DFT sur un anneau

Au chapitre pr´ec´edent, on a pu acc´el´erer la multiplication des polynˆomes `a co-efficients complexes grˆace `a la FFT. En fait la seule propri´et´e de C que nous utilisons est que C contient les racines N-i`emes de l’unit´e. Afin d’obtenir un algorithme rapide de multiplication des polynˆomes dont les coefficients apparti-ennent `a un anneau A quelconque, par exemple un corps fini, ou bien Z, nous allons g´en´eraliser la DFT. C’est facile si l’anneauAcontient des racinesN-i`emes de 1pour tout N; sinon, nous verrons comment Sch¨onhage et Strassen contour-nent le probl`eme, au prix d’un log log(N) suppl´ementaire. Cela conduit aussi `a un algorithme rapide pour la multiplication des entiers.

6.1 L’anneau A contient une racine primitive N -i`eme de l’unit´e

D´efinition 10 SoitA un anneau commutatif (et unitaire). On dit queAcontient une racine primitiveN-i`eme de l’unit´e, s’il existew_N ∈Atel que:

1. w^N_N = 1

2. Pour toutl < N, l divisantN, N/l premier,w_N^l −1n’est pas un diviseur de z´ero deA.

Exemple: A=C,A=FqetN diviseq−1.

Proposition 12 Siw_N est une racine primitive N-i`eme de l’unit´e dansA, alors w^l−1n’est pas un diviseur de z´ero dansA, pour tout0< l < N. De plus, on a :

N−1

X

j=0

w^lj_N = 0.

Preuve: Remarquons d’abord que, siw^a−1n’est pas un divideur de z´ero, alors w^b−1non plus d`es quebdivisea. En effet, cela d´ecoule de l’identit´e:

(w^a−1) = (w^b−1)(w^b(a/b−1)+w^b(a/b−2)+· · ·+w^b+ 1).

Donc, la condition 2. implique quew_N^l −1n’est pas diviseur de 0quel que soit l divisant N, l < N. Soit maintenant un entier l < N ne divisant pas n´ecessairementN. Soitd = pgcd(l, N), et une relation de Bezoutd =lu+N v.

On aw_N^d = w^lu_N. Comme d divise N, on sait quew^d_N −1n’est pas diviseur de z´ero; doncw^lu_N −1n’est pas diviseur de z´ero; maisldiviseludoncw^l_N −1n’est pas diviseur de z´ero.

On a

(w^l_N −1)(

N−1

X

j=0

w_N^lj) = w_N^lN −1 = 0.

On conclut en utilisant le fait quew^l_N −1n’est pas diviseur de z´ero.

On est en mesure de d´efinir l’applicationDFT_N surA, exactement comme sur C.

D´efinition 11 Supposons que l’anneauAcontienne une racine primitiveN-i`eme de l’unit´ew_N. L’applicationDFT_N est d´efinie par:

DFT_N :A^N −→A^N f 7−→fb o`u:

f[k] =b

N−1

X

n=0

f[n]w_N^−nk.

Th´eor`eme 9 Sous les mˆemes hypoth`eses, l’application DFT_N estA-lin´eaire, et sa matrice dans la base canonique deA^N estV_wN d´efinie par:

V_wN[i, j] :=w−(i−1)(j−1)

N pour tout1≤i, j ≤N.

et v´erifie: V_wNV_w⁻¹

N =NId_N.

Le produit de convolution, d´efini surA^N par:

(f∗g)[k] = X

Preuve: Il suffit de reprendre les arguments invoqu´es surC. La d´emonstration de l’identit´e matricielleVw_NV_w⁻¹

N =NIdN utilise les identit´es de la Proposition 12:

(V_wNV_w⁻¹

L’algorithme FFT fonctionne sur A exactement comme sur C. Il permet de calculerDFT_N(f)enO(Nlog(N))op´erations ´el´ementaires deA. En particulier, on peut l’utiliser pour calculer le produit de deux polynˆomes de A[X] dont la somme des degr´es est au plus ´egale `a N (plus exactement on r´ecup`ere N P Q; il faut pouvoir divider parN dansA). En effet, on a toujours:

P Q=P ∗Q mod (x^N −1).

6.2 L’anneau A est quelconque

On ne suppose plus d´esormais que A contient des racines primitives de l’unit´e, mais seulement que2 est inversible dansA(mˆeme cette hypoth`ese peut ˆetre re-lax´ee..). Un algorithme, dˆu `a Sch¨onhage et Strassen (1971), permet de multiplier deux polynˆomes P et Q de A[x] dont la somme des degr´es est au plus ´egale `a N en O(Nlog(N) log log(N))op´erations; l’id´ee est de rajouter `a A les racines N-i`emes manquantes, par passage au quotient; si on proc`ede naivement, on perd en complexit´e. L’id´ee de SS est de rajouterles racines√

N-i`emes de l’unit´e `aA, comme on va le voir.

On suppose que N est une puissance de 2 et on pose N = 2^k. Soit m ≤ t deux entiers aussi proches que possible de√

N (sik est pair,m = t = 2^k/2; sik produitP⁰Q⁰. Les coefficients deP⁰Q⁰sont des polynˆomes enx, de degr´e inf´erieur

`a2m, de sorte qu’il suffit de connaitre leur image dans D:=A[x]/(x^2m+ 1)A[x].

Le degr´e eny deP⁰Q⁰ estdeg_y(P⁰Q⁰) < 2t ≤ 4m. D’autre part,Dcontient une racine primitive4m-i`eme de l’unit´e: en effet, soitw:=x mod x^2m+ 1. On aw^2m =−1etw^4m = 1. De plus,w^2m−1 =−2n’est pas un diviseur de z´ero de D puisqu’on suppose2inversible dansA. On se retrouve donc dans la situation du paragraphe pr´ec´edent, et on peut appliquer l’algorithme FFT pour calculer P⁰Q⁰ enO(mlog(m))op´erations dansD. Parmi ces op´erations, les additions et multiplications par des puissances de x ne coutent que duO(m), tandis que les

“vrais” multiplications sont analogues `a la multiplication de polynˆomes de A[x]

de degr´e inf´erieur `a2m. Pour ces derni`eres, on peut appliquer r´ecursivement FFT

`a l’ordre 2m ' √

N; il faut aussi estimer leur nombre. Une analyse plus fine conduit `a une complexit´e totale enO(NlogNlog logN).

6.3 Le produit d’entiers

Pour se ramener `a une situation analogue `a celle des polynˆomes, on utilise la repr´esentation des entiers dans une base b. Tout entier as’´ecrit a = a₀ +a₁b+

· · ·+aNb^N. Par exemple, si b = 2⁶⁴, cette ´ecriture traduit la manipulation des entiers en multipr´ecision par un processeur en 64 bits. Chaque mota_iest constitu´e de64bits.

La diff´erence essentielle avec la manipulation des polynˆomes est la gestion des retenues. Sans entrer dans les d´etails, on peut adapter l’algorithme de multi-plication des polynˆomes vu pr´ec´edemment en un algorithme de multimulti-plication des entiers de complexit´eO(NlogNlog logN).

La complexit´e est meilleure que celle de l’algorithme naˆıf, enO(N²), et aussi que l’algorithme de Karatsuba, en O(N^1.59) (vu en Licence). Toutefois, il faut bien avoir `a l’esprit qu’il n’est plus rapide que ces derniers que pour des grandes valeurs deN..

Chapter 7