UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006

Licence de math´ematiques MAT 242

Groupe INMA 03

Feuille d’exercices 3

Exercice 1

Soit (a n ) n∈N une suite r´eelle convergeant vers 2. Montrer, sans utiliser de r´esultat du cours mais seulement la d´efinition de la convergence, que les ter- mes de la suite (a n ) n∈N sont positifs `a partir d’un certain rang.

Exercice 2

Etant donn´ees deux suites r´eelles (a ´ n ) n∈N et (b n ) n∈N , si ces suites sont born´ees et si (b n ) n∈N est partout non nulle, peut-on en d´eduire que la suite ( ^a _b

n

) n∈N est born´ee ?

Exercice 3

a) Soient (a n ) n∈N et (b n ) n∈N deux suites r´eelles. Supposons que a n converge vers a et b n converge vers b. Montrer que (a n + b n ) n∈N converge vers a + b. La r´eciproque est-elle vraie ?

b) Soient (a n ) n∈N une suite r´eelle et λ ∈ R. Soit (b n ) n∈N la suite d´efinie par b n := λ · a n . Supposons que a n converge vers a. Montrer que la suite (b n ) n∈N

converge vers λ · a.

a) Soient (a n ) n∈N et (b n ) n∈N deux suites r´eelles. Supposons que a n converge vers a et b n converge vers b. Montrer que (a n · b n ) n∈N converge vers a · b.

Exercice 4

a) Pour quels entiers n a-t-on l’in´egalit´e 2 ⁿ ≤ n! ? b) Montrer que

∀ x ∈ N ∃ n 0 ∈ N tel que ∀ n ≥ n 0 on a x ⁿ ≤ n!.

1

Exercice 5

Montrer que pour tout x ∈ R la s´erie P _x

n! converge.

Remarque: La s´erie donne une d´efinition de la fonction exponentielle

∀ x ∈ R exp(x) :=

X ∞ n=0

x ⁿ n! .

Exercice 6

Etudier la nature des s´eries suivantes : ´ 1.) P _n

2

. 2.) P _{sin n}

e

.

3.) P ₁

√ n(n+1) . 4.) P ₍₋₁₎

√ n(n+1) .

Exercice 7

a) Soit q ∈ R \ {1} et (a n ) n∈N la suite a n = q ⁿ Montrer que pour tout n ∈ N X n

k=0

q ^k = 1 − q ⁿ⁺¹ 1 − q . En d´eduire que la s´erie P _n

k=0 q ^k converge pour |q| < 1.

b) Montrer que pour m ∈ N et s un nombre naturel plus grand que 2, on a

2 X

−1 k=0

1

(2 ^m + k) ^s = 1

(2 ^m ) ^s + 1

(2 ^m + 1) ^s + . . . + 1

(2 ^m+1 − 1) ^s ≤ 2 ^m 1 (2 ^m ) ^s . En d´eduire que pour n ≤ 2 ^m+1 − 1, on a

X n

k=1

1 k ^s ≤

X m

i=0

2 ⁱ 1 (2 ⁱ ) ^s En d´eduire que pour s > 1, la s´erie P _n

k=1 1

k

converge.

Exercice 8

On se donne une suite num´erique (a n ) n∈N . Montrer que la s´erie P

n∈N a n con- verge si et seulement si la s´erie P

n≥10 a n converge, et comparer les sommes.

2