Université Bordeaux I Master CSI Année 2004-2005 UE Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier

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Universit´e Bordeaux I Master CSI

Ann´ee 2004-2005

UE Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier

Christine Bachoc

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Bibliography

[1] Gabriel Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier (ellipses 2004)

[2] Joachim von zur Gathen, J¨urgen Gerhard,Modern computer algebra, second edition, CUP 2003

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Chapter 1 Introduction

Ce cours traite des aspects alg´ebriques et discrets de la transform´ee de Fourier.

Dans un premier temps on traite les groupes commutatifs. On verra rapidement des applications, par exemple `a la multiplication rapide des grands entiers, ou bien

`a la cryptographie. Ensuite on abordera le cas des groupes non commutatifs.

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Chapter 2 Rappels de th´eorie des groupes

Dans cette partie, on rappelle des notions essentielles pour la suite vues en Li- cence, et qui doivent ˆetre parfaitement connues et maˆıtris´ees.

2.1 Groupe, ordre d’un élément, ordre d’un groupe, théorème de Lagrange

Un groupe G est un ensemble non vide, muni d’une opération notée le plus généralement., qui a les propriétés suivantes:

1. Elle est interne, c’est-à-dire associe à tout couple(x, y) ∈ G² un élément x.y =xy∈G.

2. Elle est associative: (xy)z=x(yz) pour toutx, y, z ∈G.

3. Elle a un élément neutre noté 1 ou e, vérifiant x.1 = 1.x = x pour tout x∈G.

4. Tout élémentx ∈ Ga un inversex⁻¹ ∈ G, c’est-à-dire vérifiant x.x⁻¹ = x⁻¹.x= 1.

Si, de plus,xy = yxpour toutx, y ∈ G, on dit que le groupe est commutatif ou abélien. Dans ce cas, la loi est souvent notée+, le neutre0et l’inverse, appelé opposé, est noté−x.

Exemples: le groupe multiplicatifC^∗; (Z,+); Z/nZ. Le groupe des racines n-ièmes de l’unité dans C. Le groupe symétrique S_n. Le groupe multiplicatif (Z/nZ)^∗.

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Un sous-groupeH d’un groupeGest une partie deGqui est un groupe pour la mˆeme op´eration queG. Exemple: Zest un sous-groupe deC. 2Zest un sous- groupe deZ.

Pour montrer qu’un sous-ensembleHdeGest un sous-groupe deG, il suffit de montrer que:

1. H est non vide

2. Pour toutx, y ∈H,xy⁻¹ (oux−ydans le cas d’une notation additive) est dansH.

L’ordre d’un élémentx d’un groupe Gest le plus petit entier k non nul, s’il existe, vérifiantx^k = 1. S’il n’existe pas on dit quexest d’ordre infini. C’est la période de la suite des puissances de x. Ainsi, sixest d’ordre 3, la suite de ses puissances successives donne: 1, x, x², x³ = 1, x, x²,1, . . .. Notons que, sixest d’ordre k, alorsx⁻¹ = x^k−1 puisque x.x^k−1 = 1. Cela montre que l’ensemble {1, x, x², . . . , x^k−1} est un sous-groupe de G, appelé groupe cyclique engendré parx, et noté< x >.

Plus généralement, l’ordre d’un groupe est le nombre de ses éléments. Ainsi, l’ordre du groupe engendré parxest égal à l’ordre dex.

Exemples: ordre dansZ/nZet dans(Z/nZ)^∗. On rappelle le th´eor`eme de Lagrange:

Théorème 1 L’ordre d’un sous-groupe est un diviseur de l’ordre du groupe. En particulier, l’ordre d’un élément d’un groupe divise l’ordre de ce groupe.

2.2 Groupes cycliques

Un groupe cyclique est un groupe engendré par un élément. Un tel élément s’appelle un générateur du groupe. L’exemple typique de groupe cyclique fini est Z/nZ. Un autre exemple naturel: le groupe des racinesn-ièmes de l’unité dansC:Un :={e^2ikπ/n,0≤k ≤n−1}.

On voit facilement que, sixest un générateur d’un groupe cyclique d’ordren, alors les autres générateurs de Gsont les x^k avec 1 ≤ k ≤ n et(k, n) = 1. La fonctionϕd’Euler en compte le nombre:

ϕ(n) := card{k,1≤k ≤n |(k, n) = 1}.

On a les propri´et´es suivantes, qui permettent de calculerϕ(n)pour toutn:

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• Sippremier,ϕ(p^k) =p^k−p^k−1.

• Si(m, n) = 1,ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n)

Le nombre ϕ(n) est aussi (presque par définition) le nombre d’éléments du groupe multiplicatif(Z/nZ)^∗.

Proposition 1 Tout sous-groupe et tout quotient d’un groupe cyclique est aussi cyclique. Pour tout diviseur d de l’ordre d’un groupe cyclique, il existe dans ce groupe un unique sous-groupe d’ordred, et ce groupe contient exactementϕ(d)

´el´ements d’ordred.

En effet, sixest un générateur, l’unique sous-groupe d’ordre dest le groupe engendré parx^n/d, et les éléments d’ordredsont lesx^kn/davec(k, d) = 1.

Comme dans un groupe cyclique d’ordre n il y a exactementϕ(d) éléments d’ordredpour tout diviseurdden, on a l’identité:

n=X

d|n

ϕ(d).

Exemple: le groupe(Z/pZ)^∗est cyclique d’ordrep−1.

Exemple: Tout groupe d’ordre premier est cyclique.

2.3 Homomorphismes, quotients

Un homomorphismef : G→H est une application v´erifiantf(xy) =f(x)f(y) pour toutx, y ∈G. C’est un isomorphisme sif est bijective. Le noyau et l’image def sont respectivementkerf ={s∈G|f(x) = 1}etImf ={f(x)|x∈G}.

Ce sont des sous-groupes respectifs deGetH.

Pour montrer qu’un homomorphisme f : G → H est un isomorphisme, il suffit de montrer quekerf ={1}et que|G|=|H|.

Exemple: Un groupe cyclique d’ordren est isomorphe àZ/nZ. En effet, si x est un générateur de ce groupe on définit un isomorphisme f : Z/nZ → G parf(k mod n) = x^k. Cette définition est licite car, sik modn = k⁰ mod n, alorsx^k=x^k⁰.

La notion de quotient est plus subtile, nous la rappelons dans le cas des groupes commutatifs (dans le cas non commutatif il faut la notion de sous-groupe dis- tingu´e). Si G est un groupe commutatif, et si H est un sous-groupe de G, on

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construit un troisième groupe notéG/H, appelé quotient deGparH, de la façon suivante (on noteGadditivement):

- les éléments deG/H sont les ensemblesx+H (on dit aussi les classes) où x+H ={x+y|y∈H}. Noter que l’on peut très bien avoirx+H =x⁰+H(en fait exactement quandx−x⁰ ∈H). On notes : G→G/H l’application définie pars(x) =x+H.

- l’opération de groupe sur G/H est définie par: (x+ H) + (x⁰ +H) = (x+x⁰)+H. Attention, cette définition n’a de sens que si on montre sa cohérence, c’est-à-dire: si x+H = y +H et x⁰ +H = y⁰ + H alors (x+x⁰) +H = (y+y⁰)+H. Remarquer que l’applications(appelée surjection canonique) devient un homomorphisme de groupes.

Par soucis de légèreté, on note souvent la classex+H par: x mod H oux ou s(x). Dans une ligne de calcul on met souvent un seul “mod H” au bout (et

“mod n” pour “modnZ”).

Exemple: G=Z,H =nZ, on retrouveZ/nZ.

L’ordre deG/Hest ´egal au quotient des ordres deGetH:|G/H|=|G|/|H|.

Théorème 2 (Théorème de factorisation) Soitf :G →H un homomorphisme de G dans H. Soit K = kerf et soit s : G → G/K la surjection canonique.

On d´efinit une applicationf :G/K → H par: f(s(x)) =f(x)et celle-ci est un homomorphisme injectif. C’est bien sˆur un isomorphisme deG/KsurImf.

2.4 Groupes ab´eliens finis

On connait maintenant une famille de groupes ab´eliens finis: les produits directs de groupes cycliques, c’est-`a-dire les groupes de la forme

Z/n₁Z×Z/n₂Z× · · · ×Z/n_rZ. (2.1) On peut montrer, et c’est un résultat non trivial, que tout groupe abélien fini est isomorphe à l’un de ces groupes. Une autre question qui se pose alors est de décider quand deux de ces groupes sont isomorphes. On a une solution complète et algorithmique à ces problèmes dans la théorie des diviseurs élémentaires et l’algorithme de réduction de Smith. Ces notions seront étudiées dans le cours

“Alg`ebre et calcul formel”.

Le théorème chinois, vu en Licence, est une première étape dans cette direc- tion.

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Théorème 3 Si(a, b) = 1,Z/abZest isomorphe àZ/aZ×Z/bZ.

L’isomorphisme est obtenu en factorisant l’homomorphismef :Z→Z/aZ× Z/bZdéfini par: f(n) = (n mod a, n mod b). Le noyau def estkerf =abZ grâce à la propriété (a, b) = 1; les deux groupes ayant même ordre, cela suffit à montrer que l’homomorphismef est un isomorphisme.

L’application inverse est d’une grande utilit´e pratique. En d’autres termes,

´etant donn´es des entierssett, il existe un unique entierk mod abtel que:k ≡s mod aetk ≡ t mod b. Pour calculerk en fonction des ettil faut utiliser une relation de Bezout: au+bv = 1. Alorsk=sbv+tauconvient.

Finalement, remarquons qu’il est souvent facile de démontrer que deux groupes ne sont pas isomorphes, en trouvant une propriété de groupe qui les distingue.

Ainsi, si deux groupes n’ont pas le même ordre, ou bien n’ont pas le même nombre d’éléments d’ordre donné, ils ne peuvent pas être isomorphes.

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Chapter 3 Transform´ee de Fourier sur un groupe fini

L’objectif est d’étudier les fonctions à valeurs complexes définies sur un groupe fini G. Pour cela, on étudie d’abord celles qui sont des homomorphismes, ce sont les caractères du groupe. Afin d’analyser une fonction quelconque, on la décomposera suivant ceux-ci.

3.1 Caract`eres d’un groupe fini

D´efinition 1 Soit G un groupe fini. Un caract`ere de G est un homomorphisme χ:G→C^∗.

La notationC^∗ d´esigne bien sˆur le groupemultiplicatif(C^∗,×).

Soitχ : G → C^∗ un caract`ere de G. Si g ∈ G, pour tout entierk, χ(g^k) = χ(g)^k. En particulier, sigest d’ordrek, on aχ(g)^k = 1.

Petite parenthèse sur les racines de l’unité dansC: on appelle racines de l’unité les nombres complexesz ∈Ctels qu’il existe un entiernavec zⁿ = 1. C’est un groupe pour la multiplication, notéU. On a:

Uⁿ:={z ∈C|zⁿ = 1}={e^2iπk/n,0≤k≤n−1}

est le groupe des racines n-ièmes de l’unité. C’est un groupe (multiplicatif) cyclique. Lesz ∈ Uⁿ tels quezâ 6= 1pour tout0 < a < ns’appellent les racines primitives n-ièmes de l’unité. Ce sont les générateurs du groupe Un, il y en a

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exactementϕ(n), qui sont lese^2iπk/navec1≤k≤n−1et(k, n) = 1. Bien sˆur, U=∪n≥0Un.

Lemme 1 Les sous-groupes finis deUsont exactement lesUⁿ. En particulier ils sont cycliques.

Preuve: : Soit G un sous-groupe fini de U, d’ordren. Par le théorème de La- grange, tout élément z de G vérifie zⁿ = 1. Donc G ⊂ Un; comme Un est exactement d’ordren, on aG=Un.

Retournons aux caract`eres deG. Ainsi, si G est d’ordre n, on a forc´ement pour toutg ∈G,χ(g)∈Uⁿ.

Proposition 2 SoitGun groupe fini d’ordren. Soitχ:G→ C^∗un caract`ere de G.

1. Imχ⊂Un.

2. Pour tout g ∈ G, χ(g^k) = χ(g)^k. En particulier, l’ordre de χ(g) divise l’ordre deg.

3. Pour toutg ∈G,|χ(g)|= 1,χ(g⁻¹) = χ(g)⁻¹ =χ(g).

On peut multiplier les caractères. Si χ₁ et χ₂ sont deux caractères de G, on définit le produit χ₁χ₂ par: χ₁χ₂(g) = χ₁(g)χ₂(g). On obtient bien ainsi un caractèreχ₁χ₂ :G→C^∗.

Proposition 3 L’ensembleGbdes caract`eres deGest un groupe pour la multiplication. On l’appelle aussi le dual deG.

Exemples: d´ecrireGbpourG=Z/2Z,Z/3Z,Z/2Z×Z/2Z,S₃.

Une propriété importante des caractères d’un groupe fini, mais qui n’a d’intérêt que dans le cas des groupes non commutatifs est la suivante:

Proposition 4 Soitχun caract`ere d’un groupeG. Pour toutg, h∈G,χ(ghg⁻¹) = χ(h). En particulier,χest constant sur les classes de conjugaison deG.

Preuve: : Cela r´esulte de la commutativit´e deC^∗. En effet,χ(ghg⁻¹) = χ(g)χ(h)χ(g)⁻¹ = χ(h)χ(g)χ(g)⁻¹ =χ(h).

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Exercice: décrire les caractères deS₄(utiliser la proposition précédente).

3.2 Dual d’un groupe cyclique

Considérons le cas d’un groupe Gcyclique d’ordren. Soitg un générateur fixé deG. Comme tout élément deGest de la formeg^k, et queχ(g^k) = χ(g)^k, on voit qu’un caractèreχ deGest entièrement déterminé par χ(g). D’un autre côté, on doit choisirχ(g)parmi les racinesn-ièmes de l’unité deC^∗. On peut ainsi définir ncaractèresχ₀ = 1, χ₁, . . . , χn−1deGpar:

χ_k(g) = e^2iπk/n.

Il faut remarquer que, d’une part,χ_k =χ^k₁, et, d’autre part, que cette indexa- tion des caractères deGdépend du choix fait pour le générateur deG.

On a d´emontr´e:

Proposition 5 SoitGun groupe cyclique d’ordrenet soitgun générateur fixé de G. Le groupe dual Gb est égal à l’ensemble {χ₀, χ₁, . . . , χn−1}, où χ_k est défini par:

χ_k(g) = e^2iπk/n.

Le groupeGbest cyclique, d’ordren, engendr´e parχ1(on aχk =χ^k₁).

Remarque: L’applicationg^k → χ_k définit un isomorphisme entre Get Gb dit non canoniquecar il dépend du choix d’un générateur deG.

3.3 Dual d’un groupe ab´elien fini; bidual

On sait qu’un groupe abélien fini est produit direct de groupes cycliques (théorème admis); comme on sait décrire le dual d’un groupe cyclique, il nous reste à décrire le dual d’un produit direct de groupes.

Th´eor`eme 4 SoitG1 etG2 deux groupes finis. L’application

f :Gc₁×Gc₂ −→G\₁×G₂ (χ₁, χ₂)7−→f((χ₁, χ₂))

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o`uχ=f((χ₁, χ₂))est d´efini par:χ(g₁, g₂) = χ₁(g₁)χ₂(g₂)est un isomorphisme.

Noter que le théorème décrit explicitement les caractères deG\₁×G₂en fonction de ceux deGc₁et deGc₂. Exemple:Z/2Z×Z/3Z.

Corollaire 1 Le dual d’un groupe abélien fini est (non canoniquement) isomorphe à ce groupe; en particulier ils ont même ordre.

Par contre, on a un isomorphisme cette fois canonique entre un groupe G ab´elien fini et sonbidual.

3.4 L’alg`ebre de groupe C [G]

On noteC[G]l’ensemble des fonctions (cette fois sans propriété particulière)f : G→C. C’est une algèbre surC, c’est-à-dire:

• Un anneau pour l’addition et la multiplication des fonctions, d´efinies re- spectivement par: (f₁+f₂)(x) = f₁(x) +f₂(x)et(f₁f₂)(x) = f₁(x)f₂(x).

Le zéro de cet anneau est la fonctionf = 0constante égale à0; l’unité est la fonctionf = 1constante égale à1.

• UnC-espace vectoriel, pour la multiplication des scalaires d´efinie par(λf)(x) = λf(x).

On l’appellealg`ebre du groupeG.

Une base naturelle deC[G]est constitu´ee desδ_x,x∈G, d´efinis par:

(δ_x(x) = 1

δ_x(h) = 0pour touth6=x Toute fonction f : G → C s’´ecrit f = P

x∈Gf(x)δ_x. C’est la repr´esentation

“naturelle” des fonctions. Il est immédiat de vérifier que{δ_x, x∈G}est une base deC[G]; en particulier, cela montre que la dimension deC[G]est égale à l’ordre deG.

Nous avons vu un autre ensemble denéléments deC[G]: ce sont les caractères deG. Nous alors voir que, lorsque Gest commutatif, ils forment une autre base deC[G]; c’est le passage d’une base à l’autre qui va nous permettre d’analyser les fonctions surG. Introduisons d’abord un produit hermitien surC[G].

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D´efinition 2 Soit, pour toutf₁, f₂ ∈C[G]

< f₁, f₂ >= 1

|G|

X

x∈G

f₁(x)f₂(x).

On d´efinit ainsi un produit hermitien surC[G]. La base{δ_x, x∈G}est une base orthogonale pour ce produit scalaire, et< δ_x, δ_x >= _|G|¹ pour toutx∈G.

Proposition 6 Soit G un groupe abélien fini. L’ensemble des caractères de G forme une base orthonormée pour le produit hermitien défini ci-dessus.

Preuve: Il nous faut calculer< χ₁, χ₂ >pour deux caract`eres deG. Remarquons d’abord que< χ₁, χ₂ >=< χ₁χ₂⁻¹,1>. En effet,

< χ₁, χ₂ >= 1

|G|

X

x∈G

χ₁(x)χ₂(x)

= 1

|G|

X

x∈G

χ1(x)χ2(x)⁻¹

= 1

|G|

X

x∈G

(χ₁χ₂⁻¹)(x)

=< χ1χ2−1

,1> .

En posantχ=χ1χ2−1, il nous reste `a calculer< χ,1>. Lorsqueχ= 1, on a P

x∈Gχ(x) = |G|soit< χ,1 >= 1. Supposons maintenant queχ 6= 1. Il existe donc un ´el´ementb ∈Gtel queχ(b)6= 1. CommehG=G, on a

S:=X

x∈G

χ(x) =X

x∈G

χ(bx)

=X

x∈G

χ(b)χ(x)

=χ(b)X

x∈G

χ(x)

=χ(b)S

soitS=χ(b)S, que l’on peut ´ecrire dansC:(1−χ(b))S = 0. Commeχ(b)6= 1, on peut en d´eduire queS = 0.

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On a donc démontré que les éléments deGbforment une famille orthonormée.

Comme il y en a exactement|G|, ils forment bien une base.

On a démontré lesrelations d’orthogonalitéentre caractères. Elles sont extrêmement utiles, et nous les rappelons dans la proposition suivante, associées aux relations duales.

Proposition 7 (Relations d’orthogonalit´e:) SoitGun groupe commutatif fini.

1. Pour toutχ1, χ2 ∈G,b X

x∈G

χ1(x)χ2(x) =

(|G|siχ₁ =χ₂ 0sinon

et, en particulier:

X

x∈G

χ₁(x) =

(|G|siχ₁ = 1 0sinon 2. Pour toutx, y ∈G,

X

χ∈Gb

χ(x)χ(y) =

(|G|six=y 0sinon et, en particulier:

X

χ∈Gb

χ(x) =

(|G|six= 1 0sinon

Preuve: On a déjà démontré les premières. Les deuxièmes relations d’orthogona- lité se démontrent soit directement, soit en remarquant que ce sont les relations d’orthogonalité des caractères du groupe dual G. En effet, les caractères deb Gb sont en correspondance avec les éléments deG via l’application (qui est un isomorphisme):

g ∈G−→χ_g :Gb −→C^∗ χ7−→χ(g)

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3.5 Transform´ee de Fourier

On suppose d´esormais que notre groupeGest ab´elien fini.

C’est seulement un changement de base!

Soitf ∈ C[G]. On peut d´ecomposerf sur les deux bases orthonorm´ees que l’on connait: {p

|G|δ_x |x∈G}et{χ|χ∈G}. Cela donne:b f =X

x∈G

f(x)δ_x =X

χ∈Gb

c_f(χ)χ o`uc_f(χ) =< f, χ >. L’usage est de noter:

Définition 3 On appelle transformée de Fourier de f et on note fbl’élément de C[G]b défini par:

fb(χ) = |G|cf(χ) = X

x∈G

f(x)χ(x).

L’applicationtransform´ee de Fourier, not´eeF, est:

F :C[G]−→C[G]b f 7−→fb

C’est bien sˆur un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Th´eor`eme 5 Soitf, g∈C[G]. On a:

• (Formule d’inversion) f =X

χ∈Gb

c_f(χ)χ= 1

|G|

X

χ∈Gb

f(χ)χb ⁻¹.

• (Formule de Plancherel) X

x∈G

f(x)g(x) =|G|X

χ∈Gb

c_f(χ)c_g(χ)

= 1

|G|

X

χ∈Gb

fb(χ)bg(χ)

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Preuve: : On a déjà vu la première. La deuxième résulte du calcul de< f, g >

dans les deux bases.

3.6 Produit de convolution

Le produit des fonctions est une multiplication naturelle sur C[G]; toutefois le produit de convolution est plus adéquat parce qu’il se comporte mieux vis à vis de la transformée de Fourier.

D´efinition 4 Soitf, g ∈ C[G]. On d´efinit le produit de convolutionf ∗g def et g par:

(f∗g)(x) = X

y,z∈G|yz=x

f(y)g(z) = X

y∈G

f(y)g(y⁻¹x).

Théorème 6 Le produit de convolution munitC[G]d’une structure d’algèbre. De plus, pour toutf, g∈C[G],

f[∗g =fbbg.

La transform´ee de FourierF est un isomorphisme d’alg`ebres de(C[G],∗)sur (C[G], .).b

Preuve: On calculef[∗g(χ)pourχ∈G.ˆ f[∗g(χ) =X

x∈G

(f∗g)(x)χ(x)

=X

x∈G

X

y,z∈G|yz=x

f(y)g(z) χ(x)

= X

y,z∈G

f(y)g(z)χ(yz) = X

y,z∈G

f(y)g(z)χ(y)χ(z)

= X

y∈G

f(y)χ(y) X

z∈G

f(z)χ(z)

=fb(χ)bg(χ)

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On a donc bienF(f∗g) = F(f)F(g).

3.7 Formule de Poisson

On termine avec une formule, très utile, qui analyse le comportement d’une fonction sur un sous-groupe. Nous en verrons une application à la théorie des codes (formule de Mac Williams).

D´efinition 5 SoitHun sous-groupe deG. L’orthogonal deH, not´eH^⊥, est:

H^⊥ :={χ∈Gb|χ(H) ={1}}.

Proposition 8 H^⊥est un sous-groupe deG. On a:b H^⊥ 'G/H[. En particulier,

|H^⊥|=|G|/|H|.

Preuve: Il est clair queH^⊥est un sous-groupe deG.b

On définit un homomorphismeφ : H^⊥ → G/H[ en posant: φ(χ) = χ, défini par: χ(x+H) = χ(x). Le point essentiel est que cette définition est valide car elle ne dépend pas du choix du représentant choisi modulo H, grâce au fait que χ(H) = {1}. φ est clairement injectif. Siχ⁰ ∈ G/H, on définit[ χen composant les applications G →^s G/H →^χ⁰ C^∗, c’est-à-dire χ = χ⁰s. Alors, χ ∈ H^⊥ et χ⁰ = φ(χ). L’applicationφest donc surjective; on a donc démontré que c’est un isomorphisme.

Th´eor`eme 7 (Formule de Poisson) Soitf ∈ C[G], etH ⊂ Gun sous-groupe de G. On a:

X

x∈H

f(x) = 1

|H^⊥| X

χ∈H^⊥

fb(χ).

Preuve: On applique la formule de Plancherel en prenant pourg la fonction indi- catrice deH:

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g(x) =

(1six∈H 0sinon Il reste `a calculerg. On a:ˆ

ˆ

g(χ) = X

x∈G

g(x)χ(x) = X

x∈H

χ(x) =

(0siχ_H 6= 1

|H|sinon

où la dernière égalité résulte des relations d’orthogonalités appliquées à la restric- tion χ_H de χ à H. La condition χ_H = 1 équivaut à χ ∈ H^⊥. La formule de Plancherel devient donc:

X

x∈H

f(x) = |H|

|G|

X

χ∈H^⊥

f(χ).ˆ

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Chapter 4 Transform´ee de Walsh et fonctions bool´eennes

Dans ce chapitre, nous considérons le cas particulier G = (Z/2Z)ⁿ. Nous allons décrire un algorithme rapide de calcul de la transformée de Fourier, appelée dans ce cas transformée de Walsh, et ses applications à l’étude des propriétés des fonctions booléennes.

4.1 Transform´ee de Walsh

4.1.1 Caract`eres de(Z/2Z)ⁿ

CommeZ/2Z = F2, on peut voirGcomme leF2-espace vectoriel de dimension n:Fⁿ2. On le munit du produit scalaire usuel:

x·y=

n

X

i=1

x_iy_i.

Notons que, si u ∈ F2, est défini modulo2, le nombre (−1)û ∈ Rest bien défini.

Définition 6 A touty∈Fⁿ2 on peut associer un caractèreχ_y deFⁿ2 défini par:

χ_y(x) = (−1)^x·y.

Proposition 9 L’application y → χ_y est un isomorphisme d’espaces vectoriels entreFⁿ2 etFcⁿ2.

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Preuve: La démonstration directe est facile. En fait, ce n’est qu’une redite de ce que nous avons déjà vu sur les caractères d’un produit direct. Rappelons que

\Z/2Z={χ₀, χ₁}, oùχ₀ = 1etχ₁(1) =−1. Un caractèreχdeFⁿ2 est donné par le choix d’une séquence den caractères deZ/2Z, par exemple: (χ₀, χ₀, χ₁, . . .).

Alorsχ(x) =χ0(x1)χ0(x2)χ1(x3). . .. Il suffit de remarquer que, si l’on associe

à cette séquence l’élément y ∈ Fⁿ2 dont les coordonnées successives sont 0pour χ₀ et1pourχ₁, iciy = (0,0,1, . . .), alors

(−1)^x·y = (−1)^Pⁿⁱ⁼¹^xⁱ^yⁱ =

n

Y

i=1

(−1)^xⁱ^yⁱ =χ₀(x₁)χ₀(x₂)χ₁(x₃)· · ·=χ(x).

On peut y voir aussi l’identification usuelle entre un espace vectoriel et son dual, donn´ee par le choix d’un produit scalaire.

Remarque 1 Dans cette identification entre Fⁿ2 et son dual, l’orthogonal d’un sous-groupe H (i.e. un sous-espace vectoriel!), est l’orthogonal au sens usuel pour le produit scalairex·y:

H^⊥={y∈Fⁿ2 |x·y= 0pour toutx∈H}.

La transformée de Fourier est dans ce contexte appeléetransformée de Walsh et devient l’application

W :C[Fⁿ2]−→C[Fⁿ2] f 7−→fb

o`ufbest d´efinie par:

f(x) =b X

y∈Fⁿ₂

f(y)(−1)^x·y. Dans la base desδ_x, la matrice deW est la matrice

W₂ⁿ = ((−1)^x·y)x,y∈Fⁿ₂.

(21)

dont on ordonne les lignes et les colonnes suivant l’ordre lexicographique. C’est aussi l’ordre naturel des entiers de 0 à 2ⁿ − 1 identifiés avec leur écriture bi- naire. Cette matrice est clairement symétrique et vérifie (grâce aux relations d’orthogonalité)

W2ⁿW2ⁿ = 2ⁿId.

4.2 Transform´ee de Walsh rapide

Le calcul de Wf nécessite à priori (2ⁿ)² opérations dans Cpuisque il s’agit de calculer le produit de la matriceW2ⁿ par le vecteur des valeurs prises parf. Nous allons voir un procédé récursif qui permet de passer àn2ⁿopérations.

Pourx∈Fⁿ2, notonsx⁰ ∈ Fⁿ⁻¹2 le(n−1)-uplet constitué desn−1dernières coordonnées dex, de sorte quex = (0, x⁰)oux = (1, x⁰). On a bien sur: x·y= x₁y₁ +x⁰ ·y⁰. Dans le calcul de fb, nous allons partagerFⁿ2 en deux ensembles, suivant la valeur du premier bit.

f(x) =b X

y∈Fⁿ2

f(y)(−1)^x·y

= X

y⁰∈Fⁿ⁻¹₂

f(0, y⁰)(−1)^x⁰^·y⁰ + X

y⁰∈Fⁿ⁻¹₂

f(1, y⁰)(−1)^x¹^+x⁰^·y⁰

= (P

y⁰∈Fⁿ⁻¹₂ (f(0, y⁰) +f(1, y⁰))(−1)^x⁰^·y⁰ six= (0, x⁰) P

y⁰∈Fⁿ⁻¹2 (f(0, y⁰)−f(1, y⁰))(−1)^x⁰^·y⁰ six= (1, x⁰) On définit alors deux élémentsf⁺etf⁻deC[Fⁿ⁻¹2 ]:

(f⁺(y⁰) = f(0, y⁰) +f(1, y⁰) f⁻(y⁰) = f(0, y⁰)−f(1, y⁰)

L’expression trouvée pour fbmontre que f(x)b s’exprime comme une trans- formée de Walsh à l’ordren−1:

(

fb(0, x⁰) = fc⁺(x⁰) fb(1, x⁰) = fc⁻(x⁰)

(22)

NotonsT(2ⁿ)le nombre d’opérations nécessaires au calcul def. On doit cal-b culer les deux fonctions surFⁿ⁻¹2 :f⁺, f⁻, ce qui nécessite2ⁿopérations. Ensuite, on est ramenés au calcul de deux transformées de Walsh surFⁿ⁻¹2 . Donc:

T(2ⁿ) = 2ⁿ+ 2T(2ⁿ⁻¹)

= 2ⁿ+ 2(2ⁿ⁻¹+ 2T(2ⁿ⁻²))

=. . .

=n2ⁿ+ 2ⁿT(1) =n2ⁿ

L’algorithme de calcul de fbest décrit par le schéma suivant, appelé schéma papillon:

Ce type d’algorithme est connu sous le nom de “diviser pour r´egner” (divide and conquer algorithm).

Exemple: n= 3

000 001 010 011 100 101 110 111

f 0 1 0 0 1 0 0 0

fˆ 2 0 2 0 0 −2 0 2

4.3 Fonctions bool´eennes

Définition 7 Une fonction booléenne est une applicationf :Fⁿ2 →F2. Pour tout 1≤i≤n, on noteXila fonction booléenne définie par: Xi(x) = xi.

Proposition 10 La somme et le produit de fonctions booléennes est une fonction booléenne. On a: X_i² = X_i. Tout polynôme en lesX_i, dont les exposants valent 0ou1et à coefficients dansF2, définit une fonction booléenne. Réciproquement, toute fonction booléenne a une expression unique sous la forme d’un polynôme en les X_i, dont les exposants valent0ou1. Cette expression s’appelle laforme algébrique def. Par définition, le degré def est le degré de ce polynôme.

Preuve: On montre que l’ensemble M des monômes en les X_i, , dont les exposants valent0ou1, forme une base de l’espace des fonctions booléennes. Soit a ∈Fⁿ2; on note encoreδ_a la fonction définie au chapitre précédent, dont on con- sidère maintenant les valeurs modulo2. On sait que l’ensemble desδ_aforme une