d’o` u F (2π) = a2π + F (0) = 2c ₀ π ² −

+∞

X

n=1

u _n (2π)

n ² = 2c ₀ π ² + F (0) F (4π) = a4π + F (0) = 8c ₀ π ² −

+∞

X

n=1

u _n (4π)

n ² = 8c ₀ π ² + F (0).

On d´ eduit de ces ´ egalit´ es que c ₀ = 0 donc F (0) = F (2π) i.e. F est constante.

(5) Comme F est constante ses coefficients de Fourier sont nuls et comme la s´ erie d´ efinissant

F converge normalement on en d´ eduit que u _n (x) = 0 soit a _n = b _n = 0 pour tout n.