UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 1

Exercice 1

Montrer qu’une application f : N → N strictement croissante v´erifie que pour tout n ∈ N, on a f (n) ≥ n.

Exercice 2

Les suites suivantes sont-elles born´ees ? convergentes ? 1. (n sin(n ^π ₃ )) n∈N .

2. ( ⁿ⁺ⁿ _n+1 ^cos

) _n∈N . 3. ( ⁿ⁺ⁿ _n+1 ^cos(n

⁾ ) n∈N .

Exercice 3 Formules avec deux quantificateurs 1. Formuler le fait qu’une suite n’est pas born´ee.

2. On consid`ere la suite (a n ) n∈N d´efinie pour tout n ∈ N par a n = −n ² + n + 1.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? a. ∀n ∈ N, ∃C ∈ R |a n | ≤ C.

b. ∃C ∈ R, ∀n ∈ N |a n | ≤ C.

Exercice 4 D´ecalage d’une suite.

On consid`ere une suite num´erique (a n ) n∈N . On d´efinit la suite (b n ) n∈N par b n = a n+10 pour tout n ∈ N. Montrer que (a n ) n∈N converge vers une limite l si et seulement si (b n ) n∈N converge vers l.

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Exercice 5 Soit (a n ) n∈N une suite r´eelle. Dire et montrer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

1. La suite (a n ) n∈N tend vers 0 si et seulement si la suite (|a n |) n∈N tend vers 0.

2. Si la suite (|a n |) n∈N tend vers une limite l, alors la suite (a n ) n∈N tend vers l ou vers −l.

3. Si la suite (a n ) n∈N tend vers une limite l, alors la suite (|a n |) n∈N tend vers

|l|.

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