UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

(1)

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 8

Exercice 1

1) Soit f une fonction 2π-périodique telle que pour tout x ∈] − π, +π[, f (x) = x ² . Préciser les points dans lesquelles f n’est pas définie par ce qui précède.

Est-ce gênant pour définir la série de Fourier de f ? Vérifier que la série de Fourier de f est

π ² /3 + 4 X ∞ n=1

(−1) ⁿ cos nx

n ² .

Sa convergence est-elle uniforme sur R? Quelle est sa somme ? 2) Soit g une fonction 2π-p´eriodique telle que

∀x ∈]0, 2π[, g(x) = x ² . V´erifier que la s´erie de Fourier de g est

4π ² /3 + X ∞ n=1

µ 4 cos nx

n ² − 4π sin(nx) n

¶ .

Sa convergence est-elle uniforme sur R? Quelle est sa somme ? 3) Montrer comment on peut obtenir la formule P

n>0 1

n

²

= ^π ₆

²

, soit à l’aide du résultat de 1), soit à l’aide du résultat de 2).

Exercice 2

1) Donner les développements en série de Fourier des fonctions 2π-périodiques définies par :

y 1 (x) =

½ sin x si x ∈ [0, π], 0 si x ∈ [π, 2π].

y 2 (x) = y 1 (x − π) pour tout x ∈ R, y 3 (x) = | sin x| pour tout x ∈ R.

(On pourra remarquer que les calculs des coefficients ne sont à effectuer que pour y 1 , les développements des trois autres fonctions en résultent facilement).

1

(2)

2) Montrer que la s´erie de Fourier de y i (i entier, 1 ≤ i ≤ 3) converge uni- form´ement sur R et que sa somme est y i .

3) Soit f une fonction continue par morceaux sur [0, 2π], et soit n un entier positif. Montrer en utilisant la s´erie de Fourier de y 3 qu’on a

(1)

Z _2π

0 f (x)| sin(nx)| = 2 π

Z _2π

0 f (t) dt + X ∞

k=1

a k

Z _2π

0 f (x) cos(2knx) dx

o` u les a k sont des nombres negatifs tels que la s´erie P

a k converge.

Exercice 3 Soit la s´erie enti`ere

S(x) = X +∞

n=1

(−1) ⁿ⁻¹ x ²ⁿ⁺¹ 4n ² − 1 =

X +∞

n=1

a n x ⁿ

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P a n x ⁿ .

2. En déduire que pour |x| < R, la fonction S est dérivable et S ⁰ (x) = xg(x) o` u g(x) est la somme d’une série entière P _+∞

n=1 b n x ⁿ que l’on explicitera.

3. D´eterminer g ⁰ (x) sous forme d’une fonction usuelle.

4. En d´eduire une expression de g(x).

5. En d´eduire l’expression explicite de la fonction S(x).

Exercice 4

On considère l’équation différentielle y ⁰⁰ − xy ⁰ − y = 0 (E).

1. Soit y une solution développable en série entière, autrement dit s’écrivant y(x) = P _∞

k=0 a k x ^k sur un voisinage de 0. Déterminer la relation existant entre a _k et a _k−2 pour k ≥ 2 (méthode des coefficients indéterminés).

2.On suppose de plus que y(0) = 1 et y ⁰ (0) = 0. Quel est le rayon de convergence de la série entière trouvée ? Quels résultats du cours permettent d’affirmer que la somme y(x) de cette série est bien solution de (E) ?

3. Pr´eciser la fonction y(x).

2

(3)

Exercice 5

1. ´ Ecrire le développement en série entière de f (x) = _1−x ¹ sur ] − 1, +1[, puis celui de g(x) = − ln(1 − x) sur ] − 1, +1[.

2. En faisant le produit de Cauchy des deux séries trouvées, écrire le développement en série entière sur ] − 1, +1[ de h(x) = ^ln(1−x) _x−1 . Quel est le rayon de convergence de la série obtenue ?

Exercice 6

Soit α > 0. Pour tout entier n ≥ 2, on pose u n = ln

µ

1 + (−1) ⁿ n ^α

¶ .

On rappelle qu’une suite a n est équivalente à une suite b n , s’il existe une suite ε n qui converge vers 1 et à partir d’un certain rang a n = ε n · b n . On rappelle qu’une suite a n est négligable devant une suite b n , s’il existe une suite ε n qui converge vers 0 et et à partir d’un certain rang a n = ε n · b n . Dans ce cas on

´ecrit a n = o(b n ).

1. Donner une suite ´equivalente simple quand n → ∞ a) de u n ,

b) de |u n |, c) de

³

u n − ⁽⁻¹⁾ _n

αⁿ

´ .

Indication: on rappelle le d´eveloppement limit´e au voisinage de x = 0:

ln(1 + x) = x − x ²

2 + o(x ² ).

2. Pour quelles valeurs de α > 0 la série de terme général ⁽⁻¹⁾ _n

αⁿ

converge-t-elle?

3. a) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´erie P

n≥2 u _n est-elle absolument con- vergente ?

b) Pour quelles valeurs de α > 0 la s´erie P

n≥2 u n est-elle convergente ? Exercice 7

1. Formules avec trois quantificateurs.

Formuler le fait qu’une suite n’est pas p´eriodique `a partir d’un certain rang.

2. Formules avec quatre quantificateurs.

Formuler le fait qu’une suite est convergente.

3

(4)

Exercice 8

On travaille dans cet exercice sur R. L’expression “pour tout t > 0” signifiera donc “pour tout r´eel t > 0”.

Quels sont les réels x vérifiant les propriétés suivantes : 1. ∀t > 0, |x| ≤ t ?

2. ∀t ≥ 0, |x| ≤ t ? 3. ∀t ≥ 0, |x| < t ? 4. ∀t > 0, |x| < t ?

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UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 8

Exercice 1

1) Soit f une fonction 2π-périodique telle que pour tout x ∈] − π, +π[, f (x) = x 2 . Préciser les points dans lesquelles f n’est pas définie par ce qui précède.

Est-ce gênant pour définir la série de Fourier de f ? Vérifier que la série de Fourier de f est

π 2 /3 + 4 X ∞ n=1

(−1) n cos nx

n 2 .

Sa convergence est-elle uniforme sur R? Quelle est sa somme ? 2) Soit g une fonction 2π-p´eriodique telle que

∀x ∈]0, 2π[, g(x) = x 2 . V´erifier que la s´erie de Fourier de g est

4π 2 /3 + X ∞ n=1

µ 4 cos nx

n 2 − 4π sin(nx) n

¶ .

Sa convergence est-elle uniforme sur R? Quelle est sa somme ? 3) Montrer comment on peut obtenir la formule P

n>0 1

n

= π 6

, soit à l’aide du résultat de 1), soit à l’aide du résultat de 2).

Exercice 2

1) Donner les développements en série de Fourier des fonctions 2π-périodiques définies par :

y 1 (x) =

½ sin x si x ∈ [0, π], 0 si x ∈ [π, 2π].

y 2 (x) = y 1 (x − π) pour tout x ∈ R, y 3 (x) = | sin x| pour tout x ∈ R.

(On pourra remarquer que les calculs des coefficients ne sont à effectuer que pour y 1 , les développements des trois autres fonctions en résultent facilement).

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2) Montrer que la s´erie de Fourier de y i (i entier, 1 ≤ i ≤ 3) converge uni- form´ement sur R et que sa somme est y i .

3) Soit f une fonction continue par morceaux sur [0, 2π], et soit n un entier positif. Montrer en utilisant la s´erie de Fourier de y 3 qu’on a

(1)

Z 2π

0

f (x)| sin(nx)| = 2 π

Z 2π

0

f (t) dt + X ∞

k=1

a k

Z 2π

0

f (x) cos(2knx) dx

o` u les a k sont des nombres negatifs tels que la s´erie P

a k converge.

Exercice 3 Soit la s´erie enti`ere

S(x) = X +∞

n=1

(−1) n−1 x 2n+1 4n 2 − 1 =

X +∞

n=1

a n x n

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P a n x n .

2. En déduire que pour |x| < R, la fonction S est dérivable et S 0 (x) = xg(x) o` u g(x) est la somme d’une série entière P +∞

n=1 b n x n que l’on explicitera.

3. D´eterminer g 0 (x) sous forme d’une fonction usuelle.

4. En d´eduire une expression de g(x).

5. En d´eduire l’expression explicite de la fonction S(x).

Exercice 4

On considère l’équation différentielle y 00 − xy 0 − y = 0 (E).

1. Soit y une solution développable en série entière, autrement dit s’écrivant y(x) = P ∞

k=0 a k x k sur un voisinage de 0. Déterminer la relation existant entre a k et a k−2 pour k ≥ 2 (méthode des coefficients indéterminés).

2.On suppose de plus que y(0) = 1 et y 0 (0) = 0. Quel est le rayon de convergence de la série entière trouvée ? Quels résultats du cours permettent d’affirmer que la somme y(x) de cette série est bien solution de (E) ?

3. Pr´eciser la fonction y(x).

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Exercice 5

1. ´ Ecrire le développement en série entière de f (x) = 1−x 1 sur ] − 1, +1[, puis celui de g(x) = − ln(1 − x) sur ] − 1, +1[.

2. En faisant le produit de Cauchy des deux séries trouvées, écrire le développement en série entière sur ] − 1, +1[ de h(x) = ln(1−x) x−1 . Quel est le rayon de convergence de la série obtenue ?

Exercice 6

Soit α > 0. Pour tout entier n ≥ 2, on pose u n = ln

µ

1 + (−1) n n α

¶ .

´ecrit a n = o(b n ).

1. Donner une suite ´equivalente simple quand n → ∞ a) de u n ,

b) de |u n |, c) de

³

u n − (−1) n

´ .

Indication: on rappelle le d´eveloppement limit´e au voisinage de x = 0:

1) Soit f une fonction 2π-périodique telle que pour tout x ∈] − π, +π[, f (x) = x ² . Préciser les points dans lesquelles f n’est pas définie par ce qui précède.

π ² /3 + 4 X ∞ n=1

(−1) ⁿ cos nx

n ² .

∀x ∈]0, 2π[, g(x) = x ² . V´erifier que la s´erie de Fourier de g est

4π ² /3 + X ∞ n=1

n ² − 4π sin(nx) n

= ^π ₆

Z _2π

Z _2π

Z _2π

(−1) ⁿ⁻¹ x ²ⁿ⁺¹ 4n ² − 1 =

a n x ⁿ

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière P a n x ⁿ .

2. En déduire que pour |x| < R, la fonction S est dérivable et S ⁰ (x) = xg(x) o` u g(x) est la somme d’une série entière P _+∞

n=1 b n x ⁿ que l’on explicitera.

3. D´eterminer g ⁰ (x) sous forme d’une fonction usuelle.

On considère l’équation différentielle y ⁰⁰ − xy ⁰ − y = 0 (E).

1. Soit y une solution développable en série entière, autrement dit s’écrivant y(x) = P _∞

k=0 a k x ^k sur un voisinage de 0. Déterminer la relation existant entre a _k et a _k−2 pour k ≥ 2 (méthode des coefficients indéterminés).

2.On suppose de plus que y(0) = 1 et y ⁰ (0) = 0. Quel est le rayon de convergence de la série entière trouvée ? Quels résultats du cours permettent d’affirmer que la somme y(x) de cette série est bien solution de (E) ?

1. ´ Ecrire le développement en série entière de f (x) = _1−x ¹ sur ] − 1, +1[, puis celui de g(x) = − ln(1 − x) sur ] − 1, +1[.

2. En faisant le produit de Cauchy des deux séries trouvées, écrire le développement en série entière sur ] − 1, +1[ de h(x) = ^ln(1−x) _x−1 . Quel est le rayon de convergence de la série obtenue ?

1 + (−1) ⁿ n ^α

u n − ⁽⁻¹⁾ _n

ln(1 + x) = x − x ²

2 + o(x ² ).

2. Pour quelles valeurs de α > 0 la série de terme général ⁽⁻¹⁾ _n

n≥2 u _n est-elle absolument con- vergente ?